16. FEJEZET: Poliéder
A feladatokhoz segédeszköznek ajánljuk a Polydron[122] készletet.
Testháló
Feladat: 16.1.
az
1. ábrán egy kiterített poliéder, azaz egy poliéder
hálója látható. Hány éle és hány csúcsa van ennek a poliédernek?
1. ábra
Feladat: 16.2.
Az
1. ábra sötétszürke háromszögei egy oktaéder hálóját alkotják. Az egyik háromszög azonban még hiányzik. Melyik fehér háromszöggel egészíthetjük ki a hálót? Hány megoldás van?
1. ábra
Feladat: 16.3.
Az
1. ábra sötétszürke háromszögei egy oktaéder hálóját alkotják. Két háromszög azonban még hiányzik. Melyik két fehér háromszöggel kell kiegészítenünk a hálót? Hány megoldás van?
1. ábra
Feladat: 16.4.
Az
1. ábrán egy ,,ikozaéder-kígyó" látható. A
20 háromszöglapból álló lánc egy szabályos poliéderré hajtogatható össze, amelynek minden csúcsában öt egybevágó szabályos háromszög találkozik. Az ikozaédernek csak
12 csúcsa van, míg a kígyónak
22. Melyik ,,kígyócsúcs" melyik másikkal ragad össze, mikor a kígyóból ikozaédert hajtogatunk?
1. ábra
Feladat: 16.5.
Az
1. ábra sötétszürke háromszögei egy oktaéder hálóját alkotják. Két háromszög azonban még hiányzik. Melyik két fehér háromszöggel kell kiegészítenünk a hálót? Hány megoldás van?
1. ábra
Dualitás
Feladat: 16.6.
Adott egy kocka. A kocka lapjainak középpontjai egy másik poliéder csúcsai. A poliéder két csúcsát él köti össze, ha a kocka megfelelő lapjai élben szomszédosak. Ezt a poliéder a kocka
duálisa).
a) Hány csúcsa, lapja és éle van a kocka duálisának?
b) Hanyadrésze a kockába így beírt poliéder térfogata a a kockáénak?
c) Készítsünk a kocka duálisából a fent leírt módon újabb poliédert! Ez lesz a kocka duálisának duálisa.Tehát legyenek az új csúcsok előbb kapott poliéderünk lapjainak középpontjai és kössük össze éllel azoknak a lapoknak a középpontját, amelyek élben szomszédosak voltak. Így milyen poliéderhez jutunk?
d) Hanyadrésze a kocka duálisába beírt poliéder térfogata a kocka duálisának?
Csonkolás
Feladat: 16.7.
A tömör oktaéder minden egyes csúcsánál, a csúcsból induló mind a négy élbe belevágva levágunk az oktaéderből egy-egy kis négyzet alapú gúlát, úgy, hogy a megmaradt test minden éle egyenlő legyen.
Ha az éleket a felezőpontjuknál vágjuk el (az
1. ábrán I. vágás), akkor a
kuboktaéder (cuboctahedron) nevezetű testhez jutunk, míg ha ennél kisebb gúlákat vágunk le, akkor a
csonkolt oktaédert (truncated octahedrod) kapjuk. Mindkét test lapjai szabályos sokszögek.
1. ábra
a) Milyen (hány oldalú) szabályos sokszögek alkotják a kuboktaédert illetve a csonkolt oktaédert?
b) Melyik típusú lapból hány van az egyik illetve a másik testen?
c) Hány éle és csúcsa van az egyes poliédereknek?
d) Szerkesszük meg a kuboktaéder és a csonkolt oktaéder kiterített hálóját!
e) Készítsük is el a testeket!
f) Ha egységnyi térfogatú oktaéderből indulunk ki, akkor mekkora térfogatú kuboktaédert kapunk?
Próbáljuk meg kiszámolni a kapott csonkolt oktaéder térfogatát!
Feladat: 16.8.
A kocka minden egyes csúcsánál levágunk a kockából egy háromszög alapú gúlát úgy, hogy a kocka lapjaiból egy-egy szabályos hatszög maradjon meg (lásd az
1. ábrát). Az így kapott testet
csonkolt kockának nevezik.
1. ábra
a) Hány csúcsa, éle és lapja van a csonkolt kockának?
b) Igaz-e, hogy a levágott gúlák szabályos tetraéderek?
c) Szerkesszük meg a csonkolt kocka kiterített hálóját!
d) Készítsük el a csonkolt kockát!
e) Hányad része a csonkolt kocka térfogata annak a kockáénak, amelyikből csonkoltuk?
Leszámlálási feladatok
Feladat: 16.9.
Próbáljuk meg kitalálni a poliéder éleinek és csúcsainak számát, ha lapjainak száma az
alábbi táblázatban megadott érték, és tudjuk, hogy minden lapja szabályos háromszög!
Először fejben számoljunk és töltsük ki a táblázatot, utána készítsük el a poliédereket. Melyik esetben van több megoldás?
Lapok száma | Élek száma | Csúcsok száma |
6 | | |
7 | | |
8 | | |
9 | | |
Feladat: 16.10.
A híres professzor érdekes állításokat fogalmazott meg a sokszöglapú testekről:
Butusz Maximusz poliédertétele
Ha egy poliéder lapjai
l1
,
l2
, ...
lL
oldalúak (
L a poliéder lapjainak száma), akkor a poliéder éleinek száma
míg a csúcsok száma
Helyes-e a professzor két formulája? Próbáljuk igazolni vagy cáfolni!
Feladat: 16.11.
Egy poliéder minden lapja háromszög és minden csúcsánál öt háromszög találkozik. Legyen a lapok száma
L.
a) Fejezzük ki az élek számát
L-lel!
b) Fejezzük ki a csúcsok számát
L-lel!
c) Igazoljuk, hogy
10|L.
d) Készítsük el a poliédert! Mennyi
L értéke?
Feladat: 16.12.
Vetélkedő
Készítsünk minél többféle
a) hét-
b) nyolc-
lapú poliédert. Írjuk fel csúcsaik, éleik, lapjaik számát!
Feladat: 16.13.
Az alábbi adatokból melyikhez létezik poliéder?
| Lapok száma | Élek száma | Csúcsok száma |
a) |
7 |
10 |
5 |
b) |
7 |
11 |
5 |
Feladat: 16.14.
Készítsünk a megadott feltételeknek megfelelő poliédert! Keressünk több megoldást! Töltsük ki a táblázat hiányosságait! Adjunk föl hasonló rejtvényt a többieknek!
Lapok száma | Élek száma | Csúcsok száma |
5 | | |
6 | | |
10=8▵+2□ | | |
Feladat: 16.15. [
28]
Négylapú poliéderből egyféle van, a tetraéder. Négy háromszög lapja van, négy csúcsa, melyeknél három-három lap találkozik és összesen hat éle. Természetesen sok különböző alakú tetraéder van, a lapok és az élek nagysága, egymással bezárt szöge különböző lehet, de ebben a feladatban ezektől eltekintünk. ,,Topológiai" nézőpontból csak az számít, hogy hány lap, él és csúcs van és ezek közül melyik melyikhez kapcsolódik.
a) Topológiai nézőpontból hány különböző ötlapú poliéder létezik?
b) Soroljunk fel minél több topológiai értelemben különböző hatlapú poliédert!
Feladat: 16.16.
Keressünk összefüggést az eddig összegyűjtött adatok alapján (lásd a
16.9.,
16.12.,
16.14. feladatokat) a poliéderek lapjainak, éleinek és csúcsainak száma között!
Feladat: 16.17.
Készítsünk szabályos poliédereket!
A poliéder legyen konvex, lapjai legyenek egymással egybevágó szabályos sokszögek és minden csúcsban ugyanannyi lap fusson össze.
Feladat: 16.18.
Feltételezzük, hogy a konvex poliéder lapjai
a) háromszögek
b) négyszögek
c) ötszögek
d) hatszögek
e) hétszögek.
Hány ilyen sokszög találkozhat egy csúcsnál? Adjuk meg az összes lehetőséget!
Feladat: 16.19.
a) Számítsuk ki, hogy hány lapja, éle, csúcsa van az egyes szabályos poliédereknek (használható az Euler-féle poliéder-tétel)
b) Készítsük is el őket! Adataikat gyűjtsük össze
a
16.9.
16.14. feladatokban látott táblázatba!
c) A táblázat alapján megfigyelhető-e ,,rokonság" a szabályos poliéderek között?
A poliédertétel bizonyítása és alkalmazásai
Feladat: 16.20. [
157]
A Descartes-féle szögösszeg és a poliédertétel
Legyen egy poliéder csúcsainak, éleinek, lapjainak száma rendre
C,
E és
L, míg jelölje
Σ∠
a poliéder összes oldallapja összes belső szögének összegét! Tegyük fel, hogy a háromszöglapok, a négyszöglapok,
…, a
k-szöglapok száma rendre
L3
,
L4
, ...,
Lk
(
L3
+
L4
+…+
Lk
=L).
a) Fejezzük ki
L3
,
L4
, ...,
Lk
segítségével
Σ∠
értékét!
b) Fejezzük ki
L3
,
L4
, ...,
Lk
segítségével
E értékét!
c) Fejezzük ki
E és
L segítségével
Σ∠
értékét!
1. ábra
d) Mutassuk meg, hogy
Σ∠
értéke nem változik, ha a poliédert úgy deformáljuk (lásd az
1. ábrát), hogy minden lapja ugyanannyi oldalú maradjon, mint eredetileg volt!
e) ,,Nyomjuk rá" a poliédert az egyik oldallapjára (
1. ábra utolsó képe)! Igazoljuk, hogy
Σ∠
értéke egyenlő a bennfoglaló sokszög(
1. ábra utolsó képén a külső ötszög) belső szögeinek és a sokszöget felosztó összes ki sokszög szögeinek összegével!
f) Legyen a bennfoglaló sokszög csúcsainak száma
CB
. Fejezzük ki
C és
CB
segítségével
Σ∠
értékét! Mutassuk meg, hogy az így kapott kifejezésből összevonás után kiesik
CB
.
g) Bizonyítsuk be Euler poliéder-tételét!
Feladat: 16.21.
A focilabdát szabályos hatszög és szabályos ötszög alakú bőrlapokból
varrják össze. Minden ,,csúcsnál" két hatszöglap és egy ötszöglap találkozik.
Jelölje a teljes poliéder ötszöglapjainak számát
L5
, a hatszöglapokét
L6
.
a) Fejezzük ki a poliéder csúcsainak
C számát
L5
segítségével!
b) Fejezzük ki
C-t
L6
segítségével!
c) Fejezzük ki a poliéder éleinek
E számát
L5
és
L6
segítségével!
d) Írjuk fel Euler poliédertételét és határozzuk meg az
L5
,
L6
,
C,
E mennyiségeket!
e) Készítsük el a poliédert!
Feladat: 16.22.
Képzeljük el azt a konvex poliédert, amelynek minden éle egységnyi hosszú, minden lapja szabályos sokszög és a poliéder minden csúcsa egyforma (egybevágó egymással). Bármelyik csúcsot körbejárva rendre az alábbi sokszögekkel találkozunk:
a) négyzet, háromszög, négyzet, háromszög.
b) négyzet, háromszög, négyzet, négyzet.
Fejezzük ki a poliéder négyzet és háromszöglapjainak számát, valamint a poliéder éleinek és csúcsainak számát!
c) Készítsük el a poliédereket!
Félig szabályos parketták és poliéderek
Feladat: 16.23.
Mely
n1
,
n2
és
n3
esetén lehet egy-egy szabályos
n1
-szöget, szabályos
n2
-szöget és egy szabályos
n3
-szöget egy közös csúcsuknál egymás mellé helyezni a síkban úgy, hogy ne fedjék egymást, de ne is maradjon a csúcs mellett szabadon hely?
a) Írjunk fel egyenletet az
n1
,
n2
,
n3
számokra!
b) Keressük meg az egyenlet összes megoldását!
c) A fenti megoldások közül melyik terjeszthető úgy tovább, hogy az egyenlő oldalhosszúságú szabályos sokszögek kiparkettázzák a teljes síkot és mindegyik sokszög mindegyik csúcsánál összesen 3 szabályos sokszög találkozzék, mindenütt egymással egybevágó elrendezésben?
Feladat: 16.24.
a) Mely
n1
,
n2
,
n3
és
n4
esetén lehet egy-egy szabályos
n1
-szöget, szabályos
n2
-szöget, szabályos
n3
-szöget és egy szabályos
n4
-szöget egy közös csúcsuknál egymás mellé helyezni a síkban úgy, hogy ne fedjék egymást, de ne is maradjon a csúcs mellett szabadon hely?
b) A fenti megoldások közül melyik terjeszthető úgy tovább, hogy az egyenlő oldalhosszúságú szabályos sokszögek kiparkettázzák a teljes síkot és mindegyik sokszög mindegyik csúcsánál összesen 4 szabályos sokszög találkozzék, mindenütt egymással egybevágó elrendezésben?
c) Folytassuk a fenti a)-b) feladatokat, illetve a
16.23 példát!
Lehet-e öt, hat vagy annál több szabályos sokszöget egymás mellé illeszteni, hogy épp lefedjenek egy teljes szöget? Mely esetkhez tartozik parkettázás?
Feladat: 16.25.
Olyan konvex poliédert szeretnénk készíteni, amelynek mindegyik lapja egységnyi oldalú szabályos sokszög és mindegyik csúcsánál ugyanolyan sokszöglapok találkoznak.
a) Először keressünk olyan poliédereket, amelyek csúcsainál három lap találkozik, egy-egy szabályos
n1
-,
n2
- és
n3
-szög. Mely
n1
,
n2
,
n3
számhármas esetén lehetséges ez?
b) Mely
k>3 esetén lehetséges, hogy minden csúcsnál
k lap találkozzék? Mely szabályos
n1
-,
n2
-, ... ,
nk
- sokszögek alkotnak ilyen poliédert?