1. FEJEZET: Komplex számok
A matematika történetében a komplex számok felfedezését megelőzte a harmadfokú egyenlet megoldóképletének
megtalálása. Az olyan harmadfokú egyenletek esetében, amelyeknek egy valós gyöke van, a Cardano-képletben pozitív számból kell gyököt vonni, és ez elvezet az egyenlet egyetlen valós megoldásához.
Az olyan harmadfokú egyenletek esetében azonban, amelyeknek három valós gyöke is van, ugyanott egy negatív számból kellene gyököt vonni. Ez az eset - a ,,casus irreducibilis" - jelentette a kiindulópontot a komplex számok felfedezéséhez. Az 1.1-1.4 feladatokban Tartaglia eredeti gondolatmenetéhez némileg hasonló eljárással állítjuk elő bizonyos harmadfokú egyenletek egy-egy valós gyökét. Az 1.5 feladat felvillant egy lehetőséget a casus irreducibilis feloldására a komplex számok bevezetése nélkül.
A [
149], [
18], [
19] műveket ajánljuk a történet iránt mélyebben érdeklődőknek.
Ajánlott versenyfeladatok:
Zarub.8.10,
Zarub.8.11,
Zarub.8.13,
Zarub.9.1,
Zarub.9.2,
Zarub.10.10.
A harmadfokú egyenlet megoldása Tartaglia szerint
Feladat: 1.1.
A mellékelt ábrán egy
v×v×v méretű
kockát látunk, amelynek bal felső hátsó sarkában egy
x×x×x méretű kis kocka van. A
1. ábrán
látható további vágások 4 további részre vágják a nagy kockát,
amelyek egyike szintén kocka. Határozzuk meg a négy rész éleit és
térfogatát!
1. ábra
b) A
1. ábra és Tartaglia alábbi verse
(fordította Pataki János) segítségével adjuk meg a b1), b2) egyenletek egy-egy valós megoldását!
| Ha majd a kockát és az egytagot |
| Látod a puszta számmal egybetenni, |
| Két új számod kivonva légyen ennyi. |
| Ez így kevés. Kell még egyharmadot |
| Egytag számrészéből kockára venni: |
| Jó, ha számaid szorozva ezt kapod. |
| Két számodat már ha veszed kockául, |
| S egynek oldalát máséval csorbítod, |
| Mi rejtve volt eddig, elédbe tárul. |
b1)
x3
+12x=63
b2)
x3
+18x=19.
Feladat: 1.2. (M)
Az
1.1. feladat alapján készítsünk megoldóképletet az
x3
+px+q=0 alakú egyenletekhez! Igazoljuk, hogy a képlet tetszőleges előjelű
p,
q valós számok esetén megadja a harmadfokú egyenlet egy valós megoldását, ha
(
q
2
)2
+
(
p
3
)3
>0
Feladat: 1.3. (SM)
Vezessük vissza az
y3
+3
y2
-3y-14=0 egyenletet az
1.2. feladatban látott típusra és keressük meg egy valós megoldását!
Feladat: 1.4. (M)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
az
1.1-
1.2. feladatokban látott módszerrel! Ábrázoljuk a bal
oldalon található harmadfokú függvények grafikonját a Geogebra
programmal és olvassuk le a közelítő megoldást. Vessük össze az
eredményeket! Megtaláltuk-e az összes valós gyököt?
a)
x3
+3x-4=0
b)
x3
-12x+16=0
c)
x3
-19x+30=0.
Feladat: 1.5. (M)
a) Írjuk fel az addíciós tétel alkalmazásával a
cos3x kifejezést
cosx polinomjaként!
b) Az a)-ban nyert képlet alkalmazásával oldjuk meg az
alábbi harmadfokú egyenleteket!
b1)
4
x3
-3x=
1
2
b2)
32
y3
-6y=-1
b3*)
x3
-19x+30=0.
A komplex számok aritmetikája
A képzetes egység
Jelöljön
i olyan számot (!?), amelyre
i2
=-1.
Feladat: 1.6. (M)
Tekintsük az
a+bi,
a,b∈R alakú számok halmazát!
Írjuk fel ilyen alakban az alábbi számokat!
a)
i·(2+i)
b)
(1+i)·(2+i)
c)
(1+i
)2
d)
2+i
i
e)
4+3i
1+2i
f)
5-2i
1-2i
g)
(1+i
)3
h)
(1-i
)4
.
Feladat: 1.7. (M)
Végezzük el az alábbi alapműveleteket:
a)
(a+bi)·(c+di)
b)
a+bi
c+di
c)
(a+bi
)2
d)
(a+bi
)3
e)
(a+bi
)4
.
Feladat: 1.8. (M)
Mutassuk meg, hogy ha
a1
,
b1
,
a2
,
b2
valós számok és
a1
+
b1
i=
a2
+
b2
i, akkor
a1
=
a2
és
b1
=
b2
.
Feladat: 1.9. (M)
Keressük meg az összes olyan
z=a+bi (
a,b∈R) alakú számot,
amelyre
a)
z2
=i
b)
z2
=
-1
2
+
3
2
i
c)
z3
=1.
Abszolútérték és argumentum
A
z=a+bi komplex szám (
a,b∈R)
abszolútértéke az
a2
+
b2
valós szám, azaz a
0-tól
való távolsága. A komplex szám argumentuma az az irányított szög,
amellyel a pozitív valós félegyenest el kell forgatni, hogy a
0
végponttú a komplex számot tartalmazó félegyenest kapjuk. A fenti
z komplex szám argumentuma az a
φ szög, amelyre
cosφ=
a
a2
+
b2
, sinφ=
b
a2
+
b2
, tanφ=
b
a
.
|
Feladat: 1.10.
Adottak a következő komplex számok!
-i,
1+i,
2+6i,
1+3i,
-1-3i.
a) Határozzuk meg a számok abszolút
értékét és argumentumát!
b) Számítsuk ki az a) feladatrészben adott számok
négyzetét és azok abszolút értékét valamint argumentumát!
c) Számítsuk ki az a) feladatrészben adott számok
reciprokát, azok abszolút értékét valamint argumentumát!
d) Alább megadtuk egy-egy komplex szám abszolútértékét
(
rk
) és argumentumát (
φk
). Írjuk fel a számot!
r1
=3,
φ1
=
225∘
r2
=1,
φ2
=22,
5∘
r3
=2,
φ3
=-
60∘
.
Feladat: 1.11.
Írjuk fel az
r1
abszolútértékű,
φ1
argumentumú, és az
r2
abszolútértékű,
φ1
argumentumú
komplex számot! Számítsuk ki a két szám szorzatát, annak
abszolútértékét és argumentumát! Fogalmazzunk meg matematikai
összefüggést!
Feladat: 1.12.
Határozzuk meg az alábbi komplex számokat
kétféleképpen, algebrai átalakítással és geometriai elven, a
kifejezésben szereplő komplex számok argumentumának és abszolút
értékének figyelembevételével!
(1+3i
)3
1
1+3i
1+i
1-i
(
1+3i
1-i
)20
.
Feladat: 1.13.
a) Végezzük el az alábbi hatványozást!
b) Írjuk fel
cos5x-et
cosx és
sinx
polinomjaként!
c) Mutassuk meg, hogy bármely
n természetes szám esetén
cos(nx) felírható
cosx egészegyütthatós polinomjaként!
Feladat: 1.14.
Írjuk fel az alábbi komplex számokat
a+bi alakban (
a,b∈R).
(2+3i)(4-2i)
2+3i
4-2i
-81i
-32i
3+i
4
Feladat: 1.15. (M) [
21]
Két komplex szám összege és szorzata is valós. Mit
mondhatunk a két komplex számról?
Feladat: 1.16.
A
z=a+bi komplex szám konjugáltja (
a,b∈R) a
z
‾
=a-bi komplex szám. Döntsük el, hogy
az alábbi relációk közül melyek teljesülnek minden
z1
,
z2
komplex szám esetén!
a)
z1
‾
‾
=
z1
b)
z1
+
z2
‾
=
z1
‾
+
z2
‾
c)
z1
·
z2
‾
=
z1
‾
·
z2
‾
d)
(
z1
z2
)
‾
=
z1
‾
z2
‾
.
Feladat: 1.17.
Adjuk meg a
z
‾
=
z2
egyenlet összes
megoldását!
Feladat: 1.18.
Határozzuk meg a komplex számsíkon az
z
‾
=
1
z
egyenlet megoldáshalmazát!
Feladat: 1.19.
Ábrázoljuk a komplex számsíkon azon
z számok halmazát, amelyekre
a)
z+
z
‾
=3
b)
z-
z
‾
=5i
c)
z-
1
z
∈R
Feladat: 1.20. [
21]
Keressük meg a komplex számsíkon az alábbi relációk
megoldáshalmazát!
a)
1<|z|<2
b)
1<|
z-3
z-1
|
c)
1=|z|+|z+i|.
Feladat: 1.21. [
21]
Adjuk meg a
z
‾
=
zn
egyenlet összes megoldását (
n∈N)!
Feladat: 1.22.
Adott a komplex számsíkon egy körcikk-tartomány,
melynek középpontja a
0, sugara
2, ívének végpontjai
2i és
-2+2i. Határozzuk meg e tartomány képét és ősét a
komplex számsík
a)
z→
1
z
b)
z→
z2
leképezéseinél.
A harmadfokú egyenlet geometriája
Feladat: 1.23.
Legyen
ω=-
1
2
+i
3
2
.
Végezzük el a beszorzást és egyszerűsítsük az alábbi
kifejezéseket!
a)
(a+bω+c
ω2
)·(a+b
ω2
+cω);
b)
(a+b)·(a+bω)·(a+b
ω2
);
c)
(a
ω2
+bω)·(b
ω2
+aω).
Feladat: 1.24.
Legyen
ω=-
1
2
+i
3
2
.
Számítsuk ki az
ωn
+
ω2n
hatványösszeget!
Feladat: 1.25.
Határozzuk meg az összes olyan
z komplex számot, amelynek köbe
a) 1
b) (-1)
c) i
d) (-i).
Feladat: 1.26.
Adjuk meg az
a)
x3
+6
x2
+12x+8(1-i)=0
b)
x3
-3
x2
+3x+i-1=0
harmadfokú egyenlet összes megoldását!
Feladat: 1.27.
Tudjuk, hogy a
z szám egyik köbgyöke
1+i.
Határozzuk meg a többi köbgyökét!
Feladat: 1.28.
A
z komplex szám köbgyökei:
z1
,
z2
és
z3
. Határozzuk meg a
z1
z2
,
z2
z3
,
z3
z1
,
z2
z1
,
z3
z2
,
z1
z3
|
törtek összes lehetséges értékét!
Feladat: 1.29. [
14]
Oldjuk meg az alábbi harmadfokú egyenleteket (ne
válasszuk le a megtalált egész vagy racionális gyököket, hanem
alkalmazzuk a Cardano képletet, illetve az ahhoz vezető eljárást)!
a)
x3
-6x+9=0
b)
x3
-6x+4=0
c)
x3
+12x+63=0
d)
x3
+6x+2=0
e)
x3
+9
x2
+18x+28=0
f)
x3
+18x+15=0
g)
x3
+6
x2
+30x+25=0
h)
x3
-3
x2
-3x+11=0.
Feladat: 1.30.
Jelölje az
x3
+px+q=0 egyenlet gyökeit
x1
,
x2
és
x3
. Írjunk fel olyan harmadfokú egyenletet, amelynek gyökei
a)
x1
2
,
x2
2
,
x3
2
,
b)
x1
3
,
x2
3
,
x3
3
,
c)
x1
5
,
x2
5
,
x3
5
.
Feladat: 1.31.
Legyenek az
f(x)=
x3
-3x-1 polinom gyökei nagyság
szerinti sorrendben
x1
<
x2
<
x3
. Igazoljuk, hogy
x3
2
-
x2
2
=
x3
-
x1
.
Feladat: 1.32. [
204]
Marden tétele
Mutassuk meg, hogy ha az
f(x)=
ax3
+
bx2
+cx+d polinom gyökei az
A,
B,
C komplex számok és az
f'(x) polinom gyökei az
F1
,
F2
komplex számok, akkor
F1
és
F2
az
ABC háromszög Steiner-ellipszisének fókuszpontjai. A Steiner ellipszis az a másodrend? görbe, amely átmegy az
ABC háromszög felezőpontjain és ott érinti az oldalegyeneseket.
Egységgyökök
Feladat: 1.33.
Határozzuk meg a hatodik egységgyökök
a) összegét,
b) négyzetösszegét!
Oldjuk meg a feladatot a hetedik egységgyökökkel kapcsolatban is!
Feladat: 1.34.
Adjuk meg az alábbi összeg pontos értékét!
cos
40∘
+cos
80∘
+cos
120∘
+cos
160∘
+cos
200∘
+cos
240∘
+cos
320∘
+cos
360∘
.
|
Feladat: 1.35.
Ismeretes, hogy
0<n esetén
(
n
0
)+(
n
2
)+(
n
4
)+…=
2n-1
.
|
Ennek egy lehetséges bizonyítását kapjuk, ha az alábbi két sort
összeadjuk.
2n
=(1+1
)n
=(
n
0
)
1n
+(
n
2
)
1n-1
11
+(
n
2
)
1n-2
12
+(
n
3
)
1n-3
13
+(
n
4
)
1n-4
14
+…
|
0n
=(1-1
)n
=(
n
0
)
1n
-(
n
2
)
1n-1
11
+(
n
2
)
1n-2
12
-(
n
3
)
1n-3
13
+(
n
4
)
1n-4
14
+…
|
Határozzuk meg
(
n
0
)+(
n
3
)+(
n
6
)+…
|
(
n-től függő) értékét!
Feladat: 1.36.
Mutassuk meg, hogy
(1+i
)2007
+(1-i
)2007
egész szám és határozzuk meg az utolsó (1-es helyiérték?) jegyét!
Feladat: 1.37.
Határozzuk meg az alábbi összeg értékét!
(
2007
0
)-(
2007
2
)+(
2007
4
)-(
2007
6
)+(
2007
8
)-…±(
2007
2006
).
|
Feladat: 1.38.
Írjuk fel az alábbi polinomok gyöktényezős alakját
C[x]-ben, illetve
R[x]-ben!
a)
x3
-1,
x4
-1,
x6
-1.
b)*
x5
-1,
x7
-1,
x9
-1.
Feladat: 1.39.
Írjuk fel az
x3
-1
x4
-1
x5
-1
x6
-1
x12
-1polinomot
Q[x]-ben irreducibilis tényezők szorzataként!
Határozzuk meg mindegyik egységgyökről, hogy melyik irreducibilis tényező gyöke!
Feladat: 1.40. [
21]
Mutassuk meg, hogy a
zn
-2 polinom irreducibilis
Q[z]-ben!
Feladat: 1.41. [
14]
Jelöljön
ε
n-edik egységgyököt! Határozzuk meg az alábbi kifejezés értékét!
1+2ε+3
ε2
+…+n
εn-1
.
|
Feladat: 1.42. [
14]
a) Mutassuk meg, hogy ha a
z komplex számra
z+
1
z
=2cosθ, akkor
zm
+
1
zm
=2cosmθ.
b) Keressünk hasonló összefüggést
|z+
1
z
|<2 esetén!
Magasabbfokú polinomok geometriája
Feladat: 1.43. [
11]
Tegyük fel, hogy
Mutassuk meg, hogy ekkor a
p0
+
p1
z+
p2
z2
+…+
pn
zn
|
polinomnak nincs zérushelye az
|z|≤1 egységkörlapon!
Feladat: 1.44. [
11]
Tegyük fel, hogy a
p0
+
p1
z+
p2
z2
+…+
pn
zn
|
polinom együtthatói,
p0
,
p1
,
p2
,
…,
pn
pozitívak. Mutassuk meg, hogy
ekkor ennek a polinomnak minden zérushelye az
α≤|z|≤β körgyűrűben van, ahol
α a legkisebb,
β
pedig a legnagyobb a
p1
p0
,
p2
p1
,
p3
p2
, …
pn
pn-1
|
számok között.