8. FEJEZET: Középpontos nagyítás
A G.I. kötet G.I.8. fejezetében már találkoztunk a témával. Érdemes feleleveníteni az ottani feladatokat, állításokat.
Bemelegítő feladatok
Feladat: 8.1.
Kísérletezzünk dinamikus geometriai szoftverrel!
Adott egy szög, szárai
a,
b, csúcsa
C. Adott még egy
c egyenes is. Mozgassunk egy
c-vel párhuzamos egyenest, messe ez a szögszárakat az
A,
B pontokban. Vizsgáljuk az
ABC háromszög
a)
AB oldala
Fc
felezőpontjának
b) súlypontjának
mértani helyét!
Feladat: 8.2.
Kísérletezzünk dinamikus geometriai szoftverrel!
Vegyük fel az
ABCD négyszöget és a sík egy
P pontját. Vizsgáljuk az
ABP,
BCP,
CDP,
DAP háromszögek
SABP
,
SBCP
,
SCDP
,
SDAP
súlypontjai által alkotott
SABP
SBCP
SCDP
SDAP
négyszöget! Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg sejtést, próbáljuk meg igazolni!
Feladat: 8.3.
Dinamikus geometriai szoftverrel vizsgáljuk egy adott háromszögbe írható téglalapok rendszerét!
Definíció. A
PQRS négyszöget az
ABC háromszög
AB oldala fölé írt négyszögnek nevezzük, ha két csúcsa az
AB oldalon van, másik két csúcsa a másik két oldalon van.
Feladat: 8.4. (M)
Az
O1
,
O2
középpontú
k1
,
k2
körök a
T pontban érintik egymást. Egy
T-n átmenő egyenes még az
A1
,
A2
pontban metszi
k1
-et ill.
k2
-t. Mutassuk meg, hogy az
A1
O1
,
A2
O2
egyenesek párhuzamosak!
Szerkesztések
Feladat: 8.5. [
50]
Egy szög tartományán kívül kitűzött ponton át szerkesszünk olyan egyenest, amelynek a közelebbi szárig terjedő darabja egyenlő a szárak közti darabjával!
Feladat: 8.6. (SM) [
50]
Szerkesszünk két koncentrikus kört metsző egyenest, amelynek a két kör közé eső darabjai egyenlők a kisebbik körbe eső darabjával!
Lásd még a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének[50] 1322.-1375. feladatait.
Szakaszok
Feladat: 8.7.
Adott két egymással párhuzamos szakasz. Szerkesszük meg az összes olyan pontot, amelyből egymásba nagyíthatók!
Feladat: 8.8. (S)
Adott egy trapéz. Szerkesszük meg
- átlóinak metszéspontját,
- szárai meghosszabításának metszéspontját,
- alapjainak felezőpontjait!
Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg sejtést, próbáljuk meg igazolni!
Feladat: 8.9. (S)
Adott egy szakasz és a felezőpontja. Adott még egy pont is, amely nem illeszkedik a szakasz egyenesére. Szerkesszünk a legutóbb adott ponton át az adott szakasszal párhuzamos egyenest, ha a szerkesztéshez csak egyélű vonalzót használhatunk, körző alkalmazása nem engedélyezett.
Feladat: 8.10. (S)
Adott egy szakasz és egy vele párhuzamos egyenes. Szerkesszük meg a szakasz felezőpontját, ha a szerkesztéshez csak egyélű vonalzót használhatunk, körző alkalmazása nem engedélyezett.
Feladat: 8.11. (M)
Az
ABCD trapéz
AB alapja
7,
CD alapja
17 cm hosszú.
a) Határozzuk meg a trapéz középvonalának (a szárak felezőpontját összekötő szakasz) hosszát!
b) Jelölje az
AD szár
A felőli harmadolópontját
GA
, a
BC szár
B felőli harmadolópontját
GB
. Határozzuk meg a
GA
GB
szakasz hosszát!
c) Határozzuk meg az átlók metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenes szárak közés eső rarabjának hosszát!
d) Fejezzük ki az alapok hosszának függvényeként a trapéz középvonalának hosszát és a szárak egyik alap felőli harmadolópontjait összekötő szakasz hosszát!
e) Fejezzük ki a c) feladatban említett szakasz hosszát is az alapokkal!
Lásd még a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének[50] 1269.-1272. feladatait.
Háromszögek
Feladat: 8.12.
Adott az
ABC háromszög. Egy
AC-vel párhuzamos egyenes az
AB oldalt
P-ben, az
AFA
súlyvonalat
T-ben, a
BC oldalt
K-ban metszi. Határozzuk meg az
AC oldal hosszát, ha tudjuk, hogy
PT=3,
TK=5.
Feladat: 8.13. (SM)
Mi a mértani helye az
ABC háromszög
AB oldala fölé írt téglalapok (lásd a
8.3. feladatot) középpontjainak?
Feladat: 8.14. (M) [
200]
Adottak a síkon a
k,
l körök. Szerkesztendő
a) háromszög,
b) négyszög,
amelynek csúcsai
k-n, oldalfelezőpontjai pedig
l-en vannak.
Lásd még a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének[50] 1376.-1379. feladatait.
Körök és egyenesek
Feladat: 8.15. (SM)
Az
ABC háromszög beírt körét az
AB egyenes
E-ben, az
AB-vel párhuzamos másik érintője
D-ben értinti. A
CD,
AB egyenesek metszéspontja
F. Mutassuk meg, hogy
AE=FB!
Feladat: 8.16. (S)
Az
ABC háromszög beírt köre az
AB,
BC,
CA oldalakat rendre a
C1
,
A1
,
B1
pontokban
érinti. Az
ABC háromszög köré írt kör
C-t nem tartalmazó
AB
^
ívének felezőpontja legyen
C2
, az
A-t nem
tartalmazó
BC
^
ív felezőpontja
A2
, a
B-t nem
tartalmazó
CA
^
ív felezőpontja pedig
B2
. Bizonyítsuk
be, hogy az
A1
A2
,
B1
B2
,
C1
C2
egyenesek egy ponton
mennek át!
Lásd még a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének[50] 1380.-1386. feladatait.
Érintkező körök
Feladat: 8.17. (M)
Adott két egymást érintő kör. Mutassuk meg, hogy az érintési pontjuk egy olyan középpontos nagyítás centruma, amely az egyik kört a másikba képezi!
Feladat: 8.18. (M)
Adott egy
k kör és rajta egy
H pont. Mutassuk meg, hogy ha
k' a
k kör képe egy
H centrumú középpontos nagyításnál, akkor
k és
k' érintik egymást
H-ban!
Feladat: 8.19. (SM)
A
k1
,
k2
körök az
e egyenest az
A1
illetve
A2
pontban, egymást pedig az ezektől különböző
C pontban érintik. A
k2
kör
e-vel párhuzamos másik érintője
k2
-t
B-ben érinti. Bizonyítsuk be, hogy
C illeszkedik az
A1
B egyenesre!
Feladat: 8.20. (SM)
Adott az egymással párhuzamos
e és
f egyenes valamint
e-n az
E,
f-en az
F pont.
Mi azon
M pontok mértani helye a síkban, amelyekhez van olyan
kE
és
kF
kör, amelyek egymást
M-ben érintik és
kE
az
E-pontban érinti
e-t, míg
kF
az
F-ben
f-et?
Feladat: 8.21. (SM)
A
k1
kör a
k2
kör belsejében helyezkedik el és az
A pontban érinti azt. A
k1
kör
A-tól különböző
T pontjában állított érintője a
k2
kört a
B,
C pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy az
AT egyenes felezi a
BAC szöget!
Feladat: 8.22. (M)
A
k,
l körök egymást a
P pontban kívülről érintik. Egy
P-n átmenő egyenes a
k,
l köröket
P-n kívül még az
L,
K pontokban metszi. A
k-tól különböző
k1
kör is átmegy a
P,
K pontokon és az
L-ből
k1
-hez húzott
t érintő érintési pontja
T, míg
t és az
l kör
L-től különböző metszéspontja
U. Mutassuk meg, hogy ha a
KT egyenes és a
k kör
K-tól különböző metszéspontja
V, akkor az
UV egyenes érinti
k-t.
Feladat: 8.23.
A
k,
l körök egymást a
P pontban kívülről érintik. Egy
P-n átmenő egyenes a
k,
l köröket
P-n kívül még az
L,
K pontokban metszi. A
k körön adott még a
V pont is. A
k kör
V-beli
v érintőjének az
l körrel való egyik metszéspontja
U, míg az
LU,
KV egyenesek metszéspontja
T. Mutassuk meg, hogy a
PKT háromszög körülírt köre érinti az
UL egyenest.
A térben
Feladat: 8.24.
Egy kúp alakú edényben az edény térfogatának fele mennyiségű folyadék van. Milyen magasan van a folyadék felszíne, ha a kúp
a) felfelé szűkül?
b) lefelé szűkül?
Feladat: 8.25.
Adott az
ABCDEFGH kocka (az
ABCD,
EFGH párhuzamos négyzetlapok és a rájuk merőleges élek:
AE,
BF,
CG és
DH). Felveszünk egy szakaszt, melynek egyik végpontja az
AB, másik végpontja az
FG élen van. Határozzuk meg az így adódó szakaszok felezőpontjának mértani helyét!
Középpontos nagyítások kompozíciója
Feladat: 8.26. (S)
Határozzuk meg az
O1
középpontú
λ1
arányú és az
O2
középpontú
λ2
arányú középpontos nagyítás kompozícióját!
Feladat: 8.27. (SM)
Adott három kör. Igazoljuk, hogy páronkénti külső hasonlósági pontjaik egy egyenesen vannak.
1. ábra
Feladat: 8.28. (M)
Adott három kör. Tekintsük közülük két párnak a belső hasonlósági pontját, a harmadik párnak pedig a külső hasonlósági pontját! Mutassuk meg, hogy ez a három hasonlósági ponht egy egyenesen van!
Feladat: 8.29.
Adott az
ABC háromszög és az
AB oldalegyenesen a
C1
, a
BC oldalegyenesen az
A1
pont. Értelmezzük a
C1
B
C1
A
=
λC
;
A1
C
A1
B
=
λA
|
| (1) |
törteket előjelesen, tehát pl
λC
értéke negatív, ha
C1
az
AB szakaszon belsejében van, míg negatív ha nincs a szakaszon, sem a végpontjaiban.
A
C1
középpontú
λC
arányú
C1
λC
középpontos nagyítás az
A1
pontot
B1
-be képezi, míg az
A1
középpontú
λA
arányú
A1
λA
középpontos nagyítás a
B1
pontot
C1
-be viszi.
a) Mutassuk meg, hogy van egy olyan
B1
ponta síkon és hozzá egy
λB
arány, hogy a
B1
középpontú
λB
arányú
B1
λB
középpontos nagyítással
a három említett középpontos nagyítás
B1
λB
∘
A1
λA
∘
C1
λC
|
| (2) |
kompozíciója az identitás!
b) Hol található a
B1
pont?
c) Határozzuk meg
λB
értékét!
Feladat: 8.30.
Menelaosz tétele
Adottak az
ABC háromszög
AB,
BC,
CA oldalegyenesein a
C1
,
A1
,
B1
pontok. Mutassuk meg, hogy
C1
,
A1
és
B1
pontosan akkor illeszkedik egy egyenesre, ha az
AB,
BC,
CA egyeneseken előjeles távolságokkal számolva
AC1
C1
B
·
BA1
A1
C
·
CB1
B1
A
=-1.
|
| (1) |
Feladat: 8.31. (S)
Adottak a
K,
L körök a síkon. Tekintsük az összes olyan
m kört, amely
K-t és
L is érinti és kössük össze egyenessel
K és
m érintési pontját
L és
m érintési pontjával. Mutassuk meg, hogy van két pont a síkon, hogy az így adódó egyenesek mindegyike legalább az egyiken átmegy.
Feladat: 8.32. (S)
A
kA
,
kB
,
kC
körök az
ABC háromszög belsejében és egymás külsejében helyezkednek el
úgy, hogy
kA
érinti az
AB,
AC oldalegyeneseket,
kB
a
BC,
BA oldalegyeneseket, míg
kC
a
CA,
CB oldalegyeneseket. A
k kör kívülről érinti mind a három kört,
kA
-t
TA
-ban
kB
-t
TB
-ben
kC
-t
TC
-ben.
Mutassuk meg, hogy az
ATA
,
BTB
,
CTC
egyenesek egy ponton mennek át!
Feladat: 8.33. (S)
Az
ABC háromszög
ω körülírt körének belsejében helyezkednek el a
cA
,
cB
és
cC
körök úgy, hogy
ω-t rendre az
UA
,
UB
,
UC
pontokban érintik, ezen kívül
cA
az
AB,
AC egyeneseket,
cB
a
BC,
BA egyeneseket, míg
cC
a
CA,
CB egyeneseket is érinti. Mutassuk meg, hogy az
AUA
,
BUB
,
CUC
egyenesek egy közös ponton haladnak át!
Vegyes feladatok
Feladat: 8.34. (M) [
34]
A
k1
,
k2
,
k3
körök egymást páronként érintik három különböző pontban. Mutassuk meg, hogy
k1
és
k2
érintési pontját a másik két érintési ponttal összekötő egyenesek
k3
-at egy átmérő két végpontjában metszik.
Feladat: 8.35. (M)
A
k,
l körök egymást a
P pontban kívülről érintik. A
P-n átmenő
p egyenes a
k,
l köröket
P-n kívül még az
L,
K pontokban metszi. A
k körön adott még a
V pont is. A
k kör
V-beli
v érintőjének az
l körrel való egyik metszéspontja
U, míg az
LU,
KV egyenesek metszéspontja
T.
a) Határozzuk meg a
T pont mértani helyét, ha
V befutja
k-t (
l,
k,
P,
p rögzített,
v és
l mindkét metszéspontja figyelembe veendő).
b) Határozzuk meg a
T pont mértani helyét, ha
p forog
P körül (
l,
k,
P,
V,
v,
U rögzített).
Feladat: 8.36. (M)
IMO, 2008 Madrid, 6. fel.
Legyen
ABCD konvex négyszög, amelyben
|BA|≠|BC|. Jelölje
ω1
illetve
ω2
az
ABC illetve
ADC háromszög beírt körét. Tegyük fel, hogy létezik egy olyan
ω kör, amely érinti az
BA félegyenes
A-n túli részét és a
BC félegyenes
C-n túli részét, továbbá érinti az
AD és
CD egyeneseket. Bizonyítsuk be, hogy az
ω1
,
ω2
körök közös külső érintői az
ω körön metszik egymást.