6. FEJEZET: Alapvető integrálok
Trigonometriai alapösszefüggések ismétlése
Feladat: 6.1. (M)
Fejezzük ki
cosα-t
a)
cos
α
2
és
sin
α
2
; | b)
cos
α
2
; |
c)
sin
α
2
; | d)
tg
α
2
|
függvényeként!
Feladat: 6.2. (M)
Fejezzük ki
chα-t
a)
ch
α
2
és
sh
α
2
; | b)
ch
α
2
; |
c)
sh
α
2
; | d)
th
α
2
|
függvényeként!
Feladat: 6.3. (M)
Fejezzük ki
sinα-t
a)
cos
α
2
és
sin
α
2
; | b)
cos
α
2
; |
c)
sin
α
2
; | d)
tg
α
2
|
függvényeként! Adjuk meg, hogy melyik formula mely intervallumon érvényes!
Feladat: 6.4. (M)
Fejezzük ki
shα-t
a)
ch
α
2
és
sh
α
2
; | b)
ch
α
2
; |
c)
sh
α
2
; | d)
th
α
2
|
függvényeként! Adjuk meg, hogy melyik formula mely intervallumon érvényes!
Feladat: 6.5. (M)
Fejezzük ki
a)
tgα-t
tg
α
2
;
b)
thα-t
th
α
2
függvényeként!
Feladat: 6.6. (SM)
arshx logaritmikus alakja
Fejezzük ki a
arshx értékét
x-szel a logaritmusfüggvény segítségével!
Parciális integrálás
Feladat: 6.7. (M)
a) Számítsuk ki az
In
=
∫0
π/2
sinn
xdx integrált!
b) Mutassuk meg, hogy az
{
In
} sorozat monoton fogyó!
c) (
Wallis formula)
Legyen
Jn
=
2·2
1·3
·
4·4
3·5
·
6·6
5·7
·…·
2n·2n
(2n-1)·(2n+1)
|
| (1) |
Igazoljuk, hogy
limn→∞
=
π
2
.
Parciális törtekre bontás
Feladat: 6.8. (M)
Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat!
a)
∫
x3
+
x2
-4x-6
(
x2
+2x+2)(x+2
)2
dx
b)
∫
3
x3
-11
x2
+10x-1
(x-2
)2
dx
c)
∫
x3
-
x2
+9x+7
(
x2
+2x+2)(
x2
-x+1)
dx
d)
∫
-
x3
+7
x2
-12x+18
(
x2
+x-2)(
x2
-2x+5)
dx
Helyettesítéses integrálás
Feladat: 6.9. (M)
Adjuk meg az
∫1-
x2
dx határozatlan integrált!
Feladat: 6.10. (M)
Adjuk meg az
∫1+
x2
dx határozatlan integrált!
Feladat: 6.11. (SM)
Adjuk meg az
∫
1
sinx
dx határozatlan integrált!
Feladat: 6.12. (SM)
Adjuk meg az
∫
1
shx
dx határozatlan integrált!
Feladat: 6.13. (SM)
Adjuk meg az
∫
1
1+x+(1+x
)3
dx határozatlan integrált!
Feladat: 6.14. (SM)
Adjuk meg az
∫
e2x
1+
ex
dx határozatlan integrált!
Feladat: 6.15. (SM)
Adjuk meg az
∫
1
1+sinx
dx határozatlan integrált!
Feladat: 6.16. (SM)
Adjuk meg az
∫
1
(1+
ex
)2
dx határozatlan integrált!
Feladat: 6.17. (SM)
Adjuk meg az
∫
1
2sinx-cosx+5
dx határozatlan integrált!
Feladat: 6.18. (SM)
Adjuk meg az
∫2
5
x
x-1
dx határozott integrált!