5. FEJEZET: Egyenlőtlenségek
Feladat: 5.1. [
60]
Adjuk meg az alábbi egyenletek valós megoldásainak számát az
a paraméter függvényében!
a)
x3
-3x=a
b)
3
x5
-50
x3
+135x=a
c)
x2
ex
=a
d)
ax
=x
Feladat: 5.2. [
60]
Mely
a valós számokhoz található olyan
b pozitív paraméterérték, amelyre az
x2
+a=2blnx egyenletnek pontosan egy megoldása van (
x-ben)?
Feladat: 5.3. (S) [
60]
Mutassuk meg, hogy ha az
a,
b pozitív számok összege
1, akkor bármely
x,
y számokra teljesül az
xa
yb
≤ax+by egyenlőtlenség!
Feladat: 5.4.
Mutassuk meg, hogy
0≤x esetén
a)
x-
x2
2
≤ln(1+x)≤x.
b)
x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
≤ln(1+x)≤x-
x2
2
+
x3
3
.
c) Folytassuk az a)-b) egyenlőtlenségsorozatot!
d) Mely
x számok esetén konvergens az
ln
=
∑k=1
n
(-1
)k+1
k
xk
sorozat?
e) Határozzuk meg
1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+
1
5
-… végtelen sor összegét!
f) Hogyan állnak a relációs jelek a)-ban és b)-ben
-1<x<0 esetén?
Feladat: 5.5. [
61]
Igazoljuk, hogy
0<
x1
<
x2
esetén
x2
-
x1
ln
x2
x1
<
1
2
(
x1
+
x2
).
|
Feladat: 5.6.
Mutassuk meg, hogy
0≤x esetén
a)
x-
x3
6
≤sinx≤x és
1-
x2
2
≤cosx≤1.
b)
x-
x3
3!
+
x5
5!
-
x7
7!
≤sinx≤x-
x3
3!
+
x5
5!
és
1-
x2
2!
+
x4
4!
-
x6
6!
≤cosx≤1-
x2
2!
+
x4
4!
.
c) Folytassuk az a)-b) egyenlőtlenségsorozatot!
d) Hogyan állnak a relációs jelek a)-ban, b)-ben és c)-ben
x<0 esetén?
e) Mutassuk meg, hogy az
sn
=
∑k=0
n
(-1
)k
(2k+1)!
x2k+1
,
cn
=
∑k=0
n
(-1
)k
(2k)!
x2k
|
sorozatok tetszőleges
x valós szám esetén konvergensek és határértékük
sinx illetve
cosx.
Feladat: 5.7.
Igazoljuk, hogy
0<x esetén
a)
1+x<
ex
;
b)
1+x+
x2
2
<
ex
!
c) Folytassuk az a)-b) egyenlőtlenségsorozatot!
d) Hogyan állnak a relációs jelek a)-ban és b)-ben
x<0 esetén?
Feladat: 5.8.
a) Igazoljuk, hogy
0≤x<
π
2
esetén
tg
x≥x+
x3
3
.
b) Adjunk meg minél nagyobb olyan
a valós számot, amelyre
0≤x<
π
2
esetén
tg
x≥x+
x3
3
+
ax5
.
Feladat: 5.9.
Igazoljuk, hogy
0≤x<1 esetén
1+
x
2
≥1+x≥1+
x
2
-
x2
8
.
Feladat: 5.10. (M)
a) Mutassuk meg, hogy az
f(x)=
1
x
függvény a
(0;∞) jobbról végtelen intervallumon alulról nézve (szigorúan) konvex!
b) Igazoljuk a számtani és harmonikus közép közti egyenlőtlenséget
n db pozitív számra!
Feladat: 5.11. (M)
a) Mutassuk meg, hogy az
f(x)=
x2
függvény alulról nézve (szigorúan) konvex
R-en!
b) Igazoljuk a számtani és négyzetes közép közti egyenlőtlenséget
n db pozitív számra!
Feladat: 5.12. (M)
Melyik háromszögben
a) maximális
b) minimális
a
kifejezés értéke, ahol
α,
β és
γ a háromszög három belső szögét jelöli?
Feladat: 5.13. (M)
Adott sugarú körbe írt háromszögek közül melyiknek
a) maximális
b) minimális
a kerülete?
Feladat: 5.14.
Adott sugarú körbe írt
n-szögek közül melyiknek
a) maximális
b) minimális
a kerülete?
Feladat: 5.15. (M)
Adott sugarú körbe írt háromszögek közül melyiknek
a) maximális
b) minimális
a területe?
Feladat: 5.16. (M)
Adott sugarú körbe írt háromszögek közül melyikben maximális az oldalak négyzetösszege?
Feladat: 5.17. (M)
Mutassuk meg, hogy
a
a2
+
b2
+
b
b2
+
c2
+
c
c2
+
a2
≤
3
2
|
egyenlőtlenség bármely valós
a,b,c
számokra teljesül!