15. FEJEZET: Diofantikus egyenletek
Feladat: 15.1.
Adjuk meg mindazokat az
x,
y egész számokat, amelyekre
a)
3x+9y=31
b)
3x+9y=333331!
Feladat: 15.2.
Adjuk meg mindazokat az
x,
y egész számokat, amelyekre
x+x·y=11!
Feladat: 15.3.
Adjuk meg mindazokat az
x,
y egész számokat, amelyekre
a)
xy+x+y=98
b)
xy-x-y=98
c)
xy-2x-2y=98
d)
xy-2x-y=98
e)
2xy-2x-y=98
f)
2xy-x-y=98!
Feladat: 15.4.
Két pozitív egész szám szorzata 1000-rel nagyobb az összegüknél.
Melyek lehetnek ezek a számok?
Feladat: 15.5.
Két pozitív egész szám összegének és szorzatának összege 1000.
Melyek lehetnek ezek a számok?
Feladat: 15.6.
Adjuk meg mindazokat az
x,
y pozitív egész
számokat
[Ajánlott olvasmány: [16][44-56.]
,,Óegyiptomi számolás" fejezetében a törtek kezeléséről szóló
rész.] , amelyekre
a)
1
x
+
1
y
=
1
7
b)
1
x
+
1
y
=
1
10
!
Feladat: 15.7.
Adjuk meg mindazokat az
x,
y egész (nem feltétlenül pozitív)
számokat, amelyekre
1
x
+
1
y
=
3
7
!
Feladat: 15.8.
Egy szultánnak 143 felesége volt. Uralkodása csak legfeljebb 1000
napig tartott, ezalatt végig adót szedett: az első nap 144
aranyat, többi napon pedig mindig egy arannyal többet, mint az azt
megelőző napon. Halála után feleségei szét tudták egyenlően
osztani egymás között a beszedett adót. Hány napig uralkodhatott a
szultán?
Feladat: 15.9.
Állítsuk elő 19 egymást követő egész szám összegeként a
a) 95-öt
b) 97-et!
Feladat: 15.10. [
108]
Hányféleképpen lehet előállítani
a) 21-et
b) 1989-et
egymást követő pozitív egészek összegeként?
Feladat: 15.11.
Hányféleképpen lehet 1989-et előállítani egymást követő páratlan
pozitív egészek összegeként?
Feladat: 15.12.
Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek oldalai
cm-ben
mérve egész számok és egyik befogója
a)
13 cm
b)
14 cm
c)
12 cm
d)
202 cm?
Feladat: 15.13.
Egy téglalap alakú sütemény széle megégett. A sütit az oldalaival
párhuzamos - teljesen végig érő - vágásokkal kisebb darabokra
vágtuk. Azt tapasztaltuk, hogy az égett - tehát a süti széléről
származó - darabok száma megegyezik az égett részt nem tartalmazó
- belső - szeletek számával. Hány részre vágtuk fel a süteményt?
Feladat: 15.14.
Hány olyan egymással nem egybevágó téglalap van, amelyben az
oldalak centiméterben mérve egész számok, és a kerület mérőszáma
megegyezik a terület mérőszámával (
cm2
-ben mérjük a területet)?
Feladat: 15.15. [
65]
Van-e olyan konvex sokszög,
a) amelynek
117-tel több átlója van mint oldala?
b) amelynek
252 átlója van?
c) amelynek
172 átlója van?
d) amelyben az átlók száma prímszám?
e) amelyben az átlók számának és az oldalak számaának
szorzata 160?
Feladat: 15.16. [
40]
Bergengóciában a múlt században az autók rendszáma meghatározott
számú betűből, és a betűk után írt meghatározott számú számjegyből
állt. Számjegyként a 10-es számrendszer bármely jegyét fel
lehetett használni, de a rendszámban szereplő betűk csak a góc
ábécé magánhangzóiból kerülhettek ki. A századfordulóra minden
lehetséges rendszámot kiadtak. Ekkor az autók ötöde taxi volt.
Ezeken nem volt külön ,,taxi" felirat, hanem onnan lehetett
felismerni őket, hogy a rendszámukban voltak ismétlődő jelek.
Hány magánhangzó van a góc ábécében, és hány autó volt
Bergengóciában a századfordulón?
Feladat: 15.17. [
32]
Egy sakkversenyen két hetedik osztályos és néhány nyolcadik
osztályos tanuló vett részt. Minden résztvevő mindenkivel egy
mérkőzést játszott. A két hetedik osztályos együtt szerzett 8
pontot, a nyolcadik osztályosok pedig egyenlő számú pontot
szereztek. (A versenyen résztvevők 1 pontot kapnak, ha megnyerik a
mérkőzést, és fél pontot a döntetlenért.) Hány nyolcadik osztályos
vett részt a versenyen?
Feladat: 15.18.
Hányféleképpen állíthatók elő két négyzetszám összegeként az
alábbi számok?
a) 1998
b) 1999
c) 2000
d) 2001
e) 2002
f) 2003
g)
2004?