26. FEJEZET: Vegyes feladatok
Feladat: 26.1.
Határozzuk meg az
f(x)=1-1-1-x függvény értelmezési tartományát!
Feladat: 26.2.
Adott két függvény:
f(x)=-
x2
+2x+3, g(x)=-
x2
-2x+8.
|
Legyen
Df
, ill.
Dg
a függvények értelmezési tartománya, s határozzuk meg az alábbi halmazokat:
A={x∈R;x∈
Df
és
x∈
Dg
};
B={x∈R;x∈
Df
vagy
x∈
Dg
};
C={x∈R;x
legalább az egyik halmaznak eleme
(
Df
és
Dg
közül
)};
D={x∈R;x
legalább
Dg
-nek eleme
(
Df
és
Dg
közül
)};
E={x∈R;x
legfeljebb az egyik halmaznak eleme
(
Df
és
Dg
közül
)};
F={x∈R;x
legfeljebb
Dg
-nek eleme
(
Df
és
Dg
közül
)};
G={x∈R;x
csak az egyik halmaznak eleme
(
Df
és
Dg
közül
)};
H={x∈R;x
csak
Dg
-nek eleme
(
Df
és
Dg
közül
)};
I={x∈R;x
pontosan az egyik halmaznak eleme
(
Df
és
Dg
közül
)};
J={x∈R;x
pontosan
Dg
-nek eleme
(
Df
és
Dg
közül
)};
K={x∈R;
ha
x
eleme az egyik halmaznak, akkor eleme a másik halmaznak is
};
L={x∈R;
ha
x∈
Df
,
akkor
x∈
Dg
};
M={x∈R;x
nem eleme egyik halmaznak sem
(
Df
és
Dg
közül
)};
N={x∈R;x
nem eleme
Dg
-nek
}.
Feladat: 26.3.
Adjuk meg az
f(x)=
1
3
x-4 függvény képének az egyenletét, ha az alábbi geometriai transzformációkat hajtjuk végre.
a) Tengelyes tükrözés az
x tengelyre;
b) tengelyes tükrözés az
y tengelyre;
c) középpontos tükrözés az origóra;
d) középpontos tükrözés a
(2;3) pontra;
e) eltolás a
(2;-1) vektorral;
f)
λ=2 arányú merőleges affinitás az
x tengelyre;
g)
λ=-
1
2
arányú merőleges affinitás az
x tengelyre;
h)
λ=-2 arányú merőleges affinitás az
y tengelyre;
i)
λ=-
1
2
arányú merőleges affinitás az
y tengelyre;
j)
90∘
-kal való forgatás az origó körül;
k)
-
90∘
-kal való forgatás a
(2;3) pont körül.
Feladat: 26.4.
Oldjuk meg a
26.3. feladatot a
g(x)=x-3 és a
h(x)=
x2
-6x, (
x≥3) függvényekkel is.
Feladat: 26.5.
Mi lehet az
1. ábrán látható
f1
-
f3
,,fűrészfüggvények" hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Ezek alapján adjuk meg egy
n-fogú ,,fűrészfüggvény" képletét!
Feladat: 26.6.
Mi lehet az
1. ábrán látható fűrészszerű
g függvény hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 26.7.
Hogyan változik meg az
A(x)=
x2
+bx+c kifejezés szélsőértéke és szélsőérték helye, ha a kifejezéssel az alábbi műveleteket végezzük:
a) a kifejezés szorzása
3-mal;
b) szorzás
-2-vel;
c) pozitív konstans hozzáadása, kivonása;
d) négyzetre emelés;
e) a kifejezés reciprokát vesszük;
f) a kifejezés abszolútértékét vesszük.
Feladat: 26.8.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját!
a(x)=
x2
+2|x|-8;
b(x)=|
x2
-2|x|-8|;
c(x)=|
x2
+2|x|-8|.
Feladat: 26.9.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját!
a(x)=
sgn
(
x2
-4
x+2
);
b(x)=
sgn
(
2x+3
x+2
);
c(x)=
sgn
(
x2
-9);
d(x)=
sgn
(2
x2
+5x-3) .
Feladat: 26.10.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját!
a(x)=
1
|x|-2
;
b(x)=|
1
|x|-2
|;
c(x)=|
2x-1
x+1
|.
Feladat: 26.11.
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket a
[-4;5] intervallumon:
a(x)=
x2
-x-2
x-2
;
b(x)=
-
x2
+x+1
2-x
;
c(x)=
x3
-2
x2
-9x+18
x-2
;
d(x)=
|
x2
-x|
x3
-
x2
.
Feladat: 26.12.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját:
a(x)=|x|+2;
b(x)=|-2|x|+1+3|;
c(x)=x+4x+1+5;
d(x)=x+3-4x-1;
e(x)=|x+1|+|x+2|.
Feladat: 26.13.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját:
a(x)=-
x2
+4x-3;
b(x)=-4
x2
+24x-35;
c(x)=
x2
-4x.
Feladat: 26.14.
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket a
[0;1], majd a
[-2;2] intervallumon, s állapítsuk meg nagyságrendi viszonyaikat!
a(x)=x;
b(x)=
x2
;
c(x)=
x3
;
d(x)=
x4
;
e(x)=x;
f(x)=x3;
g(x)=x4;
Feladat: 26.15.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját, s határozzuk meg
y tengelymetszetüket!
a(x)=-
x3
2
+1;
b(x)=-
(x-2
)3
8
+3;
c(x)=-
1
6
(x-3)(x-1)(x+2);
d(x)=(x-1
)2
(x+2);
e(x)=
x3
+2
x2
-3x;
f(x)=-x(x-2).
Feladat: 26.16.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját:
a(x)=x+53;
b(x)=(x+1
)
2
3
-1;
c(x)=|x
|3
-2;
d(x)=|x-2
|3
;
e(x)=|2-
x3
|.
Feladat: 26.17.
Mi az
1. ábrán látható
a -
c harmadfokú polinomfüggvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 26.18.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját!
a(x)=
x3
-1
x-1
;
b(x)=
x3
-
x2
|x-1|
;
c(x)=(x-3
)2
(x-8
)2
.
Feladat: 26.19.
Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját, s határozzuk meg értékkészletüket!
a(x)=2|x-1|+3|x-2|+4|x-3|+|x-4|, |
x∈[-6;8]; |
b(x)=2x(x-1)(x-2), |
x∈[0,3;3]; |
c(x)=x(x-2)(x+5)+1, |
x∈[-5,2;2,2]; |
d(x)=(x-2)(x-4)(x-6)(x-8), |
x∈[1,8;8,1].
|
Feladat: 26.20.
Mi az
1. ábrán látható
a -
c polinomfüggvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra
Feladat: 26.21.
Oldjuk meg grafikus úton az alábbi egyenlőtlenségeket:
a)
sgn
(x)<x;
b)
2
sgn
(x)>|x|;
c)
sgn
2
(x)≤|
sgn
(x)|;
d)
sgn
2
(x)≥
sgn
|x|!
Feladat: 26.22.
Oldjuk meg algebrai és grafikus módszerrel az alábbi egyenleteket:
a)
[2x-3]=5;
b)
[2x-3]=x;
c)
[x-3,7]=2x+2,4!
Feladat: 26.23.
Ábrázoljuk az alábbi függvényeket:
a(x)=[|x|];
b(x)=|[x]|;
c(x)={|x|};
d(x)=|{x}|.
Feladat: 26.24.
Hány rácsponton megy át az alábbi függvények görbéje? (A derékszögű koordinátarendszer
P(x;y) pontját akkor nevezzük rácspontnak, ha
x és
y egész szám.)
a(x)=3x
(
x∈[-100;100]);
b(x)=
x
2
-3
(
x∈[-100;100]);
c(x)=
3x+9
x-1
(
x∈[-20;20]);
d(x)=
3x+1
2x-2
;
e(x)=2
x2
+3x-1
(
x∈[-20;20]).
Feladat: 26.25.
Az alábbi táblázatban minden számot koordinátákkal jellemezhetünk, attól függően, hogy a szám melyik sorban található, és a soron balül balról számítva hanyadik elem. Például a
8 koordinátái
(4;2). (A táblázat
n. sorában
n darab szám van.)
| | | | 1 | | | | | |
| | | 2 | | 3 | | | | |
| | 4 | | 5 | | 6 | | | |
| 7 | | 8 | | 9 | | 10 | | |
11 | | 12 | | 13 | | 14 | | 15 | stb.
|
a) Melyik szám koordinátái
(30;13)?
b) Melyik szám koordinátái
(n;k) (
k,n∈
Z+
,k≤n)?
c) Mik az 1000 koordinátái?
Feladat: 26.26.
A páratlan számokat a
26.25. feladathoz hasonlóan táblázatba rendezzük. A táblázatban minden számot koordinátákkal jellemezhetünk, attól függően, hogy a szám melyik sorban található, és a soron balül balról számítva hanyadik elem. Például a
15 koordinátái
(4;2). (A táblázat
n. sorában
n darab szám van.)
| | | | 1 | | | | | |
| | | 3 | | 5 | | | | |
| | 7 | | 9 | | 11 | | | |
| 13 | | 15 | | 17 | | 19 | | |
21 | | 23 | | 25 | | 27 | | 29 | stb.
|
a) Melyik szám áll a 21. sor közepén?
b) Milyen szám áll az
n. sor
k. helyén (
k,n∈
Z+
,k≤n)?
c) Számítsuk ki a századik sorban álló számok összegét!
d) Számítsuk ki az első száz sorban álló számok összegét!
Feladat: 26.27.
Ha az
f(x)=2
x2
+x-3 polinomban az
x helyébe egy másik
g(x) polinomot helyettesítünk, akkor a
h(x)=2
x4
-12
x3
+3
x2
+45x+25 polinomot kapjuk.
a) Határozzuk meg a
g(x) polinom együtthatóinak összegét!
b) Határozzuk meg
g(-1) értékét!
c) Határozzuk meg
g(2) értékét!
d) Határozzuk meg a
g(x) polinomot!
Feladat: 26.28.
Adott két pont,
A és
B. Egy derékszögű koordinátarendszerben, amelyben az egység a két tengelyen egyenlő, a két pont koordinátái:
A(3;2) és
B(7;5). Sajnos, a koordinátarendszer eltűnt; szerkesszük meg újra a tengelyeket és az egységet!
Feladat: 26.29.
Az
f(x)=3
x3
-
x2
-6x+2 kifejezés két helyettesítési értéke,
f(1)=-2 és
f(2)=10, ellentétes előjelű. Határozzuk meg
f(x)-nek az
[1;2] intervallumba eső zérushelyét két tizedesjegy pontossággal!
(Alkalmazzuk az intervallum-felezéses eljárást, melynek lényege a következő:
- meghatározzuk a kiindulásul vett
[a;b] intervallum felezőpontját, ez lesz
c;
- megvizsgáljuk az
f(a)·f(c),
f(c)·f(b) szorzatok előjelét;
- ha pl.
f(a)·f(c)≤0, akkor az
[a;c] intervallumban helyezkedik el a keresett gyök;
- így az eljárást az
[a;c] intervallummal folytatjuk (felezés, előjelvizsgálat).
- Hasonlóan járhatunk el
f(c)·f(b)≤0 esetén a
[c;b] intervallummal.)
Feladat: 26.30.
Adjunk meg olyan
f függvényt, amely a
H=[0,1] intervallumon értelmezett, és
a) nincs maximuma;
b) nincs maximuma
de korlátos!
Feladat: 26.31.
Adjunk meg olyan
f függvényt, amely minden valós számra értelmezve van, és minden valós értéket pontosan kétszer vesz fel!
Feladat: 26.32.
Adjunk meg olyan függvényt (leképezést, transzformációt), amely az
A ponthalmazt kölcsönösen egyértelműen leképezi a
B halmazra!
a) |
A= egy 10 cm hosszúságú szakasz pontjai, |
|
B= egy 20 cm hosszúságú szakasz pontjai; |
b) |
A= egy 10 cm hosszúságú szakasz pontjai, |
|
B= egy 20 cm átmérőjű félkörív pontjai; |
c) |
A= egy 10 cm átmérőjű zárt körlemez pontjai, |
|
B= egy 20 cm átmérőjű zárt körlemez pontjai; |
d) |
A= egy 10 cm hosszúságú félig zárt szakasz pontjai, |
|
B= egy egyenes pontjai; |
e) |
A= egy 10 cm hosszúságú félig zárt szakasz pontjai, |
|
B= egy félegyenes pontjai.
|
Feladat: 26.33.
Az
f függvény értelmezési tartománya a
[-a,a] intervallum (
a∈R). Igaz-e, hogy f felbontható egy páros és egy páratlan függvény összegére?
Feladat: 26.34.
Bontsuk fel egy páros és egy páratlan függvény összegére az alábbi függvényeket!
a(x)=-2x+3;
b(x)=2(x-3
)2
-4;
c(x)=
2x+5
x+1
x≠±1;
d(x)=[x]..
Feladat: 26.35.
Igaz-e, hogy ha
f szigorúan monoton, akkor
f∘f szigorúan növekvő?
Feladat: 26.36.
Az
f függvény értékkészlete
Rf
=[0;2], és
f(f(2))=0. Igazoljuk, hogy
f nem lehet szigorúan monoton függvény!
Feladat: 26.37.
Van-e olyan (nem azonosan
0)
f(x) polinomfüggvény, melyre teljesül, hogy minden egész
x-re
a)
x·f(x-1)=(x+1)·f(x);
b)
(x-1)·f(x+1)=(x+2)·f(x)?
Feladat: 26.38.
Az
f(x;y) kétváltozós függvény változói pozitív egész számok. A függvényre három tulajdonság teljesül:
1.
f(x;y)=f(y;x);
2.
f(x;x)=x;
3.
f(x;x+y)=f(x;y).
Mennyi lehet
f(5;100), illetve
f(
2k
;n) (
k∈
Z+
)?
Feladat: 26.39.
Van-e olyan, a valós számokon értelmezett folytonos
f függvény, amely racionális helyen irracionális, irracionális helyeken racionális értékeket vesz fel?