3. FEJEZET: Polinomok
Ismétlő, gyakorló feladatok
Feladat: 3.1. (M)
Igazoljuk, hogy ha
a+1/a egész akkor
an
+1/
an
is
egész.
Feladat: 3.2. (M)
Binom köbe
x3
+
ax2
-nel kezdődik. Fejezzük be!
Feladat: 3.3. (M)
Az
x2
-6x+7=0 egyenlet megoldásakor teljes négyzetté
alakítást végzünk, azaz az
y=x-3 helyettesítéssel az
egyenletet az
y2
-2=0 alakra hozzuk. Hozzuk az
x3
+6
x2
-x+3=0 harmadfokú egyenletet
y=x-a alakú
helyettesítéssel
y3
+py+q=0 alakra! Adjuk meg
a,
p
és
q értékét!
Feladat: 3.4. (M)
Írjuk föl a
2
x3
-33
x2
+
181x
-333 polinomot
(x-5)
hatványai szerint!
Feladat: 3.5. (M)
Az
a valós együttható mely értéke esetén lesz a
3 gyöke a
2
x5
-3
x4
+
ax3
-
x2
+3x-9 polinomnak?
Feladat: 3.6. (M)
Az
a valós együttható mely értéke esetén emelhető ki
(x-3) a
2
x5
-3
x4
+
ax3
-
x2
+3x-9 polinomból?
Feladat: 3.7. (M)
Osszuk el az
x7
+1 polinomot maradékosan
x3
+1-gyel.
Feladat: 3.8. (M)
Mutassunk két egészegyütthatós polinomot, amelyek közül az egyiket maradékosan osztva a másikkal a hányados és a maradék nem lesznek egész együtthatósak.
Feladat: 3.9. (M)
Mutassuk meg, hogy ha egy egészegyütthatós polinomot osztunk egy
1 főegyütthatós egészegyütthatós polinommal, akkor a hányados és a maradék is egész együtthatósak lesznek.
Gyökkiemelés, Horner elrendezés
Feladat: 3.10. (SM)
Bizonyítsuk be, hogy egy polinomból pontosan akkor lehet kiemelni az
x-1-et, ha az együtthatóinak az összege
0.
Feladat: 3.11. (SM)
Bizonyítsuk be, hogy egy polinomból pontosan akkor lehet kiemelni az
x-a-t, ha
a gyöke a polinomnak.
Feladat: 3.12. (M)
A
3.11 feladatban beláttuk, hogy
ha
x0
gyöke a
p(x) polinomnak, akkor
(x-
x0
) kiemelhető a polinomból, azaz létezik olyan
q(x)
polinom, amelyre
p(x)=(x-
x0
)·q(x). Ebben a feladatban azt vizsgáljuk, hogy ez milyen együtthatótartomány esetén igaz.
a) Mutassuk meg, hogy ha
x0
∈Z, akkor a hányados
q(x)∈Z[x].
b) Mutassuk meg, hogy ha
x0
∈
Fp
, akkor a hányados
q(x)∈
Fp
[x]. (Azaz az együtthatók modulo
p értendők, ahol
p egy prímszám.)
c) Mutassuk meg, hogy ha
x0
∈
Fk
, akkor a hányados
q(x)∈
Fk
[x]. (Azaz az együtthatók modulo
k értendők, ahol
k>1 most kifejezetten nem prímszám.)
d) Fogalmazzuk meg, hogy pontosan mire van szükség, hogy lehessen kiemelni. Keressünk olyan számköröket, ahol ez nem működik.
Feladat: 3.13. (SM)
Bizonyítsuk be, hogy ha a
p(x) valós polinomnak gyöke a különböző
a és
b, akkor
szimultán kiemelhetők, azaz
p(x)=(x-a)(x-b)q(x) egy alkalmas
q(x) valós polinommal.
Feladat: 3.14. (M)
Mutassuk meg, ha
p(x) együtthatói olyan számkörből kerülnek ki, amelyben az összeadás, kivonás, szorzás elvégezhető és két nemnulla szám szorzata sem nulla, akkor teljesül a
3.13 feladat állítása.
Feladat: 3.15. (M)
Bizonyítsuk be, hogy egy
n-edfokú valós együtthatós - nem azonosan nulla - polinomnak legfeljebb
n db (valós) gyöke van!
Feladat: 3.16. (M)
(
Horner elrendezés)
Írjuk fel a
h(x)=2
x4
-5
x3
-5
x2
+4x+7 polinomot
h(x)=(((2x-5)x-5)x+4)x+7 alakban. Hány műveletet kellet elvégezni az első típusú felíráshoz, hányat a másodikhoz? Egy általános
n-edfokú polinom esetén mi a válasz?
Feladat: 3.17. (M)
Helyettesítsük be a
h(x)=2
x4
-5
x3
-5
x2
+4x+7 polinom Horner elrendezettjébe az
x=3-at: Írjuk fel az együtthatókat egy sorba, és utána legbelülről haladva minden összeadás eredményét írjuk a második sorba az együttható alá, minden szorzás eredményét pedig írjuk a harmadik sorba a szorzandó alá.
Az így létrejött táblázat második sorában van a
h(x)=k(x)(x-3)+h(3) felbontás. Hogyan? Miért?
Feladat: 3.18. (M)
Ellenőrizzük, hogy
12
x4
-4
x3
-21
x2
-2x+3 gyökei
-1; -1/2; 1/3; 3/2.
Feladat: 3.19. (M)
Jani a Horner módszerrel ellenőrzi, hogy gyöke-e egy racionális szám egy egész együtthatós polinomnak. Észreveszi, hogy ha a számolás során tört számot kap, akkor a végén soha nem lesz
0 a maradék. Bizonyítsuk be, hogy Jani megfigyelése helyes.
Feladat: 3.20. (M)
Következtessünk az előző feladat (
3.19) megfigyeléséből arra, hogy ha egy egész együtthatós polinomnak
p/q gyöke, akkor nem csak
x-p/q, hanem
qx-p is kiemelhető belőle.
Racionális gyökök
Feladat: 3.21. (M)
Bontsuk tényezőkre az alábbi kifejezést:
x3
+8
x2
+17x+10.
Feladat: 3.22. (M)
Oldjuk meg a természetes számok halmazán az
x4
-3
x3
-x+3≥0 egyenlőtlenséget!
Feladat: 3.23. (M)
Oldjuk meg az
x4
+
x3
-29
x2
-9x+180=0
egyenletet!
Feladat: 3.24. (SM)
Legyen
f(x)=
a0
+
a1
x+
a2
x2
+…+
an
xn
egy
n-edfokú egész együtthatós polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a
p/q (
p, q relatív prímek) racionális szám gyöke
f(x)-nek, akkor
p|
a0
és
q|
an
.
Feladat: 3.25. (M)
Mutassuk meg, hogy az
x4
-(k+3)
x3
-(k-11)
x2
+(k+3)x+(k-12)=0 egyenlet két gyöke nem függ
k-tól. A további két gyök
k mely értékei mellett lesz valós?
Feladat: 3.26. (SM)
Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
A Vieta formulák
Feladat: 3.27. (M)
(
Vieta formulák)
Jelölje
x1
,
x2
és
x3
az
x3
+px+q=0 egyenlet három
gyökét. Fejezzük ki
x1
+
x2
+
x3
-at,
x1
x2
+
x1
x3
+
x2
x3
-at és
x1
x2
x3
-at
p és
q segítségével!
Feladat: 3.28. (M)
Jelölje
x1
,
x2
és
x3
az
x3
+px+q=0 egyenlet három
gyökét. Határozzuk meg
x1
5
+
x2
5
+
x3
5
értékét!
Feladat: 3.29. (M)
Legyenek
x1
,
x2
,
x3
az
x3
+px+q
polinom gyökei. Számítsuk ki az
x1
4
x2
2
+
x1
2
x2
4
+
x2
4
x3
2
+
x2
2
x3
4
+
x3
4
x1
2
+
x3
2
x1
4
|
kifejezés értékét!
Feladat: 3.30. (SM)
Írjunk fel olyan harmadfokú polinomot, amelynek gyökei az
x3
-2
x2
-x+1 polinom
a) gyökeinek ellentettjei!
b) gyökeinek kétszeresei!
c) gyökeinél eggyel nagyobbak!
d) gyökeinek reciprokai!
e) gyökeinek négyzetei!
Feladat: 3.31. (M)
Adjuk meg azokat az
x,
y valós számokat, amelyekre
Feladat: 3.32. (M)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán!
x2
=y+z+2
y2
=x+z+2
z2
=x+y+2
}
|
| (1) |
Különbségpolinomok
Feladat: 3.33. (M)
Legyen
k teszőleges pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
k-adfokú polinom
p(x) különbségpolinomja
k-1-edfokú. (A különbségpolinom
q(x)=p(x)-p(x-1).)
Feladat: 3.34. (M)
Bizonyítsuk be, hogy ha két polinomnak ugyanaz a különbségpolinomja, akkor különbségük konstans. Vagyis, egy helyen megegyezik az értékük, akkor egyenlőek.
Feladat: 3.35. (M)
Az előző
3.34 feladat segítségével határozzuk meg azt az
f(x) polinomot, amelynek
n helyen felvett értéke az első
n pozitív szám összege.
Feladat: 3.36. (M)
Határozzuk meg azt a
g(x) polinomot, amelynek
n helyen felvett értéke az első
n pozitív szám négyzetösszege.
Feladat: 3.37. (M)
Számoljuk ki a következő összeget általános
n-re:
Feladat: 3.38. (SM)
Adjuk meg az összes olyan
n-edfokú valós polinomot, amely minden egész helyen egész értéket vesz fel!
Polinomok számelmélete
Feladat: 3.39. (M)
(
Schönemann-Eisenstein kritérium)
a) Bizonyítsuk be, hogy ha a
q(x)=
xn
+
an-1
xn-1
+
an-2
xn-2
+…+
a1
x+
a0
|
| (1) |
egészegyütthatós polinom
an-1
,
an-2
,
…,
a1
,
a0
együtthatói mind oszthatók a
p prímszámmal, de
a0
nem
osztható
p2
-tel, akkor
q(x) nem írható fel két
n-nél kisebb
fokú egészegyütthatós polinom szorzataként.
b) Bizonyítsuk be, hogy a fenti feltételek mellett
racionális együtthatós polinomok szorzataként sem lehet felírni
q(x)-et!
Feladat: 3.40. (M)
Legyen
f(x)=
a2n+1
x2n+1
+
a2n
x2n
+…+
a1
x+
a0
egészegyütthatós polinom. Tegyük fel, hogy van olyan
p prím, amellyel
p\nmid
a2n+1
, p∣
a2n
, p∣
a2n-1
,…, p∣
an+1
,
p2
∣
an
,
p2
∣
an-1
,…,
p2
∣
a0
,
p3
\nmid
a0
.
|
Bizonyítsukk be, hogy ekkor
f(x) nem bontható fel két kisebb fokú egészegyütthatós polinom szorzatára.
Feladat: 3.41. (M)
Adjunk példát olyan valós együtthatós polinomra, amelynek nincsen
valós gyöke, mégsem irreducibilis, azaz felbomlik nála kisebb fokú
polinomok szorzatára!
Feladat: 3.42. (SM)
Döntsük el, hogy a
polinom irreducibilis-e a megadott gyűrűben és ha nem, akkor bontsuk fel irreducibilis tényezők szorzatára!
a)
Q[x]-ben;
b)
R[x]-ben;
c)
F2
[x]-ben;
d)
F5
[x]-ben.
Feladat: 3.43. (M)
a) Határozzuk meg a
p(x)=
x4
+
x3
-4
x2
-14x-8
|
| (1) |
és
q(x)=4
x6
-12
x5
-
x4
+5
x3
+15
x2
+4x-6
|
| (2) |
polinomok legnagyobb közös osztóját!
b) Határozzuk meg a fenti
q(x) polinom összes valós
gyökét!
Feladat: 3.44. (M)
F2
[x]-ben dolgozunk.
a) Számítsuk ki a
p(x)=1+
x2
+
x3
+
x4
+
x7
+
x11
+
x12
,
q(x)=1+
x2
+
x3
+
x5
+
x8
+
x9
+
x13
+
x15
+
x16
.
|
polinomok legnagyobb közös osztóját és
b) fejezzük azt ki
a(x)p(x)+b(x)q(x) alakban (
a(x),b(x)∈
F2
[x]).
Feladat: 3.45. (M)
Határozzuk meg az
polinomban
p-t és
q-t úgy, hogy osztható legyen a
(
x2
+2x+5) polinommal!
Feladat: 3.46. (M)
Határozzuk meg
p és
q értékét úgy, hogy
(
x4
+9) osztható
legyen
(
x2
+px+q)-val!
Multiplicitás
Feladat: 3.47. (M)
Hogyan kell megválasztani a
p és a
q együttható értékét ahhoz,
hogy a 3 kétszeres multiplicitású gyöke legyen az alábbi
egyenletnek?
2
x4
-
qx3
+13
x2
+3x+p=0
|
| (1) |
Feladat: 3.48. (M)
a) Osszuk el maradékosan az
x3
+px+q polinomot az
(x-a
)2
polinommal!
b) A
p,
q paraméterek mely valós értékei esetén van olyan
a valós szám, hogy
az
x3
+px+q polinom osztható az
(x-a
)2
polinommal?
c) Adjuk meg
p és
q olyan polinomját, amelynek értéke akkor és csakis akkor
0, ha az
x3
+px+q polinomnak van kétszeres gyöke!
Feladat: 3.49. (M)
a) A
c valós paraméter mely értéke esetén lesz az
x5
-5x+c=0 egyenlet gyökei között kettő egyenlő?
b) Milyen összefüggésnek kell fennálnia az
x5
+px+q=0 ötödfokú egyenlet
p és
q együtthatói között, hogy az
egyenletnek legyen két egyenlő gyöke?
Vegyes feladatok
Feladat: 3.50. (M)
Az
x3
+px+q=0 harmadfokú egyenletben határozzuk meg a
p
együttható értékét úgy, hogy két gyök egymásnak reciprok értéke
legyen. Határozzuk meg ebben az esetben a gyököket!
Feladat: 3.51. (M)
Bizonyítsuk be, hogy ha az
a,b,c számok egyike sem negatív,
akkor az
x3
-
ax2
-bx-c=0 egyenletnek nem lehet egynél
több pozitív gyöke!
Feladat: 3.52. (M)
Keressük meg azt a legalacsonyabb fokszámú
p(x) polinomot,
amelyre teljesül, hogy
a)
p(x) együtthatói egész számok;
b)
p(x) elsőfokú tényezők szorzatára bontható;
c)
p(x) gyökei egész számok;
d)
p(0)=-1;
e)
p(3)=128.
Feladat: 3.53. (SM)
Bizonyítsuk be, hogy ha az
a,
b számok egyike sem negatív,
akkor
a3
-3
ab2
+2
b3
sem negatív!
Feladat: 3.54. (M)
Bontsuk négy elsőfokú valós együtthatós polinom szorzatára az
x4
-14
x2
+9 polinomot!