6. FEJEZET: A szita-módszer
Feladat: 6.1. [
47]
a) Egy intézetben 67 ember dolgozik. Németül 35-en,
angolul 47-en, az utóbbiak közül németül 23-an
beszélnek. Hány olyan dolgozója van az intézetnek,
aki sem angolul, sem németül nem beszél?
b) Nehezítsük az a) feladatot, tegyük fel,
hogy franciául 20-an, angolul és franciául 12-en,
németül és franciául 11-en, mindhárom nyelven
5-en beszélnek. Így hány olyan dolgozó van, aki
egyik idegen nyelvet sem beszéli?
Feladat: 6.2.
A Banán sziget parlamentjében két párt van. A Mandarin Párt
képviselői mind szeretik a mandarint. Az ellenpárt
90%-a nem
szereti a mandarint. Hány százalékos a Mandarin Párt aránya a
parlamentben, ha az összes képviselő
46%-a szereti a mandarint?
Feladat: 6.3.
Az osztályban 12 tanulónak volt ötöse
matematikából, 16 tanulónak magyarból. 8
tanulónak egyik tárgyból sem sikerült
ötöst szerezni. Hányan járnak az osztályba, ha
6 tanulónak matematikából és magyarból is
ötöse volt?
Feladat: 6.4.
Egy zenei osztályban kétszer annyi diák tanul
hegedülni, mint ahány zongorázni. Öten mindkét
hangszeren tanulnak játszani. Az osztálylétszám 22
és mindenki tanul valamelyik hangszeren. Hányan tanulnak
zongorázni és hányan tanulnak hegedülni?
Feladat: 6.5.
Egy osztályba 38 tanuló jár. Mindenki ?zi az
alábbi sportok valamelyikét: atlétika, röplabda,
úszás. Atlétikával 19-en foglalkoznak, 21-en
röplabdáznak, 12-en úsznak. 7 tanuló
atlétizál és úszik, 6tanuló atlétizál
és röplabdázik, 3 tanuló röplabdázik
és úszik. Hány tanuló ?zi mindhárom
sportot?
Feladat: 6.6.
Egy baráti társaság 3 kirándulást szervezett.
Mindegyik kiránduláson 15 gyerek vett részt. Az
első kirándulás résztvevői közül heten
voltak jelen a másodikon és nyolcan a harmadikon. A
második kirándulás öt résztvevője ment el
a harmadik kirándulásra. Négy olyan gyerek volt, aki
háromszor kirándult. Hány gyerek volt jelen
legalább az egyik kiránduláson?
Feladat: 6.7.
Egy iskolában három kirándulást szerveztek. Az
elsőre 320, a másodikra 280, a harmadikra 350 tanuló
ment el. 60 tanuló mind a három, 130 tanuló
legalább két kiránduláson részt vett. Hány
tanuló vett részt legalább egy kiránduláson?
Feladat: 6.8.
Egy matekversenyen 30 tanuló indult. A versenyzőknek 3
feladatot kellett megoldani. Az első feladatot 19-en, a
másodikat 15-en, a harmadikat 18-an oldották meg. Az
első és második feladatra 7-en, az első és
harmadik feladatra 9-en, a második és harmadik feladatra
10-en adtak helyes megoldást. Mindhárom feladatot 3
tanulónak sikerült megoldani. Hány tanulónak nem
sikerült megoldani egy feladatot sem?
Feladat: 6.9.
A 32-fős 12.c osztály osztályfőnökének az osztály nyelvtanulásával kapcsolatos statisztikát kell készítenie. A statisztikai kérdőív a következő kérdésekből állt:
1. Hányan járnak az osztályba?
2. Hány tanulónak van középfokú nyelvvizsgája angol nyelvből?
3. Hány tanulónak van középfokú nyelvvizsgája francia nyelvből?
4. Hány tanulónak van középfokú nyelvvizsgája német nyelvből?
5. Hány tanulónak van középfokú nyelvvizsgája a fenti három nyelv mindegyikéből?
6. Hány tanulónak van középfokú nyelvvizsgája a fenti három nyelv közül pontosan kettőből?
7. Hány tanulónak van középfokú nyelvvizsgája a fenti három nyelv közül pontosan egyből?
8. Hány tanulónak nincs középfokú nyelvvizsgája a fenti három nyelv egyikéből sem?
Az utolsó két kérdés az osztályfőnök szerint felesleges.
a) Határozzuk meg a rájuk adandó választ, ha az első hat kérdésre adott válasz rendre 32, 20, 15, 6, 2, 9!
b) Jelölje az
i-edik kérdésre adott választ
xi
. Fejezzük ki
x7
és
x8
értékét
x1
,
x2
,
x3
,
x4
,
x5
, és
x6
segítségével!
Feladat: 6.10.
Hány olyan pozitív egész szám van 1200-ig, amely
a) nem osztható 2-vel
b) nem
osztható 3-mal
c) 2-vel és 3-mal sem osztható?
Feladat: 6.11.
Hány olyan van az első 1000 természetes szám
között, mely a 2, 3, 5 számok közül
a) legalább az egyikkel
b)
pontosan eggyel
c) legfeljebb kettővel
d) pontosan kettővel
osztható?
Feladat: 6.12.
Hány olyan
szám van 1200-ig, amely relatív prím 1200-hoz?
Feladat: 6.13.
Hány olyan
a) háromjegyű
b)
négyjegyű
c)
n-jegyű
szám van, mely csupán az
1, 2, 3 számjegyeket tartalmazza, de mindegyiket legalább
egyszer?
Feladat: 6.14.
Hány olyan 4-jegy? szám van, melynek jegyei
között az 1 és 2 számjegyek közül
legalább az egyik szerepel?
Feladat: 6.15.
Az 1-től 10000-ig terjedő egész számokat
írjuk fel egy papírra, majd húzzuk ki
közülük azokat, amelyekben a 0 vagy az 1
előfordul. Több vagy kevesebb szám marad fenn, mint a
felírt számok fele?
Feladat: 6.16.
Az 1 m sugarú körlapon egy-egy 40 cm oldalú piros és kék
négyzetlap helyezkedik el. A négyzetek nem lógnak le a körlapról.
A piros négyzet csúcsa a kék négyzet középpontjára esik.
a) Határozzuk meg a körlap négyzetek által nem takart
részének területét, feltéve, hogy a két négyzet oldalai egymással
párhuzamosan helyezkednek el!
b) Milyen határok között változhat a körlap négyzetek
által nem takart részének területe?
Feladat: 6.17.
a) Két 5 cm sugarú kör kölcsönösen átmegy egymás
középpontján. Határozzuk meg a két körlap közös részének
területét!
b) három 5 cm sugarú kör közül mindegyik átmegy a másik
kettő középpontján. Határozzuk meg a három körlap közös részének
területét!
Feladat: 6.18.
Pistike nem vigyáz a köpenyére. Az összesen csak
1
m2
-nyi anyagra anyukája már öt ízben
varrt
30
dm2
-es foltot, hatszor pedig
20
dm2
-eset. Biztosan igaz-e, hogy van két olyan folt, amelyek
legalább
3
dm2
-en fedik egymást?
Feladat: 6.19.
A Bergengóc Közigazgatási Minisztérium megbízásából a Geográfiai
Társaság az alábbi jelentést készítette az ország
térképezettségéről.
Bergengócia felfedezése óta öt térkép készült az
országról, illetve annak egyes részeiről.
Sorra vettük az egyes térképeket, és meghatároztuk, hogy
mekkora területet ábrázoltak rajtuk. Az így kapott öt érték
összege
207 ezer km
2
.
Ezután sorra vettük a térképpárokat. Felmértük, hogy
mekkora annak a résznek a területe, amelyik az első és a második
térképen is rajta van, majd annak, ami az első és a harmadik
térképen is rajta van ... végül annak, ami a negyedik és az ötödik
térképen is rajta van. Az így kapott értékek összege is
207 ezer
km
2
.
Ezután a térképhármasok következtek. Felmértük, hogy
mekkora annak a résznek a területe, amelyik az első, a második és
a harmadik térképen is rajta van, majd annak, ami az első, a
második és a negyedik térképen is rajta van ... végül annak, ami a
harmadik, negyedik és az ötödik térképen is rajta van. Az így
kapott értékek összege
105 ezer km
2
.
A térképnégyesekre hasonlóan képzett összeg
25 ezer
km
2
.
Mind az öt térképen ábrázolt terület csak
2 ezer
km
2
.
Határozzuk meg a jelentés alapján Bergengócia még feltérképezetlen
részének területét, ha tudjuk, hogy az ország teljes területe
90
ezer km
2
!
Feladat: 6.20.
Hányféleképpen helyezhetünk el 5 levelet a
megcímzett borítékokba úgy, hogy semelyik
levél se a jó címzéshez kerüljön?
Feladat: 6.21.
Egy kerek asztal köré leül 5 házaspár.
Hányféleképpen lehet, hogy semely hölgy sem ül
a férje mellett?
Feladat: 6.22.
A sivatagban vonul a tevekaraván 7 tevével, melyek nap
közben libasorban haladnak. A beduin kereskedő
szeretné a monoton vonulást a tevék számára
elviselhetőbbé tenni, ezért minden nap úgy
sorakoztatja fel őket, hogy senki ne lássa maga előtt
ugyanazt a tevét, mint előző nap. A legelső teve
lehet ugyanaz. Hányféle sorrend közül
választhat reggelente a karaván vezetője?
Feladat: 6.23.
Készítsünk algoritmust, ami megszámolja, hogy hány olyan szám van
1-től 1200-ig, amely relatív prím 1200-hoz.