3. FEJEZET: Inverzió
Adott a sík (tér)
O pontja és egy zérustól különböző
λ szám. Inverziónak nevezzük a sík (tér) azon leképezését, amely az
O-tól különböző
P ponthoz, az
OP irányított egyenes azon
P' pontját rendeli, amelyre - előjelesen számolva -
Az inverzió az
O ponton, az inverzió
centrum-án nem értelmezett, a sík (tér) centrumtól különböző pontjainak halmazát önmagára képezi le kölcsönösen egyértelmű módon.
Ha
λ>0, akkor megfelelő pozitív
r-rel
λ=
r2
. Ebben az esetben az inverziónak vannak fixpontjai, nevezetesen az
O középpontú
r sugarú
i kör (gömb) pontjai. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az
i körre (gömbre) invertálunk. A negatív paraméter? inverzió némileg kézzelfoghatóbbá válik a
3.46. feladat megoldása révén.
Az inverziót Jacob Steiner svájci származású matematikus vezette be a XIX. század első felében.
A feladatgy?jteményben a körök és egyenesek halmazát helyenként egyben kezeljük és
kögyenesnek nevezünk egy alakzatot, amely kör és egyenes is lehet.
Az inverzió szerkesztése
Feladat: 3.1. (M)
Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont.
Szerkesszük meg az adott pont adott körre vonatkozó inverz
képét!
Feladat: 3.2. (SM)
Adott egy kör a középpontjával, és még egy további pont. Szerkesszük
meg az adott pont adott körre vonatkozó inverz képét csak
körzővel!
Feladat: 3.3. (SM)
Adott két pont. Szerkesszük meg a
a)
felezőpontjukat;
b) harmadolópontjaikat
csak körzővel!
Kögyenesek képe
Feladat: 3.4. (M)
Mutassuk meg, hogy ha az
O centrumú inverziónál az
A,
B pontok képe
A' és
B',
akkor
a) az
AOB,
B'OA' háromszögek hasonlóak;
b) az
A
B,
A',
B' pontok egy körön vagy egyenesen vannak.
Feladat: 3.5. (M)
Adott az
O középpontú,
r sugarú
i kör és az
i-t érintő
e egyenes.
a) Invertáljuk az
e egyenes hat pontját
i-re!
b) Fogalmazzunk meg sejtést az
e egyenes inverz képére vonatkozólag!
c) Igazoljuk a sejtést!
d) Mi lesz
e képe egy olyan körre vonatkozó inverziónál, amely koncentrikus
i-vel, de sugara csak harmadakkora, mint
i sugara?
e) Mi lesz
e képe az
O középpontú
λ=-
r2
paraméterű inverziónál (
OP·OP'=λ<0)?
Feladat: 3.6. (M)
Milyen egyszerűbb geometriai transzformációval kapható meg egy alakzat
i1
körre vonatkozó invertáltjából az eredeti alakzat
i1
-gyel koncentrikus, de háromszor akkora sugarú
i2
körre vonatkozó invertáltja?
Feladat: 3.7. (SM)
Az adott
O pont a
λ≠0 valós paraméter meghatározta
i inverziót vizsgáljuk. Milyen alakzatot kapunk, ha valamely
e egyenes minden pontját invertáljuk?
Feladat: 3.8. (S)
Adott az
O középpontú
i kör, rajta az
A pont és az
OA szakasz
k Thalesz köre.
a) Invertáljuk a
k kör hat pontját
i-re!
b) Fogalmazzunk meg sejtést a
k kör inverz képére vonatkozólag!
c) Igazoljuk a sejtést!
d) Mi lesz egy tetszőleges,
O ponton áthaladó kör képe az
i körre vonatkozó inverziónál?
Feladat: 3.9.
Adott az
O középpontú
i kör, valamint a
k kör, amely nem megy át
O-n.
a) Invertáljuk a
k kör hat pontját
i-re!
b) Fogalmazzunk meg sejtést a
k kör inverz képére vonatkozólag!
Feladat: 3.10. (S)
Adott az
O középpontú
i kör, rajta az
A pont, valamint az
OA egyenest
A-ban érintő
k kör.
a) Invertáljuk a
k kör hat pontját
i-re!
b) Fogalmazzunk meg sejtést a
k kör inverz képére vonatkozólag!
c) Igazoljuk a sejtést!
d) Milyen alakzat lesz egy tetszőleges, de
O-t nem tartalmazó kör képe az
i-re vonatkozó inverziónál?
e) És egy negatív paraméterű (
OP·OP'=λ<0) inverziónál?
Feladat: 3.11.
Mutassuk meg, hogy az inverzió ,,kögyenestartó", azaz ha egy alakzat kör vagy egyenes, akkor az inverziónál származó képe is kör vagy egyenes!
Feladat: 3.12. (M)
A koordinátarendszerben dolgozunk. Inverziónk centruma az origó, paramétere a
λ≠0 szám (tehát
OP·OP'=λ)
a) Határozzuk meg a
P(x;y) pont inverziónál származó képének koordinátáit!
b) Határozzuk meg, hogy az inverziónál a
P(x;y) pont mely pontnak a képe!
c) Határozzuk meg az
egyenletű
alakzat képének
egyenletét!
d) Ennek alapján adjunk új bizonyítást arra, hogy az
inverzió önmagára képezi a körök és egyenesek halmazát!
Feladat: 3.13. (M)
Egy
R sugarú kört invertálunk egy
r sugarú körre. A két
középpont távolsága
d. Határozzuk meg a kör képének sugarát és
középpontjának távolságát az inverzió centrumától!
Feladat: 3.14.
Készítsünk vázlatot az
1. ábrák
I körre vonatkozó inverz képéről!
1. ábra
Feladat: 3.15. (M)
Adott az
O centrumú
i inverzió és két egymástól - és
O-tól - különböző pont,
A és
B. Keressük annak szükséges és elégséges feltételét, hogy
i kicseréli egymással
A-t és
B-t. Mutassuk meg, hogy az alábbi két feltétel bármelyike megfelelő!
I.
O,
A és
B egy egyenes három különböző pontja és az
i inverziónál
A és
B nem fixpont, de
i önmagára képezi az
A-n és
B-n is átmenő egyik
k kört.
II. Az
i inverziónál
A és
B nem fixpont, de
i önmagára képez az
A-n és
B-n is átmenő
két kögyenest.
Feladat: 3.16. (M)
Adott a síkon három különböző pont:
A,
A' és
B. Határozzuk
meg a sík összes olyan
B' pontját, amelyhez van olyan inverzió,
amely
A-t
A'-be,
B-t pedig
B'-be viszi.
Feladat: 3.17. (M)
Adott a síkon három különböző pont:
A,
A' és
C. Szerkesszünk olyan kört, amely átmegy
C-n és amelyre
A-t invertálva
A'-t kapjuk.
Feladat: 3.18. (M)
a) Legyen
A és
A' egy pont és a képe a
K körre
vonatkozó inverziónál. Bizonyítsuk be, hogy az inverzió alapkörén
(
M∈K) az
AM/A'M arány értéke állandó!
b) Bizonyítsuk be, hogy az
A,B pontpár
Apollóniusz-körei pontosan azok a körök, amelyekre vonatkozó
inverziók
A-t és
B-t egymásra képezik!
Feladat: 3.19. (M)
Adott a
K és az
L kör. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi
állítások ekvivalensek (körök merőlegessége)!
A)
K és
L metszi egymást, és bármelyik metszéspontban
a körök érintői merőlegesek egymásra.
B)
K középpontjából az
L-hez húzott érintő érintési
pontja a
K körön van.
B')
L középpontjából a
K-hoz húzott érintő érintési
pontja az
L körön van.
C) A körök
RK
,
RL
sugaraira és középpontjaik
d
távolságára
RK
2
+
RL
2
-
d2
=0.
D) A
K,
L körök különbözőek és a
K-ra vonatkozó inverziónál
L fix.
D') A
K,
L körök különbözőek és az
L-re vonatkozó inverziónál
K fix.
E)
L-nek van két olyan (egymástól különböző) pontja,
amelyek a
K-ra vonatkozó inverziónál kicserélődnek.
E')
K-nak van két olyan (egymástól különböző) pontja,
amelyek az
L-re vonatkozó inverziónál kicserélődnek.
F) A
K,
L körök
aK
(
x2
+
y2
)+
bK
x+
cK
y+
dK
=0;
aL
(
x2
+
y2
)+
bL
x+
cL
y+
dL
=0,
|
egyenletében
2
aK
dL
-
bK
bL
-
cK
cL
+2
dK
aL
=0.
|
Feladat: 3.20. (M)
Adott a síkon három különböző, nem kollineáris pont:
A,
B,
C. Legyen
kA
az
A-n átmenő
B-t a
C-be vivő,
kb
a
B-n átmenő
C-t az
A-ba vivő,
kc
a
C-n átmenő
A-t a
B-be vivő inverzió alapköre. Mutassuk meg, hogy van két pont, amelyeken a három kör mindegyike átmegy.
Feladat: 3.21. (SM)
Adott a síkon három különböző, nem kollineáris pont:
A,
B,
C. Jellemezzük azokat a centrumokat, amelyekre invertálva az adott pontokat, a kapott
A',
B',
C' pontokra
A'C'=B'C' teljesül.
Szerkesztések csak körzővel
Feladat: 3.22. (SM)
a) Adott egy kör a középpontjával, és adott még egy
egyenes is. Szerkesszük meg az egyenes körre vonatkozó inverz
képét csak körzővel! Oldjuk meg a feladatot abban az esetben is,
amikor az egyenes csak két pontjával van megadva (és nem megy át
az inverzió centrumán).
b) Adott két egyenes két-két pontjával. Szerkesszük meg a
metszéspontjukat csak körzővel!
c) Bizonyítsuk be, hogy bármely szerkesztés, ami körzővel
és vonalzóval elvégezhető, az elvégezhető csak körzővel is!
Merőlegesség, fix kör, fixfix kör
Feladat: 3.23. (M)
a) Igaz-e, hogy bármely két körhöz található egy harmadik kör, mely mind a kettőre merőleges?
b) Igaz-e, hogy bármely két kögyeneshez található olyan kögyenes, amelyik mind a kettőre
merőleges! (kögyenes: kör vagy egyenes.)
Feladat: 3.24. (M)
Az
1. a)-d) ábrákon három-három kör látható. Melyik esetben van olyan kör, amelyik mind a háromra merőleges?
1. ábra
e) Adott három kör. Szerkesszünk olyan kört, amelyik mind a háromra merőleges, ha van egyáltalán ilyen!
f) Adott három kör. Van-e mindig olyan inverzió vagy tengelyes tükrözés, amely mind a hármat önmagára képezi?
Feladat: 3.25. (M)
Adott két különböző kör. Adjuk meg az összes olyan inverziót, amely
a) kicseréli a két kört egymással;
b) önmagára képezi mindkét kört!
Feladat: 3.26. (M)
Adott egy háromszög.
a) Szerkesszük meg annak a körnek a középpontját, amely merőleges a háromszög mindhárom hozzáírt körére!
b) Ez máskülönben milyen nevezetes pont?
Feladat: 3.27. (M)
Tekintsük azt a három kört, amelyek érintik egy háromszög három
hozzáírt körét, méghozzá egyet önmagukon belül, kettőt pedig
kívül. Bizonyítsuk be, hogy ennek a három körnek van közös pontja!
Érintkező körök
Feladat: 3.28. (SM)
Az
AB=d átmérőjű
L félkörbe írt
r=d/4 sugarú
K1
kör
érinti a félkörívet és az
AB átmérőt is. Határozzuk meg annak a
K2
körnek a sugarát, amely érinti a félkörívet, az átmérőt
és a
K1
kört is, és
B-hez közelebb van, mint
A-hoz!
Feladat: 3.29. (M)
Az
ABC derékszögű háromszögben
ACB∠=
90∘
,
AC=20,
BC=5
A
kA
kör középpontja
A, sugara
2, a
kB
kör középpontja
B, sugara
3. Szerkesztendők mindazok a
C-n átmenő körök, amelyek érintik a
kA
,
kB
köröket!
Feladat: 3.30. (M)
Apollóniuszi probléma
a) Adott egy pont és két kör (a körök bármelyike, akár
mindkettő lehet egyenes is). Szerkesszünk kört, amely átmegy a
ponton és érinti a két adott alakzatot!
b) Adott három kör (a körök bármelyike, akár mindhárom
lehet egyenes is). Szerkesszünk kört, amely érinti mindhárom adott
alakzatot!
(Lásd még a
G.II.10.1-
G.II.10.8. feladatokat!)
Feladat: 3.31. (SM)
Adott egy kör és rajta az
A és a
B pont. Tekintsünk az összes
lehetséges módon két olyan kört, amelyek egyike
A-ban, másika
B-ben érinti az adott kört, egymást pedig (egy előre nem adott)
M pontban érintik. Határozzuk meg az így adódó
M pontok
mértani helyét!
Feladat: 3.32. (SM)
A
K és az
L kör egyik metszéspontja
A. A két kör
e és
f
közös érintőin az érintési pontok
EK
és
EL
, illetve
FK
és
FL
(lásd az
1. ábrát). Bizonyítsuk be, hogy az
EK
EL
A és az
FK
FL
A háromszög
körülírt köre érinti egymást!
1. ábra
Feladat: 3.33. (M)
A
k kör érinti az egymással párhuzamos
l1
,
l2
egyeneseket. A
k1
kör érinti
l1
-et
A-ban és kívülről érinti
k-t
C-ben. A
k2
kör érinti
l2
-t
B-ben, kívülről érinti
k1
-et
E-ben és
k-t
D-ben. Az
AD,
BC egyenesek metszéspontja
Q (lásd az
1. ábrát). Bizonyítsuk be, hogy
Q a
CDE háromszög köré írt körének középpontja.
1. ábra
Feladat: 3.34. (M)
Adott a
k kör és annak
e átmérő egyenese. Képzeljük el mindazokat a köröket, amelyek érintik
e-t és
k-t is és az általuk meghatározott egyik félkörlemezen helyezkednek el (lásd az
1. ábrát).
a) Mi a mértani helye ezen körök középpontjainak?
b) Mutassuk meg, hogy a síkon van egy olyan pont, amely illeszkedik bármelyik ilyen körnek az
e-vel és
k-val való érintési pontját egymással összekötő egyenesre!
c) Ezen körök közül ketten egymást is érinthetik. Hol lehet az érintési pontjuk?
1. ábra
Feladat: 3.35. (SM)
a) Adott két érintkező kör. Egy harmadik kör az egyik
adott kört az
A pontban, a másik adott kört a
B pontban érinti.
Bizonyítsuk be, hogy az így adódó
AB egyenesek mind átmennek egy
bizonyos ponton, vagy mind párhuzamosak!
b) Lényeges-e, hogy a két adott kör érinti egymást?
Feladat: 3.36.
a) Adott két egymást metsző kör. Tekintsünk az összes
lehetséges módon két olyan kört, amelyek mindkét kört érintik és
egymást is érintik (egy előre nem adott)
M pontban. Határozzuk
meg az így adódó
M pontok mértani helyét!
b) Lényeges-e, hogy a két adott kör metszi egymást?
Feladat: 3.37. (M)
a)Adottak az egymást metsző nem azonos sugarú
K,
L körök a síkon
(
K és
L egyike lehet egyenes is). Tekintsük a
K és
L által
határolt négy síkbeli tartomány egyikében az összes olyan kört,
amely érinti
K-t és
L-t. Mutassuk meg, hogy a síkon van olyan
pont, amelynek e körök bármelyikére (nem
K-ra és
L-re!)
vonatkozó hatványa egyenlő!
b) Lényeges-e, hogy a két adott kör metszi egymást?
Az inverzió szögtartó
Feladat: 3.38. (S)
Tekintsünk két egyenest érintkezőnek, ha párhuzamosak. Két kör illetve egy kör és egy egyenes érintkezése ismert fogalom.
Bizonyítsuk be, hogy két kör, két egyenes vagy egy kör és egy egyenes pontosan akkor érintkező, ha az inverziónál származó képeik is azok!
Feladat: 3.39.
Mutassuk meg, hogy az egymást két pontban -
A-ban és
B-ben - metsző
k,
l körök
A-beli érintőinek egymással bezárt szöge abszolút értékben megegyezik a
B-beli érintőik szögével, de a két szög irányítás szerint egymással ellentétes.
Feladat: 3.40. (M)
a) Bizonyítsuk be, hogy két egyenes szöge megegyezik az
inverziónál származó képeik szögével!
b) Bizonyítsuk be, hogy az inverzió szögtartó, azaz
bármely két kör vagy egyenes szögének abszolút értéke megegyezik képeik szögének abszolút értékével!
c) Mutassuk meg, hogy az inverzió lokálisan szögfordító, azaz bármely pontban az ott találkozó kögyenesek irányított szöge ellentétes a pont képénél a két kögyenes képének irányított szögével!
Feladat: 3.41. (M)
Kössük össze az
1. ábrán azokat a
részábrákat, amelyek megkaphatók egymásból egy inverzió és egy
egybevágóság alkalmazásával! (A pöttyözött vonalak csak
segédvonalak)
1. ábra
Körök speciális elrendezései
Feladat: 3.42. (SM)
A
k1
,
k2
,
k3
,
k4
körök ciklikus sorrendben érintik
egymást:
k1
és
k2
érintési pontja
P12
,
k2
-é és
k3
-é
P23
,
k3
-é és
k4
-é
P34
, végül
k4
és
k1
érintési pontja
P41
. Bizonyítsuk be, hogy a
P12
,
P23
,
P34
,
P41
érintési pontok egy körön vannak!
Feladat: 3.43. (M)
A
k1
,
k2
,
k3
,
k4
körök ciklikus sorrendben páronként két pontban metszik egymást:
k1
∩
k2
={
P12
,
Q12
},
k2
∩
k3
={
P23
,
Q23
},
k3
∩
k4
={
P34
,
Q34
},
k4
∩
k1
={
P41
,
Q41
}.
Mutassuk meg, hogy ha a
P12
,
P23
,
P34
,
P41
metszéspontok egy kögyenesen vannak, akkor a
Q12
,
Q23
,
Q34
,
Q41
pontok is egy kögyenesre illeszkednek!
Feladat: 3.44.
Bizonyítsuk be, hogy ha egy érintőnégyszög csúcsait invertáljuk a
beírt körre, akkor az érintési pontok alkotta sokszög
oldalfelezőpontjait kapjuk!
Feladat: 3.45. (M)
a) Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben
ahol
R a körülírt kör,
r a beírt kör
sugarát,
d pedig a középpontok távolságát jelöli!
b) Írjunk fel hasonló összefüggést a háromszög körülírt,
az egyik oldalához hozzáírt körének sugara és középpontjaik
távolsága között!
c)* Hasonló összefüggés állítható fel azoknál a
négyszögeknél, amelyek egyszerre húr- és érintő-négyszögek is.
Keressük meg az összefüggést és igazoljuk is!
Feladat: 3.46. (SM)
Adott az
A pont és a
K kör. Mutassuk meg, hogy mindazok a
körök, amelyek átmennek
A-n és
K-t egy átmérő két végpontjában
metszik tartalmaznak még egy közös pontot!
Feladat: 3.47. (M)
(
Az inverzió inverziótartó?)
Az
I,
K,
K' körök és az
A,
B,
A',
B' pontok
elrendezése olyan, hogy az
I körre vonatkozó inverziónál
K
képe
K',
A képe
A', míg
B képe
B', a
K-ra vonatkozó
inverzió pedig
A-t
B-nek felelteti meg. Igaz-e, hogy a
K'-re
vonatkozó inverziónál
A' és
B' egymás képei?
Feladat: 3.48. (M)
Állítsuk elő a tengelyes tükrözést inverziók kompozíciójaként!
Feladat: 3.49. (M)
Ha adott a sík tetszőleges
A1
és
A1
' pontja, akkor létezik
olyan egybevágósági transzformáció, amely
A1
-et
A1
'-re
képezi. Nem nehéz megadni olyan
A1
,
A2
és
A1
',
A2
'
pontpárokat, amelyekhez nincs olyan egybevágóság, amely
A1
-et
A1
'-re, és egyúttal
A2
-t
A2
' -re képezi.
Bárhogy is adottak a síkon az
A1
,
A2
,
A1
',
A2
' pontok,
mindig van olyan hasonlósági transzformáció, amely
A1
-et
A1
'-re, és egyúttal
A2
-t
A2
'-re képezi. Nem nehéz megadni
olyan
A1
,
A2
,
A3
és
A1
',
A2
',
A3
'
ponthármasokat, amelyekhez nincs olyan hasonlóság, amely
A1
-et
A1
'-re,
A2
-t
A2
'-re és egyúttal
A3
-at
A3
'
-ra képezi.
Határozzuk meg azt a maximális
n pozitív egészt,
amelyre bárhogyan is adottak a síkon az
A1
,
A2
,
…,
An
,
A1
',
A2
',
…,
An
' pontok, mindig van
inverzióknak olyan kompozíciója, amely
A1
-et
A1
'-re,
A2
-t
A2
'-re,
…, és egyúttal
An
-et
An
'-re képezi!
Feladat: 3.50. (SM)
Adott két kör. Szerkesszünk két olyan pontot, amelyek mindkét
körre vonatkozó inverziónál kicserélődnek!
Feladat: 3.51. (SM)
Bizonyítsuk be, hogy bármely két közös pont nélküli kör
koncentrikus körökbe invertálható!
Feladat: 3.52. (M)
A
k1
,
k2
koncenrikus körök közé
8 egyenlő sugarú kört helyeztünk, amelyek ciklikusan érintik egymást és mindegyik érinti
k1
-et és
k2
-t (lásd az
1. ábrát).
a) Határozzuk meg a két koncentrikus kör sugarának arányát!
b) A körlánc tagjai egymást olyan pontokban érintik, amelyek mind egy
l körön vannak. Fejezzük ki a
k1
-gyel és
k2
-vel koncentrikus
l kör sugarát a
k1
,
k2
körök sugaraival!
c) Oldjuk meg az a), b) feladatokat, ha a az eredeti két kör közé
n ciklikusan egymást érintő kör lánca írható!
1. ábra
Feladat: 3.53. (M)
Szerkesszünk két
nem koncentrikus kört
k1
-et és
k2
-t, amelyek egyike a másik belsejében, és
8
további kört, amelyek
k1
és
k2
között vannak, mindkettőt érintik és egymást is ciklikusan:
k1
a
k2
-t,
k2
még a
k3
-at,
k3
még a
k4
-at, ...
k8
még a
k1
-et is.
Feladat: 3.54. (S)
Steiner Poriszmája néven ismeretes az alábbi tétel:
Adott két kör,
L1
és
L2
, amelyek nem érintik egymást. Egy
L1
-et is
L2
-t is érintő
A körből kiindulva képezhető
köröknek egy sorozata:
-
A0
legyen maga
A;
- az
A1
kör érintse
L1
-t, is
L2
-t is, és
A0
-t is;
- általában,
Ak+1
érintse
L1
-et,
L2
-t és
Ak
-t.
Állítjuk, hogy ha valamely
n-re
An
=
A0
- azaz visszaérünk
-, akkor bármely
A körből kiindulva
n lépésben visszaérünk.
Feladat: 3.55.
Adott két koncentrikus kör,
k1
és
k2
, sugaraik
R1
és
R2
. Tekintsünk az összes lehetséges módon két olyan kört,
l1
-et és
l2
-t, amelyek mindkét előre adott kört érintik,
egymást is érintik (egy előre nem adott)
M pontban, és a két
adott kör közti körgyűrűben helyezkednek el. Láttuk (lásd
a
3.36. feladatot), hogy az így adódó
M pontok mértani helye egy
m kör.
a) Bizonyítsuk be, hogy az
m-re vonatkozó inverzió
egymásba képezi
k1
-et és
k2
-t!
b) Határozzuk meg
m sugarát!
Feladat: 3.56.
Bizonyítsuk be, hogy Steiner Poriszmájában (lásd
a
3.54. feladatot) az
Ai
körök
középpontjai egy ellipszisen, az
Ai
,
Ai+1
körök érintési
pontjai egy
k körön helyezkednek el, és az
Ai
,
Ai+1
körök középpontjait összekötő egyenes érinti
k-t!
Feladat: 3.57.
Adott egy pont és véges sok a pontra illeszkedő különböző sugarú
kör. Bizonyítsuk be, hogy pontosan akkor van olyan kör, amely az
összes előre adott kört érinti, ha az előre adott körök külső
hasonlósági pontjai egy egyenesre illeszkednek!
Komplex számok és inverziók
Feladat: 3.58.
a) Bizonyítsuk be, hogy a
z komplex szám képe az origó
középpontú egységsugarú körre vonatkozó inverziónál az
1/
z
‾
komplex szám!
b) Adjuk meg a
ξ középpontú (
ξ tetszőleges
komplex szám)
R sugarú körre vonatkozó inverzió képletét!
Feladat: 3.59.
A sík egybevágóságai megőrzik az
A és a
B pont közötti
AB
távolságot. A hasonlóságok megőrzik az
A,
B,
C ponthármas
(ABC)=AC/CB osztóviszonyát és az
ACB∠ nagyságát.
Komplex számokkal ez a két mennyiség egyszerre is leírható. Ha a
három pontnak megfelelő három komplex szám
z1
,
z2
és
z3
,
akkor irányítástartó hasonlósági transzformációnál megmaradó mennyiség az
(
z1
,
z2
,
z3
)=
z1
-
z3
z3
-
z2
|
komplex osztóviszony. Hogyan kell a sík négy pontjához olyan
mértéket rendelni, amely invariáns az inverziókra?
Feladat: 3.60. (M)
a) Mutassuk meg, hogy három komplex szám osztóviszonya
(lásd a
3.59. feladatot) pontosan
akkor valós, ha a komplex számsíkon egy egyenesre illeszkednek!
b) A
z1
,
z2
,
z3
,
z4
komplex számok
kettősviszonya a
(
z1
,
z2
,
z3
,
z4
)=
(
z1
,
z2
,
z3
)
(
z1
,
z2
,
z4
)
=
z1
-
z3
z3
-
z2
:
z1
-
z4
z4
-
z2
|
komplex
szám. Bizonyítsuk be, hogy a kettősviszony a hasonlósági
transzformációkra invariáns!
c) Igazoljuk, hogy négy komplex szám kettősviszonya és inverziónál származó képeik kettősviszonya egymás konjugáltja!
d) Mutassuk
meg, hogy négy komplex szám kettősviszonya pontosan akkor valós, ha
a komplex számsíkon egy egyenesre vagy körre illeszkednek!
Feladat: 3.61.
Ha adott a síkon az
A1
,
A2
és az
A1
',
A2
' pontpár
úgy, hogy
A1
A2
=
A1
'
A2
'≠0, akkor pontosan két olyan
egybevágósági transzformáció van, amely
A1
-et
A1
'-re, és
egyúttal
A2
-t
A2
'-re képezi. Ezek egyike irányítástartó, a
másik megfordítja az irányítást.
Ha adottak a síkon az
A1
,
A2
,
A3
,
A1
',
A2
',
A3
'
pontok úgy, hogy
(
A1
A2
A3
)=(
A1
'
A2
'
A3
')∉{0,∞}
és
A1
A2
A3
∠=
A1
'
A2
'
A3
'∠,
|
akkor
mindig van olyan hasonlósági transzformáció, amely
A1
-et
A1
'-re,
A2
-t
A2
'-re és egyúttal
A3
-at
A3
'-re
képezi.
Ha
A1
A2
A3
∠=
A1
'
A2
'
A3
'∠∉{0,π},
|
akkor pontosan egy, ha
A1
A2
A3
∠=
A1
'
A2
'
A3
'∈{0,π},
|
akkor pontosan két ilyen transzformáció van: a kettő
egyike irányítástartó, a másik megfordítja az irányítást.
Dolgozzunk ki hasonló elméletet inverziók kompozíciójával
kapcsolatban!
A gömb vetítései és az inverziók
Feladat: 3.62.
(
Gömbre vonatkozó inverzió)
Mi lesz egy
a) sík;
b) gömb;
c) kör
képe a tér egy
O pontjára vonatkozó
λ arányú inverziónál?
Feladat: 3.63.
Adott a síkon a
k kör és egy
P pont. Felveszünk egy
Gx
gömböt, amely (felületén) tartalmazza a
k kört és a
P pontból
érintőkúpot rajzolunk
Gx
-hez. A kúp egy
kx
körvonalon érinti
Gx
-et. Jelölje
kx
középpontját
Px
. Képzeljük el
Gx
összes lehetséges helyzetét és határozzuk meg
Px
mértani helyét
a térben!
Feladat: 3.64. (M)
(
Gömb vetítése egy pontból önmagára)
Adott egy
g gömb, rajta egy
k kör és adott még egy
G-re nem illeszkedő
P pont is. Vegyünk fel egy
C pontot a
k körön és képezzük a
PC egyenes és a
g gömb
C-től különböző
C' metszéspontját, illetve legyen
C'=C, ha
PC érinti
g-t. Határozzuk meg a
C' pontok mértani helyét, ha
C befutja
k-t!
Feladat: 3.65.
Bizonyítsuk be, hogy az inverzió a sztereografikus vetítésből az
alábbi módon származtatható.
Tekintsük azt a
G gömböt, amelynek
k a főköre, legyen ennek a
gömbnek a két
k-tól legtávolabbi pontja
V és
U. Vetítsük
síkunkat először
V-n át
G-re, majd
G-t az
U ponton át
vissza a síkra. E két leképezés kompozíciója a síkot önmagára
képezi és éppen a
k-ra vonatkozó inverziót adja.
Feladat: 3.66.
Legyen adva az
I tetszőleges kör vagy egyenes, továbbá az
A és a
B pont. Vegyünk fel egy tetszőleges olyan
K kört vagy egyenest, amely merőleges
I-re. Jelölje
K és
I metszéspontjait (amelyek közül az egyik lehet a ,,végtelen távoli" pont)
X és
Y. Bizonyítsuk be, hogy
A és
B pontosan akkor egymás képei az
I-re vonatkozó inverziónál, ha
(XYAB)=-1!
Feladat: 3.67.
Értelmezzük a gömbön az inverziót
a
3.66. feladat állítása alapján!
Azaz az
S gömb
A és
B pontja akkor legyen egymás képe az
S
gömbre illeszkedő
k körre vonatkozólag, ha az
AB főkör
merőleges
k-ra, és
X,
Y metszéspontjaikkal
(XYAB)=-1.
Legyen az
S gömb két tetszőleges átellenes pontja
U és
V
(lásd az
1. ábrát), felezőmerőleges
síkjuk
Σ . Jelölje
k,
A és
B képét az
S-t
Σ-ra képező
U centrumú sztereografikus projekciónál
k',
A' és
B'. Bizonyítsuk be, hogy
A és
B pontosan akkor
egymás képei a
k-ra vonatkozó gömbi inverziónál, ha
A' és
B'
egymás képei a
k'-re vonatkozó inverziónál (tükrözésnél)!
1. ábra
Versenyfeladatok
Feladat: 3.68. (M) [
121]
Az
ABC háromszög körülírt körének középpontja
O. A beírt kör
az oldalakat az
A1
,
B1
,
C1
pontokban érinti, középpontja
O1
.
A1
B1
C1
háromszög magasságpontja
M1
. Igazoljuk, hogy
az
O,
O1
,
M1
pontok egy egyenesen vannak.
Feladat: 3.69. (M)
Adott az
i kör és az
A pont, amely a körön kívül helyezkedik el.
a) Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan
B,
C
pontpár van, amelyre az
ABC háromszög beírt köre
i.
b) Jelölje egy ilyen
ABC háromszög körülírt körét
ω és jelölje még
cA
azt az
ω belsejében elhelyezkedő, azt belülről érintő kört, amely érinti az
AB,
AC oldalegyeneseket is. Mutassuk meg, hogy a
cA
kör mindig ugyanaz, tehát független
B és
C választásától!
Feladat: 3.70. [
121]
Legyen
ABC szabályostól különböző háromszög,
P pedig a síknak
a háromszög csúcsaitól különböző pontja. Jelöljék
AP
,
BP
és
CP
rendre az
AP,
BP és
CP egyeneseknek az
ABC háromszög
köré írt körrel vett második metszéspontjait. Mutassuk meg, hogy a
síknak pontosan két olyan
P és
Q pontja van, hogy az
AP
BP
CP
és
AQ
BQ
CQ
háromszögek szabályosak, továbbá, hogy
a
PQ egyenes áthalad az
ABC háromszög köré írt kör
középpontján.
Feladat: 3.71. (S)
Legyen
ABC szabályostól különböző háromszög. Határozzuk meg az összes olyan centrumot, amelyből az
A,
B,
C ponthármas egy szabályos háromszög három csúcsába invertálható.
Feladat: 3.72.
Legyen adva a
K kör és az
A,B pontpár. Az
f transzformáció
a
K kör
AB egyenesre nem illeszkedő pontjainak halmazát képezi
le önmagára a következőképpen: ha
P∈(K-AB) és az
AP
egyenes és
K másik metszéspontja
P*
, akkor a
P*
B egyenes és
K másik metszéspontja
f(P). Bizonyítsuk be, hogy ha valamely
n pozitív egész számra
fn
-nek van fixpontja, akkor
fn
identikus!
Feladat: 3.73.
Adott egy kör és három pont. Szerkesszünk olyan háromszöget, amelynek
körülírt köre az adott kör, oldalegyenesei pedig az adott pontokon
mennek át! Általánosítsuk a problémát
n pontra és
húr-
n-szögre!
Feladat: 3.74. (M) [
116]
Adott a síkon egy
c egyenes az egyik oldalán (nem rajta) az
A
és
B pontok, továbbá egy
ψ szög. Szerkesztendő olyan
ABCD húrnégyszög, amelynek
C és
D csúcsa
c-n vannak, és
amelyre a
DAC∠ szög egyenlő
ψ-vel.
Feladat: 3.75. (M) [
116]
Az
AB szakasz felezőpontja
C, az
AB egyenes egyik oldalán
az
AC és
BC szakaszokra, mint átmérőkre félkört rajzolunk,
továbbá
A és
B körül
AB sugárral körívet húzunk, az utóbbiak
metszéspontja
D. Szerkesszünk érintő kört az
ABCD
ívnégyszögbe!
Feladat: 3.76. (M) [
116]
Adott (a síkon) egy
e egyenes és az
A,
B pontok. Szerkesszük
meg
e-nek azt a
P pontját, amelyre a
PA/PB arány értéke
maximális, illetve amelyre minimális.
Feladat: 3.77. (M) [
116]
a) Adott a síkban három kör. Megválasztható-e az inverzió
alapköre úgy, hogy ezek képei is körök legyenek és a körök
középpontjai egy egyenesre essenek?
b) Elérhető-e emellet az is, hogy a képek közül kettőnek
a sugara egyenlő legyen?
Feladat: 3.78. (M) [
116]
Egy
A1
A2
A3
háromszög nem egyenlő szárú, oldalait jelöljük
a1
,
a2
,
a3
-mal (
ai
fekszik
Ai
-vel szemben). Minden
i-re (
i=1,2,3)
Mi
az
ai
oldal felezőpontja,
Ti
az
a pont, amelyben a beírt kör érinti
ai
-t és
Si
a
Ti
pont
tükörképe az
Ai
-hez tartozó belső szögfelezőre nézve.
Bizonyítsuk be, hogy az
M1
S1
,
M2
S2
,
M3
S3
egyenesek egy
ponton mennek át.
Feladat: 3.79. (M) [
116]
Egy szabályos háromszög csúcsai köré egyenlő sugárral
k1
,
k2
,
k3
kört írunk. Egy
P pont inverz képe
k1
-re
P1
,
P1
inverz képe
k2
-re
P2
, míg
P2
képe
k3
-ra
P3
.
Szerkesszünk olyan
P pontot, amelyre
P3
egybeesik
P-vel.
Feladat: 3.80. (M) [
116]
Adott a
P pont, az
e,
f egyenesek és az
ε,
ψ
szögek. Szerkesztendők azok a körök, amelyek átmennek
P-n és
e-t
ε,
f-et
ψ szögben metszik. (Kör és egyenes
szögén a kör metszéspontbeli érintőjének az egyenessel bezárt
szögét értjük.)
Feladat: 3.81. [
144]
Milyen felületet kell az egységkörre építeni ahhoz, hogy magasról
ránézve épp a kör külsejének inverz képét lássuk rajta?