13. FEJEZET: Vegyük a legnagyobbat, a legszélsőt!
Ebben a fejezetben folytatjuk a ,,vegyük a legszélsőt" gondolatra épülő vizsgálódásokat. Közelebbről azt vizsgáljuk, hogyan van jelen a gondolat a számelméletben és a geometriában.
Számelmélet
Feladat: 13.1.
Kutató munka:
A ,,vegyük a legnagyobbat-legkisebbet" gondolat egyik legelemibb számelméleti alkalmazása az egyik mód arra, ahogyan belátjuk, hogy végtelen sok prímszám van. Ha véges sok lenne, vehetnénk ezek közül a legnagyobbat, ha ez
P, akkor a
P!+1 számnak nem volna prímosztója. Ugyanis ez a szám relatív prím minden
P-nél nem nagyobb számhoz, tehát ha nem volna
P-nél nagyobb prím, akkor az összes prímhez is relatív prím volna. Ilyen szám csak az 1, s ez ellentmondás.
Hogyan alkalmazható ugyanez a gondolat annak bizonyítására, hogy
a) végtelen sok
4k-1 alakú, b)
6k-1 alakú prímszám van?
Feladat: 13.2.
*
Kutató munka:
Hogyan alkalmazható a
13.1. feladatban említett gondolatmenet annak bizonyítására, hogy a
4k+1 alakú prímek száma is végtelen?
További egyszerű példa a ,,vegyük a legnagyobbat-legkisebbet" gondolat alkalmazására az, ahogyan Dedekind bizonyította, hogy ha
c olyan pozitív egész szám, amely nem négyzetszám, akkor
c irracionális. A 13.3. feladatban ezt a bizonyítást vesszük át először a
c=2 esetben.
Feladat: 13.3.
Kutató munka:
a) Igazoljuk, hogy
2=
2-2
2-1
.
b) Tegyük fel, hogy
2=u/v racionális szám, ahol
u és
v pozitív egészek. Mit kell feltételeznünk róluk, hogy az a)-ban bizonyított egyenlőség alapján ellentmondásra jussunk?
Az általános esetben az itt használt alapötleten kívül még egy ötletre szükség van.
Feladat: 13.4.
Kutató munka:
Milyen általános egyenlőség segít ahhoz, hogy a
13.3. feladat megoldásában használt ötletet az általános esetben is alkalmazni tudjuk?
Megjegyzés. Aki nem akarja önállóan végiggondolni, a bizonyítást megtalálja [
173] 111. oldalán.
Azt az egyszerű tényt, hogy a pozitív (vagy a nem-negatív) egészek bármely részhalmazában van legkisebb elem, megfogalmazhatjuk úgy is, hogy ,,lefelé" nem végtelen a természetes (vagy a nem-negatív) számok sorozata. - Ez a megfogalmazás egyébként szoros kapcsolatban áll a ,,finitizmus elvével". - A gondolatot ebben a formában használtuk a 13.4 feladat megoldásában is. Az általános alakja a következő. Be akarjuk bizonyítani, hogy bizonyos tulajdonságú természetes számok nem léteznek. Ehhez indirekte feltesszük, hogy léteznek az adott tulajdonságú természetes számok. De akkor van közöttük egy legkisebb, mondjuk
m. A ,,csavar" az, hogy úgy jutunk ellentmondásra, hogy
m segítségével mutatunk egy
m-nél kisebbet, amely szintén rendelkezik a kívánt tulajdonsággal. Ezt a módszert Pierre de Fermat francia matematikus vezette be és alkalmazta. Ő descente infinie-nek, végtelen leszállásnak nevezte el. A számelméletben igen gyakran alkalmazható, mint azt látni fogjuk. Egy nagyon elemi ismereteket követelő ,,descente infinie"-s bizonyítás adható arra, hogy ha két négyzetszám összege osztható egy
4k-1 alakú prímszámmal, akkor mindkét négyzetszám is osztható vele. Lásd [173] 35sk. oldal.
Feladat: 13.5.
Bizonyítsuk be, hogy ha az
x,y,z racionális számokra
teljesül, akkor
x=y=z=0. (Kürschák-verseny, 1983. [
176]).
Feladat: 13.6.
A
13.5. feladat folytatásaként döntsük el, igaz-e ugyanez minden
alakú egyenletre is, ahol
k tetszőleges egész szám.
Feladat: 13.7.
A
13.5. feladat folytatásaként döntsük el, hogy igaz-e ugyanaz az
egyenletre is?
Feladat: 13.8.
Léteznek-e olyan
x,y,z nullától különböző racionális számok, amelyek négyzetösszege 7?
Feladat: 13.9.
Igazoljuk, hogy a
4k
·(8n+7) alakú számok nem állíthatók elő három négyzetszám összegeként!
Lényegesen nehezebb annak a bizonyítása, hogy csak ezek a számok nem állnak elő három négyzetszám összegeként, s ezek előállnak négy négyzetszám összegeként.
Feladat: 13.10.
*Bizonyítsuk be, hogy az
egyenletnek nincs megoldása pozitív egész számokban. (Euler)
Geometria
Feladat: 13.11.
Bizonyítsuk be a szögösszeg felhasználása nélkül, hogy síkbeli sokszögnek mindig van legalább három konvex szöge.
Megjegyzés. A szögösszeget már csak azért sem jó használni, mert nem konvex sokszögekre nem olyan egyszerű bizonyítani, a bizonyításhoz nekünk például szükségünk lesz erre az állításra! L. a
13.12. feladatot.
Feladat: 13.12.
Ismeretes, hogy a síkbeli konvex
n-szögek szögösszege
(n-2)
180∘
. A bizonyításhoz az
n-szöget egymást nem metsző átlóival
n-2 darab háromszögre bontottuk.
Bizonyítsuk be, hogy
tetszőleges síkbeli poligon felbontható háromszögekre egymást nem metsző átlóival (tehát tetszőleges síkbeli
n-szög szögösszege
(n-2)
180∘
).
Feladat: 13.13.
Kutató munka:
Van-e olyan sokszög, amelynek belsejében van olyan pont, amelynek minden oldalegyenesen vett merőleges vetülete az oldalon kívülre esik?
Feladat: 13.14.
[
33]. 53. feladat.
Egy konvex sokszög belsejében fekvő
P pontot merőlegesen levetítünk a sokszög minden oldalegyenesére. Előfordulhat-e, hogy egyetlen vetületpont sem esik magára az oldalra, hanem mindegyik vetület az oldal valamelyik meghosszabbítására esik?
Feladat: 13.15.
[
33] 53. feladat.
Egy konvex poliéder belsejében fekvő
P pontot merőlegesen levetítünk a poliéder minden lapsíkjára. Előfordulhat-e, hogy egyetlen vetületpont sem esik magára a lapra, hanem mindegyik vetület a lapon kívül van?
Feladat: 13.16.
Adott két konvex sokszög a síkon, amelyeknek nincs közös pontjuk. Bizonyítandó, hogy elválaszthatók egy egyenessel, azaz van olyan egyenes, amelynek az egyik sokszög az egyik partján, a másik sokszög a másik partján van.
Feladat: 13.17.
Kutató munka:
A
13.16. feladat megoldásában használtuk, éspedig végtelen halmazokra, két sokszög pontjaira, hogy ha két korlátos zárt alakzat pontjainak távolságát vizsgáljuk, ezek között van minimális. ,,Végesíthető-e" a bizonyításnak ez a pontja?
Mutassunk példát arra, hogy két közös pont nélküli sokszög közötti minimális távolság nem a csúcsok közötti minimális távolság!
Feladat: 13.18.
Adott
n pont a síkon, nincs mind egy egyenesen. Nevezzük
jó egyenesnek a sík olyan egyeneseit, amelyekre a megadott pontok közül legalább kettő illeszkedik. Előfordulhat-e, hogy minden jó egyenesre legalább három megadott pont illeszkedik?
Feladat: 13.19.
Adott
n egyenes a síkon, nem illeszkedik mind egy pontra. Tekintsük ezeknek az egyeneseknek a metszéspontjait. Előfordulhat-e, hogy minden ilyen metszésponton legalább három megadott egyenes halad át?
Feladat: 13.20.
[
176]
Egy zárt térbeli ponthalmaz minden metszete körlap. Bizonyítsuk be, hogy a ponthalmaz gömb. (Kürschák-verseny, 1954.)
Feladat: 13.21.
* A síkon véges sok egységoldalú négyzetlapot helyeztünk el úgy, hogy oldalaik párhuzamosak. A sík bármely pontját legfeljebb két négyzetlap fedi. Mutassuk meg, hogy a négyzetlapok beoszthatók legfeljebb három csoportba úgy, hogy minden csoportban páronként közös pont nélküli négyzetlapok legyenek! (Arany Dániel verseny, Haladók, 1986.)
Feladat: 13.22.
A sík egy
H véges ponthalmazáról tudjuk, hogy bármely két, különböző
P és
Q pontjához található
H-nak egy olyan pontja, amelyre a
PRQ\measuredangle hegyesszög. Bizonyítandó, hogy
H-nak van három olyan pontja, amelyek hegyesszögű háromszöget alkotnak. (Arany Dániel-verseny, 1984/Haladó)
Feladat: 13.23.
Adott a síkon véges sok kör. Ezek együttesen
T területű részt fednek le a síkból. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható közülük néhány, páronként diszjunkt kör úgy, hogy azok együtt legalább
T/9 területű részt lefednek.
Feladat: 13.24.
Milyen
n-ekre van szabályos rács-
n-szög a síkban?
Megjegyzés. Rácssokszögön olyan sokszöget értünk, amelynek minden csúcsának minden koordinátája egész szám.
A következő két feladat egyszerűbb az előzőeknél, mégis a fejezet végére hagytuk, mert már átvezet az algoritmusok és az állapotfüggvények körébe.
Feladat: 13.25.
Adott
n pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy van olyan törött vonal, amelynek pontosan ezek a pontok a csúcsai és nem metszi önmagát.
Megjegyzés. A feladatot l. még az állapotfüggvényekről szóló fejezetben. A feladat egy élesebb változatát lásd a
Kombinatorikus geometria 15.5. feladatnál.
Feladat: 13.26. [
158]
Adott a síkon
n fehér és
n kék pont. Behúzható-e
n olyan szakasz, amelyek mindegyikének egy-egy fehér és kék végpontja van
és a szakaszok nem metszik egymást (végpontban sem)?