17. FEJEZET: A skatulyaelv a kombinatorikus geometriában
Bemelegítő feladatok
Pár, mára már klasszikusnak számító feladattal kezdjük a skatulyelv kombinatorikai geometriai alkalmazásainak feltérképezését.
Feladat: 17.1.
Adott öt pont egy egységnégyzetben. Bizonyítandó, hogy van közöttük kettő, amelyek távolsága legfeljebb
1/2.
Feladat: 17.2.
[
174].
Egy körlemezen nyolc pontot veszünk fel (a határoló körlemezt is a körlemezhez számítjuk). Bizonyítsuk be, hogy a nyolc pont között van két olyan, amelyek távolsága a kör sugaránál kisebb. (Kürschák-verseny, 1965.)
Feladat: 17.3.
Egy 7 egység oldalú négyzetben elhelyezünk 51 pontot. Bizonyítsuk be, hogy ezek között a pontok között van három olyan, amely lefedhető egy egységsugarú körrel. (OKTV, 1997.)
Feladat: 17.4.
* Egy derékszögű háromszög két befogója 1 és
3. A háromszögben adott 25 pont. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható a pontok közül három, amelyek lefedhetők egy
1/3 átmérőjű körlappal. (Arany Dániel-verseny, 1989H)
Lefedések
Feladat: 17.5.
Hány kisebb szabályos háromszöggel fedhető le egy egységoldalú szabályos háromszög?
Feladat: 17.6.
Hány egynél kisebb átmérőjű alakzattal fedhető le egy egységoldalú szabályos háromszög?
Feladat: 17.7.
Adott egy nem szabályos háromszög, a legnagyobb oldala egységnyi. Hány kisebb átmérőjű alakzatra van szükség a lefedéséhez?
Feladat: 17.8.
a) Hány kisebb zárt körlemezzel fedhető le egy zárt körlemez?
b) Egy egységnyi sugarú zárt körlemezt kisebb sugarú egybevágó zárt körlemezekkel fedünk le. Legkevesebb hány körre van ehhez szükség? A legkevesebb körrel való lefedés esetén mennyi a lefedő körök sugarának a lehetséges minimuma? (OKTV 1996.)
Feladat: 17.9.
[
176]
Egy (zárt) körlapot feleakkora átmérőjű (zárt) körlapokkal akarunk befedni. Hogyan tehetjük ezt meg a legkevesebb számú körlappal? (Kürschák verseny, 1947.)
Pontrendszerek
Feladat: 17.10.
Adott a síkon négy általános helyzetű pont. Bizonyítandó, hogy van közöttük három, amelyek egy nem hegyesszögű háromszöget határoznak meg. (Van közöttük három,
A,B,C, amelyekre
BAC∠≥
90∘
.)
Feladat: 17.11.
Adott a síkon öt általános helyzetű pont. Bizonyítandó, hogy van közöttük három, amelyek egy legalább 108 -os háromszöget határoznak meg. (Van közöttük három,
A,B,C, amelyekre
BAC∠≥
108∘
.)
Feladat: 17.12.
[
176]
Adott a síkon hat általános helyzetű pont. Bizonyítandó, hogy van közöttük három, amelyek egy legalább 120 -os háromszöget határoznak meg. (Van közöttük három,
A,B,C, amelyekre
BAC∠≥
120∘
.) (Kürschák verseny, 1958.)
Feladat: 17.13.
a) Adott a síkon hét általános helyzetű pont. Bizonyítandó, hogy van közöttük három, amelyek egy 120 -osnál nagyobb szögű háromszöget határoznak meg. (Van közöttük három,
A,B,C, amelyekre
BAC∠>
120∘
.
b) * Mutassuk meg, hogy bármely pozitív
c számhoz megadható hét általános helyzetű pont a síkon úgy, hogy közülük bármely három által meghatározott bármelyik szög kisebb
120∘
+c-nél. (L. [
176], 187. oldal; az eredmények Blumenthal amerikai matematikustól származnak.)
Feladat: 17.14.
[
176]
Adott a sík négy pontja. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott hat távolság közül a legnagyobb és a legkisebb hányadosa legalább
2. (Kürschák verseny, 1961.)
Feladat: 17.15.
Adott a sík öt pontja. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott tíz távolság közül a legnagyobb és a legkisebb hányadosa legalább
2sin
54∘
. (Arany Dániel-verseny, 1984H)
Feladat: 17.16.
Adott öt általános helyzetű pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy legalább három nem-hegyesszögű háromszöget határoznak meg.
Feladat: 17.17.
Adott hat általános helyzetű pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy legalább hat nem-hegyesszögű háromszöget határoznak meg.
Feladat: 17.18.
Adott hét általános helyzetű pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy legalább tizenegy nem-hegyesszögű háromszöget határoznak meg.
Feladat: 17.19.
Adott
n>4 általános helyzetű pont a síkon. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott háromszögeknek legalább a 30 százaléka nem-hegyesszögű. (Vö. IMO 1970/6. feladat, [
183])
Feladat: 17.20.
a) Adott négy pont a síkon, bármely kettő távolsága legfeljebb egy. Mennyi az általuk alkotott hat távolság négyzetösszegének maximuma?
b) Mennyi a távolságok négyzetösszegének maximuma öt, illetve hat pont esetén?
Feladat: 17.21.
* Adott négy általános helyzetű pont a síkon, bármely kettő távolsága legfeljebb egy. Bizonyítsuk be, hogy a négy csúcs között van három, amely által meghatározott háromszög beírt körének sugara legfeljebb
(2-1)/2.
Feladat: 17.22.
* Adott öt általános helyzetű pont a síkon, bármely kettő távolsága legfeljebb egy. Bizonyítsuk be, hogy van az öt csúcs között van három, amely által meghatározott háromszög beírt körének sugara legfeljebb
1/2
tg
18∘
.
Ahol már kis gráfelmélet is kell
Feladat: 17.23.
Hat pont a síkon legalább hány különböző távolságot határoz meg?
Feladat: 17.24.
Bizonyítsuk be, hogy öt pont a síkon legalább három különböző távolságot határoz meg, kivéve ha az öt pont egy szabályos ötszög öt csúcsa.
Feladat: 17.25.
Hány olyan elrendezése lehetséges a síkon négy pontnak, ahol a négy pont csak két különböző távolságot határoz meg? A hasonló elrendezéseket azonosnak tekintjük.
Elhelyezések
Feladat: 17.26.
Adott egy 2 egység oldalú négyzet. Elhelyezhető-e a belsejében öt egységnégyzet úgy, hogy azok közül semelyik kettőnek ne legyen közös belső pontja?
Feladat: 17.27.
Adott egy 3 egység oldalú kocka. Elhelyezhető-e a belsejében 28 egységoldalú kocka úgy, hogy azok közül semelyik kettőnek ne legyen közös belső pontja?
Feladat: 17.28.
Bizonyítsuk be, hogy az egységkörben nem helyezhető el négy 1/2 oldalú négyzet úgy, hogy semely kettőnek ne legyen közös belső pontja.
Megjegyzés. A feladat folytatását l. a
15.24. feladatban.
Feladat: 17.29.
Bizonyítsuk be, hogy az egységkörben nem helyezhető el négy 1/2 sugarú kör úgy, hogy semely kettőnek ne legyen közös belső pontja.
Feladat: 17.30.
Adott egy 2 egység oldalú konvex szabályos hatszög. Elhelyezhető-e a belsejében 11 egységnégyzet úgy, hogy azok közül semelyik kettőnek ne legyen közös belső pontja?
Feladat: 17.31.
Adott a síkon egy konvex ötszög,
P1
, csúcsai
A1
,
A2
,
A3
,
A4
,
A5
. A
P1
ötszögből a
Pi
ötszöget az
A1
Ai
‾
eltolással kapjuk.
Bizonyítandó, hogy a
P1
,
P2
,
P3
,
P4
,
P5
ötszögek között van kettő, amelyeknek van közös belső pontja.
A feladat folytatása a
17.32. feladat.
Feladat: 17.32.
Adott a térben egy 9-csúcsú konvex poliéder,
P1
, csúcsai
A1
,
A2
,…,
A9
. A
P1
ötszögből a
Pi
ötszöget az
A1
Ai
‾
eltolással kapjuk. Bizonyítandó, hogy a
P1
,
P2
,…,
P9
poliéderek között van kettő, amelyeknek van közös belső pontja. (IMO 1971/2. feladat, [
183] )
Igaz-e az állítás 8-csúcsú konvex poliéderekre is?