8. FEJEZET: Másodfokú függvény
Ahol külön nem jelezzük, ott a függvények értelmezési tartománya a valós számok lehető legbővebb részhalmaza.
Feladat: 8.1.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját!
a)
a(x)=
x2
;
b)
b(x)=
x2
-3;
c)
1
2
x2
;
d)
d(x)=-2
x2
;
e)
e(x)=(x+2
)2
.
Feladat: 8.2.
Az
1. ábrán az
y=
x2
+b másodfokú függvény grafikonja látható a
b=-5 esetben. Változtassuk
b értékét és ábrázoljuk az így kapott függvény grafikonját! Legyen rendre
a)
b=-3;
b)
b=-1;
c)
b=1;
d)
b=3!
(Alkalmazhatjuk a GeoGebra programot.)
Mi jellemzi az így kapott függvénygörbéket?
Feladat: 8.3.
Az
1. ábrán az
y=c·
x2
másodfokú függvény grafikonja látható, a
c=-1 esetben. Változtassuk
c értékét és ábrázoljuk az így kapott függvény grafikonját az alábbi esetekben:
a)
c=-0,5;
b)
c=0;
c)
c=0,5;
d)
c=1!
e)
c=1,5!
(Alkalmazhatjuk a GeoGebra programot.)
Mi jellemzi az így kapott függvénygörbéket?
Feladat: 8.4.
Az
1. ábrán az
y=(x+d
)2
másodfokú függvény grafikonja látható, a
d=-3 esetben. Változtassuk
d értékét és ábrázoljuk az így kapott függvény grafikonját az alábbi esetekben:
a)
d=-2;
b)
d=-1;
c)
d=0;
d)
d=1!
e)
d=2!
(Alkalmazhatjuk a GeoGebra programot.)
Mi jellemzi az így kapott függvénygörbéket?
Feladat: 8.5.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját!
a)
a(x)=
1
3
(x-2
)2
;
b)
b(x)=(x+2
)2
-1;
c)
c(x)=-
1
2
x2
+3;
d)
d(x)=-(x-2
)2
+1.
Feladat: 8.6.
Mi az
1. ábrán látható
a-
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 8.7.
Mi az
1. ábrán látható
a-
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 8.8.
Mi az
1. ábrán látható
a-
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 8.9.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját! Mi a függvények értékkészlete? (Ha szükséges, alkalmazzuk a teljes négyzetté alakítás módszerét!)
a)
a(x)=
x2
-4x+4;
b)
b(x)=
x2
-4x+5;
c)
d(x)=
x2
-4x;
d)
e(x)=
x2
+2x+1;
e)
f(x)=
x2
+2x+5;
f)
h(x)=
x2
+2x;
g)
c(x)=
x2
-4x+3
ha
x∈]-4;3];
h)
g(x)=
x2
+2x-3
ha
-3≤x<5.
Feladat: 8.10.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját! Mi a függvények értékkészlete? Határozzuk meg a függvénygörbék tengelymetszeteit is!
a)
a(x)=2
x2
+4x+2;
b)
b(x)=-
x2
+8x+9;
c)
c(x)=
1
2
(x-1
)2
-3;
d)
d(x)=-
1
3
(x+3
)2
+3.
Feladat: 8.11.
Mi az
1. ábrán látható
a-
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 8.12.
Az egyváltozós másodfokú függvény általános alakja:
a) Igaz-e, hogy minden egyváltozós másodfokú függvény grafikonja parabola?
b) Milyen helyzetű a parabola tengelye?
c) Mitől függ az, hogy a parabola melyik irányban nyitott?
d) Mitől függ a parabola nyitottságának mértéke?
e) Hogyan jellemezhetjük - közös pontjaik száma alapján - a parabola és a vele egysíkú egyenes kölcsönös helyzetét?
Feladat: 8.13.
Az
1. ábrán az
y=
x2
+bx másodfokú függvény grafikonja látható, a
b=-4 esetben. Változtassuk
b értékét és ábrázoljuk az így kapott függvények grafikonját közös koordinátarendszerben! Vizsgáljuk pl. az alábbi konkrét eseteket:
a)
b=-3;
b)
b=-2;
c)
b=-1;
d)
b=0!
e)
b=1!
(Alkalmazhatjuk a GeoGebra programot.)
Mi jellemzi az így kapott függvénygörbéket?
Feladat: 8.14.
Az
ax2
+bx+c (
a≠0) másodfokú kifejezés hiányos, ha
b=0 vagy
c=0. Mi jellemzi a hiányos másodfokú függvények képét?
Feladat: 8.15.
Van-e olyan másodfokú függvény (
ax2
+bx+c, ahol
a≠0), amelynek értékkészlete
a) a teljes valós számhalmaz;
b) a negatív számok halmaza;
c) a nemnegatív számok halmaza;
d)
[-5;∞[?
Feladat: 8.16.
a) Írjunk fel először (1)
s=
At2
, majd (2)
s=
At2
+Bt, (3)
s=
At2
+C, végül (4)
s=
At2
+Bt+C alakú út-idő kapcsolatot az alábbi, két mérési adatpárt tartalmazó táblázat alapján, s magyarázzuk meg a kapott eredményt:
Oldjuk meg az előző feladatot az alábbi, három mérési adatpárt tartalmazó b) és c) táblázat alapján is:
Feladat: 8.17.
Az
f(x)=
ax2
+bx+c függvényre
f(0)=4,
f(1)=1,
f(2)=2. Határozzuk meg az
a,
b,
c együtthatók értékét!
Feladat: 8.18.
Az
f(x)=
ax2
+bx+c függvény két zérushelye
x1
=-1 és
x2
=4. Határozzuk meg az
a,
b és
c együtthatók értékét, ha a függvény görbéje átmegy az
(1;-12) ponton!
Feladat: 8.19.
Adott az
f:x→
x2
+6x+c függvény. Hogyan kell
c értékét megválasztani, hogy
a) a függvénynek két zérushelye legyen;
b) a függvénynek egy zérushelye legyen;
c) a függvénynek ne legyen zérushelye;
d) a függvény egyik zérushelye az
x=5 helyen legyen;
e) a függvény szélsőértéke
y=4 legyen;
f) a függvény minden felvett értéke pozitív legyen;
g) a függvény minden felvett értéke negatív legyen?
Feladat: 8.20.
Egyenletesen gyorsuló személygépkocsi álló helyzetből indulva
1 perc alatt
100 km/h sebességet ér el.
a) Mekkora utat tesz meg ez alatt az idő alatt?
b) Ábrázoljuk a jármű mozgását az út-idő grafikonon!
c) Mennyi idő alatt teszi meg az autó a gyorsulási útszakasz felét?
Feladat: 8.21.
a) Egy kavicsot
20 m/s kezdősebességgel függőleges irányban felfelé elhajítunk. Állapítsuk meg, hogyan függ a kavics föld felszínétől mért távolsága, s ábrázoljuk a távolságot az idő függvényében! (A közegellenállást elhanyagolhatjuk,
g≈10 m/s
2
.)
B) Oldjuk meg a feladatot abban az esetben is, amikor a kavicsot egy
10 méter magas ház tetejéről hajítjuk el, függőleges irányban felfelé!
Feladat: 8.22.
Határozzuk meg a derékszögű koordináta-rendszerben azon
P(x;y) pontok halmazát, amelyek koordinátáira teljesülnek az alábbiak:
a)
(y-
x2
)(x+1)=0;
b)
(y-
x2
-2x+3)(
x2
-y-1)=0;
c)
x2
+
y2
=9;
d)
(y-
x2
)2
+(
x2
-3y-4
)2
=0.
Feladat: 8.23.
A derékszögű koordináta-rendszerben vegyük fel az
A(0;-4) és
B(2;0) pontokat, majd rajzoljuk meg annak az
A csúcsú
p másodfokú függvénynek a grafikonját, amelynek görbéje (parabola) átmegy a
B ponton, és tengelye párhuzamos az
y tengellyel!
a) Határozzuk meg
p egyenletét!
b) Változtassuk a koordináta-rendszer
x tengelyén a
B pont helyzetét! Határozzuk meg az így kapott másodfokú görbék egyenletét! (Alkalmazhatjuk a GeoGebra programot is.)
c) Változtassuk a koordináta-rendszer
y tengelyén az
A pont helyzetét, s határozzuk meg az így kapott parabolák egyenletét is!
d) A b) - c) feladatokat annyiban módosítjuk, hogy most
A és
B a koordináta-rendszer tetszőleges rácspontjai lehetnek. Adjuk meg az így kapott másodfokú függvények egyenletét, s miközben a pontok helyzetét változtatjuk, elemezzük az egyenletek változását.