12. FEJEZET: Kombinatorikus geometria
Feladat: 12.1. (M)
Legfeljebb hány egyenest határoz meg
a) 5
b) 6
c) 10
d)
npont a síkon?
Feladat: 12.2. (M)
Hogy helyezkedhet el 7 különböző pont a
síkon, ha 9 egyenest határoznak meg?
Feladat: 12.3. [
52]
Vegyünk fel 7 különböző pontot a síkon úgy, hogy
ha azokat páronként összekötjük, akkor összesen 14 különböző
egyenest kapjunk!
Feladat: 12.4.
Legfeljebb hány metszéspontja lehet 4 körnek és 3 egyenesnek?
Feladat: 12.5.
Adott néhány pont. Mindegyik kettőt keresztül egyenest húzunk.
Legalább hány pont lehetett, ha így 153 egyenest kaptunk?
Feladat: 12.6. (M)
Hány átlója van egy konvex
n-szögnek?
Feladat: 12.7.
Hány oldalú az a konvex
sokszög, amelynek 189 átlója van?
Feladat: 12.8.
Adott a síkon 5 pont. Mindegyik három ponton át kört rajzolunk.
Így hány különböző kört kaphatunk? Adjuk meg az összes
lehetőséget!
Feladat: 12.9. (M)
Helyezzünk el minél több pontot a síkon úgy, hogy közülük
bármelyik három egyenlő szárú háromszöget alkosson.
Feladat: 12.10. (M)
Legfeljebb hány közös pontja lehet két hatszög
kerületének?
Feladat: 12.11. (M)
Legfeljebb hány közös pontja lehet egy hatszög
és egy hétszög kerületének?
Feladat: 12.12. (M)
Két darab
n oldalú sokszög 80 pontban metszi
egymást. Legalább mekkora
n értéke?
Feladat: 12.13. (M)
Hány közös pontja lehet egy
n-szögnek és egy
körnek?
Feladat: 12.14. (M)
Rajzoljunk önmagát metsző zárt
töröttvonalat, melynek minden szakaszát pontosan egy
másik szakasz metszi. Legalább hány szakaszból
áll a töröttvonal? Lehet-e a szakaszok száma 7?
Feladat: 12.15. (M)
Adott
n általános helyzet? pont a síkon.
Igazoljuk, hogy
a) van olyan egyenes, amely pontosan
k-t választ el
a többitől.
b) van olyan kör, amely belsejében pontosan
k
pont van. (
k≤n)
Feladat: 12.16. (M)
Adott
n általános helyzet? pont a síkon.
Igazoljuk, hogy van olyan kör, amely legalább három
ponton áthalad, de belsejében egy sincs az adott pontok
közül.
Feladat: 12.17. (M)
Adott 5 általános helyzet? pont a síkon,
nincsenek mind egy körön. Igazoljuk, hogy
kiválasztható közülük 2 úgy, hogy a
másik három köré írt körnek az egyik
belső, a másik külső pontja.
Feladat: 12.18. (M)
Adott 6 általános helyzet? pont a síkon.
Meghúztuk az összes olyan szakaszt, amelyik két pontot
köt össze. Kiszínezhetők-e ezek a szakaszok 5
színnel úgy, hogy minden pontból csupa
különböző szín? szakasz induljon?
Feladat: 12.19. (M)
Adott
n általános helyzet? pont a síkon.
Igazoljuk, hogy kiszínezhetők
k színnel úgy,
hogy ha az azonos szín? pontok között ugyanezzel
a színnel meghúzzuk az összekötő szakaszokat,
akkor a különböző szín? szakaszok ne
messék egymást.
Feladat: 12.20. (M)
n általános helyzet? egyenes metszéspontjai
legfeljebb hány egyenest határozhatnak meg.
Feladat: 12.21. (M)
Adott hat pont. Az általuk meghatározott szakaszok
felezőmerőlegeseinek legfeljebb hány metszéspontja
lehet?
Feladat: 12.22. (M)
Adott 5 egyenes. Tekintsük bármely két egyenes
szögfelezőit. A szögfelezőknek hány
metszéspontja lehet?
Feladat: 12.23. (M)
Vegyünk egy konvex
n-szöget, és tegyük fel, hogy
semelyik átlója nem megy át egy ponton. Hány
metszéspontja van az átlóinak?
Feladat: 12.24. (M)
Rajzoljunk a síkra
n kört. A kapott
síkrészeket színezzük ki 2 színnel úgy,
hogy két síkrészt különböző
szín?re festünk, ha van közös
határívük. (közös határpont esetén
nem.) Bizonyítsuk be, hogy ilyen színezés mindig
elvégezhető!
Feladat: 12.25.
Nagymama almáspitét süt egy téglalap alakú tepsibe. Egyik irányban
5, a másik irányban 8 téglalap alakú részre vágja.
Pistike a konyhakéssel egy egyenes mentén végigvághatja a
süteményt és azokat a szeleteket, amelyikbe belevág, megeheti.
Legfeljebb hány rész juthat így Pistikének?
Feladat: 12.26. (M)
Hány részre osztja a síkot
n általános
helyzet? egyenes?