6. FEJEZET: Abszolútérték függvény
Ahol külön nem jelezzük, ott a függvények értelmezési tartománya a valós számok lehető legbővebb részhalmaza.
Feladat: 6.1.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját! Mi a függvények értékkészlete?
a)
a(x)=|x|;
b)
b(x)=
x2
;
c)
c(x)=|-x| a
[-4;4] intervallumon;
d)
d(x)=2|x|;
e)
e(x)=-|x|, ha
x∈[-6;7[.
Feladat: 6.2.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját! Mi a függvények értékkészlete?
a)
a(x)=|x|-2;
b)
b(x)=|x-2|, ha
-8<x≤10;
c)
c(x)=|
1
2
x|;
d)
d(x)=|-2x|, ha
x∈[-5;5];
e)
e(x)=4
x2
.
Feladat: 6.3.
Hogyan helyezkednek el a
6.1.,
6.2. feladatokban kapott függvénygörbékhez képest az
A1
(5;4),
A2
(5;-6),
A3
(-7;-6),
A4
(10000;20000),
A5
(-10000;20000) pontok? (Melyik pont van az adott görbe ,,felett", a görbe ,,alatt", vagy esetleg rajta a görbén?)
Feladat: 6.4.
Az
1. ábrán az
y=|x|+b egyenletű abszolútérték-függvény grafikonja látható a
b=-3 esetben. Változtassuk
b értékét! Készítsük el az alábbi eseteknek megfelelő grafikonokat közös koordinátarendszerben!
a)
b=-1;
b)
b=1;
c)
b=3;
(Használhatjuk a GeoGebra programot is!)
Mi jellemzi az így kapott függvénygörbéket?
Feladat: 6.5.
Az
1. ábrán az
y=c·|x| egyenletű abszolútérték-függvény grafikonja látható a
c=-1 esetben. Változtassuk
c értékét! Készítsük el az alábbi eseteknek megfelelő grafikonokat közös koordinátarendszerben!
a)
c=-2;
b)
c=0;
c)
c=1;
d)
c=2;
(Használhatjuk a GeoGebra programot is!)
Mi jellemzi az így kapott függvénygörbéket?
Feladat: 6.6.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját! Mi a függvények értékkészlete?
a)
a(x)=2|x-3|;
b)
-
1
3
|x+3|;
c)
c(x)=-1,5|x-1|+2, ha
x∈]-4;5[;
d)
d(x)=
x2
+4x+4-3;
e)
e(x)=-2
x2
-2x+1+3, ha
-3<x≤5.
Feladat: 6.7.
Mi az
1. ábrán látható
a-
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 6.8.
Mi az
1. ábrán látható
a-
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 6.9.
Mi az
1. ábrán látható
a-
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 6.10.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját! Mi a függvények értékkészlete?
a)
a(x)=
|x|
x
;
b)
b(x)=
2
x2
|x
|2
, ha
-6<x≤7;
c)
c(x)=
3
x3
-
x3
.
Feladat: 6.11.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját!
a)
a(x)=|x|+x;
b)
b(x)=|x-1|+2x, ha
x∈[-5;4];
c)
c(x)=-2|x+3|+3x-1;
d)
d(x)=
x2
-4x+4-x+2, ha
x∈]-5;4].
Feladat: 6.12.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját!
a)
a(x)=|x+3|+|x-1|;
b)
b(x)=|x+3|-|x-1|;
c)
c(x)=2|x+3|-|x-1|.
Feladat: 6.13.
Mi az
1. ábrán látható
a-
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 6.14.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját! Mi a függvények értékkészlete?
a)
a(x)=
x2
-4
|x|-2
;
b)
b(x)=
x2
-2|x|+1
|x|-1
, ha
x∈[-4;4];
c)
c(x)=
4
x2
-4x+1
2x-1
.
Feladat: 6.15.
Egy pontszerű test kezdetben a koordinátarendszer
(-16;0) pontjában van. Ezután a test két egységnyi egyenletes sebességgel halad az
x tengely pozitív irányába. Mekkora a test távolsága
t idő múlva
a) az origótól;
b) a (12; 0) ponttól;
c) a (b; 0) ponttól?
Feladat: 6.16.
a) Határozzuk meg
a értékét, ha az
f(x)=a|x| függvény esetén
f(8)=4.
b) Határozzuk meg
b értékét, ha az
f(x)=|x-b| függvény esetén
f(8)=4.
c) Határozzuk meg
c értékét, ha az
f(x)=|x|+c függvény esetén
f(8)=4.
d) Határozzuk meg
a és
b értékét, ha az
f(x)=a|x-b| függvény esetén
f(4)=2 és
f(8)=10.
e) Határozzuk meg
a és
c értékét, ha az
f(x)=a|x|+c függvény esetén
f(2)=-1 és
f(4)=-5.
f) Határozzuk meg
b és
c értékét, ha az
f(x)=|x+b|+c függvény esetén
f(0)=5 és
f(4)=3.
Feladat: 6.17.
Az
f(x)=a|x+b|+c abszolútérték-függvény képe a derékszögű koordináta rendszerben ,,felfelé nyitott" V-betű alakú, melynek csúcsa a
(3;4) pontban van. Határozzuk meg
a,
b és
c értékét, ha a függvénygörbe átmegy a
(2;2) ponton!
Feladat: 6.18.
Az
f(x)=a|x-b| abszolútérték-függvény grafikonjának csúcsa az
A(-1;0) pont és a grafikon átmegy a
B(4;5) ponton is. Az
f függvény grafikonja látható az
1. ábrán.
a) Határozzuk meg
f egyenletét, azaz az
a,
b paraméterek értékét!!
b) Változtassuk a koordináta-rendszerben a
B pont helyzetét ! Határozzuk meg az így kapott abszolútérték-függvények képének az egyenletét! (Alkalmazhatjuk a GeoGebra programot is!)
c) Változtassuk az
A pont helyzetét az
x tengelyen, s határozzuk meg az ekkor kapott egyenleteket is!
Feladat: 6.19.
Módosítjuk a
6.18. feladatot. Most
A és
B a koordináta-rendszer tetszőleges rácspontjai lehetnek. (Legyen például kezdetben
A(-2;-4) és
B(5;3). mint az
1. ábrán.) Adjuk meg az
A csúcsú, a
Bponton áthaladó abszolútérték-függvény grafikonját, s miközben a pontok helyzetét változtatjuk, elemezzük a függvény egyenletének változását! (Használhatjuk a GeoGebra programot is.)
Feladat: 6.20.
Határozzuk meg a derékszögű koordináta-rendszerben azon
P(x;y) pontok halmazát, amelyek koordinátáira teljesül az alábbi feltétel:
a)
|2x+y|=5;
b)
|2x+y|<5;
c)
|x|-|y|=5;
d)
||x|-|y||=5;
e)
x
|x|
+
y
|y|
=0;
f)
|x|+|y|=4;
g)
|x|≤1 vagy
|y|≤1.