5. FEJEZET: Játékok
Feladat: 5.1. [
158]
Hány kérdéssel lehet eldönteni, hogy öt számból melyik háromra
gondoltak, ha minden lépésben egy három elemű halmazt
választhatunk ki, és azt tudjuk meg, hogy a kiválasztott halmazban
hány van a három gondolt szám közül?
Feladat: 5.2.
Antal 100 gyufásdobozt megszámoz 1-től 100-ig, és mindegyikbe tetszése szerinti számú gyufát tesz. Bea tetszőlegesen kiválaszt 15 dobozt (ő dönti el, melyikeket), erre Antal megszámolja a bennük levő gyufákat (úgy, hogy Bea ezt ne lássa), és megmondja, hogy a 15 dobozban együttesen páros vagy páratlan számú gyufa van. Bea ezt a kérdezési lépést akárhányszor megismételheti. Ki tudja-e Bea találni, hogy az 1-es számú dobozban páros vagy páratlan sok gyufa van, és ha igen, akkor mi az ehhez szükséges minimális lépésszám? (OKTV, 1990)
Feladat: 5.3.
a) Az
5.2. feladatban most Antalnak csak 20 gyufásdoboza van. Ki tudja-e találni most Bea 5 kérdéssel, hogy az 1-es számú dobozban páros vagy páratlan sok gyufa van-e? Legkevesebb hány kérdésből tudja kitalálni?
b) És mi a helyzet, ha csak 18 gyufásdoboz van? Elég-e 7 kérdés?
c) Végül válaszoljunk arra a kérdésre is, hogy hány kérdéssel sikerülhet Beának kitalálni, ha 16 doboz van?
Feladat: 5.4.
Egy asztalon négy doboz áll, mindegyikben egy golyó van, ami fehér vagy fekete. Tudjuk, hogy van néhány fehér golyó, összesen páros sok. Egy lépésben rámutathatunk bármelyik két dobozra, és megtudjuk, van-e fehér golyó a párban.
Legalább hány kérdés kell ahhoz, hogy biztosan találjunk két fehér golyót tartalmazó dobozt?
Feladat: 5.5.
* Egy asztalon 1004 doboz áll, mindegyikben egy golyó van, ami fehér vagy fekete. Tudjuk, hogy van néhány fehér golyó, összesen páros sok. Egy lépésben rámutathatunk bármelyik két dobozra, és megtudjuk, van-e fehér golyó a párban.
Legalább hány kérdés kell ahhoz, hogy biztosan találjunk két fehér golyót tartalmazó dobozt? (Arany Dániel-verseny, 2005H)
Feladat: 5.6. [
163]
Aladár egy dobozba valahány golyót helyezett el (üresen is hagyhatta), Béla megpróbálja kitalálni a golyók számát.
a) Minden rossz tipp után Aladár egy újabb golyót tesz a dobozba.
b) A játék elején Aladár eldönti, hogy egy vagy két golyóval növel, de nem árulja el. Minden rossz tipp után Aladár annyi új golyót tesz a dobozba, amennyit előre elhatározott.
(Tehát vagy mindig egyet vagy mindig kettőt.)
c) A játék elején Aladár eldönti, hogy hány golyóval növel, de nem árulja el. Minden rossz tipp után Aladár annyi új golyót tesz a dobozba, amennyit előre elhatározott.
A játéknak akkor van vége, ha tippjével Béla eltalálja az éppen aktuális golyószámot. Hogyan játsszon Béla?
Feladat: 5.7.
Az
5×7-es tábla jobb felső sarkában áll egy bábu. A figurával a sorában balra, az oszlopában lefelé, vagy pedig átlósan balra lefelé lehet lépni tetszőlegesen nagyot, tehát nem
csak a szomszédos mezőre léphetünk át. Két játékos felváltva mozgatja a bábut. Kinek van nyerő stratégiája, a kezdőnek, vagy a másodiknak következő játékosnak, ha
a) az nyer
b) az veszt
aki a bal alsó sarokban található mezőre lép?
Feladat: 5.8.
Az
5×7-es tábla jobb felső sarkában áll egy bábu. A figurával a sorában balra, az oszlopában lefelé, vagy pedig átlósan balra lefelé lehet lépni tetszőlegesen nagyot, tehát nem
csak a szomszédos mezőre léphetünk át. Két játékos felváltva mozgatja a bábut. Összesen egyszer passzolhatnak is (ha az egyikük passzolt, akkor a másik sem passzolhat többet), az is lépésnek
számít. Kinek van nyerő stratégiája, a kezdőnek, vagy a másodiknak következő játékosnak, ha az az nyer
a)) aki a bal alsó sarokba lép?
b) akinek az ellenfele nem tud lépni?
Feladat: 5.9.
Az
n×k méretű tábla jobb felső sarkában áll egy bábu. A figurával a sorában balra, az oszlopában lefelé, vagy pedig átlósan balra lefelé lehet lépni tetszőlegesen nagyot, tehát nem csak a szomszédos mezőre léphetünk át. Két játékos felváltva mozgatja a bábut. Szeretnénk eldönteni, hogy kinek van nyerő stratégiája, a kezdőnek, vagy a másodiknak következő játékosnak,
ha
a)) az nyer
b) az veszt
aki a bal alsó sarokban található mezőre lép. Írjunk programot,
amely
n és
k beadása után eldönti a kérdést és megadja a
nyeréshez vezető eljárást (azoknak a mezőknek a koordinátáit,
amelyekre érdemes rálépni).
Feladat: 5.10.
Bergengóc 1-ből
Feladat: 5.11. [
158]
9 golyót helyeztünk el az alábbi ábrán látható módon.
◯ |
◯ |
◯ |
◯ |
◯ |
|
◯ |
◯ |
◯ | |
| |
◯ | | |
Ketten felváltva lépnek, mindig elvesznek egy golyót, vagy pedig két egymás mellettit vagy
alattit. Kinek van nyerő stratégiája, a kezdő játékosnak vagy
pedig a másodjára következőnek, ha az
a) nyer
b) veszít
aki az utolsó golyót veszi el?
Feladat: 5.12. [
158]
Anna és Béla egy n gyufát tartalmazó kupacból felváltva vesznek el
- tetszésük szerint - 1, 2 vagy 3 gyufát, amíg el nem fogy. Ha
senki nem vett el a játék folyamán egyszerre két gyufát, a játék
döntetlen. Ha vett el valaki egyszerre két gyufát, akkor az nyer,
aki utoljára vett el egyszerre két gyufát.
Feladat: 5.13. [
158]
Ketten játsszák a következő játékot. Tíz érme van egy sorban,
mindegyiken az írás van felül. Az a cél, hogy mindegyiken a fej
legyen felül, és az nyer, aki ezt eléri. Egyszer már megfordított
korongot nem szabad vissza fordítani. Aki kezd, először csak egyet
fordíthat fel, utána mind-ketten egyet, vagy két szomszédosat
fordítanak fel. Ki nyer, ha mindketten jól játszanak?
Feladat: 5.14. [
158]
Ketten játsszák a következő játékot. Kezdetben
k db halom van,
összesen
n elemmel. Aki soron jön, egy halmot ketté oszt, ha még
lehet. Az veszít, aki egy halmot sem tud már tovább osztani. Kinek
van nyerő stratégiája?
Feladat: 5.15. [
158]
Anna és Béla a következő gráfjátékot játssza
n ponton: felváltva
húznak be éleket, és az veszít, aki kört zár be. Kinek van nyerő
stratégiája?
Feladat: 5.16. [
158]
Adott
k halmaz, melyekben összesen
n elem van. Ketten a
következő játékot játsszák: felváltva lépnek; a soron következő
játékos kiválaszt egy kupacot és két részre osztja. Az veszt, aki
már egyik részt sem tudja kettéosztani.
Feladat: 5.17. [
158]
Adott egy halmaz
n elemmel. Ketten a következő játékot
játsszák: felváltva lépnek; a soron következő játékos minden olyan
halmazt kettéoszt, amelyben legalább két elem van; az nyer, aki
eléri, hogy mindegyik halmazban egy elem legyen.
Feladat: 5.18.
Ezt a játékot két ember játsza 6 koronggal. A korongok egyik
oldala piros, a másik kék. Kezdetben a korongok szín szerint így
helyezkednek el:
KPKKPK. A két játékos felváltva lép. A lépés
abból áll, hogy a játékos kiválaszt egy kék (
K) korongot és azt,
valamint az összes attól jobbra elhelyezkedő korongot ellenkező
színűre fordítja.