1. FEJEZET: Statisztika
Feladat: 1.1.
a) Menjünk az ablakhoz és becsüljük meg valamely kiemelkedő tárgy (pl. templom) magasságát!
b) Képzeljük el, hogy az osztály minden tanulójának van egy tippe. A vizsgált tárgy viszont már nem elérhető, nem mérhető.
Hogyan állapodhat meg az osztály egyetlen magasságértékben?
Feladat: 1.2.
Adott a
H={
x1
;
x2
;…,
xn
} adatsokaság. (Nem halmaz, mert ugyanaz az elem többször is előfordulhat benne.)
Az
x szám
átlagos abszolút eltérése a
H számsokaságtól a
|x-
x1
|+|x-
x2
|+…+|x-
xn
|
n
|
| (2) |
kifejezés értéke, míg
x-nek a
H-tól való
átlagos négyzetes eltérését az alábbi képlet adja meg:
(x-
x1
)2
+(x-
x2
)2
+…+(x-
xn
)2
n
.
|
| (2) |
Adott a
H={1;3;8} számsokaság.
Határozzuk meg azt az
x=2 számnak a
H-tól való
a) átlagos négyzetes eltérését!
b) átlagos abszolút eltérését!
Határozzuk meg azt az
x számot, amelynek a
H számsokaságtól való
c) átlagos négyzetes eltérése;
d) átlagos abszolút eltérése
minimális!
Feladat: 1.3.
Adott az
{1;3;8;12}, {
x1
;
x2
;
x3
;…
xn
}
|
számsokaság.
Határozzuk meg azt az
x számot, amelynek a számsokaságtól való
a) átlagos négyzetes eltérése;
b) átlagos abszolút eltérése
minimális!
Feladat: 1.4.
Sára Tamás feladata
Adott egy
H számsokaság. Azt mondjuk, hogy az
a sárajobb
b-nél (jelben:
a
◃s
b, ha a számsokaságban
a és
b átlagától
a-felé több elem van, mint
b-felé. Azt mondjuk, hogy az
a szám a
{
x1
;
x2
;
x3
;…
xn
} számsokaságra vonatkozóan sáralegjobb, ha nem létezik olyan
b≠a szám, amelyre
b
◃s
a.
Adjuk meg a
a)
H1
={3;7;8},
b)
H2
={3;7;8;15}
számsokaságok sáralegjobb elemeit!
Feladat: 1.5.
Egy
H számsokaság átlaga
x
‾
=3, szórása
D=5. Meghatározható-e ezekből az adatokból az
y=11 számnak a
H sokaságtól való átlagos négyzetes eltérése?
Feladat: 1.6.
a) Adottak a síkon az
A,
B,
C pontok. Határozzuk meg a sík azon
P pontjának koordinátáit, amelyre a
PA2
+
PB2
+
PC2
kifejezés értéke minimális!
b) Adott még egy
R pozitív szám is. Mi lehet
P mértani helye, ha
PA2
+
PB2
+
PC2
=
R2
?
Feladat: 1.7.
Jelölje az
A={
a1
;
a2
;…;
an
} számsokaság átlagát
A
‾
, a
B={
b1
;
b2
;…;
bm
} számsokaság átlagát
B
‾
. A két számsokaság Minkowski összegén az
A+B={
a1
+
b1
;
a2
+
b2
;…;
a1
+
bm
;
a2
+
b1
;
a2
+
b2
;…;
a2
+
bm
;…;
an
+
bm
}
|
adatsokaságot értjük. Fejezzük ki az
A+B sokaság átlagát
A
‾
és
B
‾
segítségével!
Feladat: 1.8.
Tekintsünk egy számsokaságot. Hogyan változik a számsokaság mediánja, módusza, átlaga, terjedelme és szórása, ha a számsokaság minden elemét
a) 3-mal megnöveljük?
a) 3-mal megszorozzuk?
Feladat: 1.9.
Mit mondhatunk arról a számsokaságról, amelynek szórása
0?
Feladat: 1.10.
a) Határozzuk meg a
{3;7} számsokaság szórását!
b) Az elemeket ötször vesszük, így kapjuk a
{3;3;3;3;3;7;7;7;7;7} számsokaságot. Hogyan változik a szórás?
c) Veszünk még két hetest:
{3;3;3;3;3;7;7;7;7;7;7;7}. Hogyan változik a szórás? Nő, csökken, vagy változatlan marad? Előbb tippeljünk, azután számoljunk!
Feladat: 1.11.
Adott a
H={
x1
;
x2
;…;
xn
} számsokaság, amelynek átlaga
x
‾
, szórása
D. Határozzuk meg a
{
x1
-
x
‾
D
;
x2
-
x
‾
D
;…;
xn
-
x
‾
D
}=
H-
x
‾
D
|
számsokaság átlagát és szórását!
Feladat: 1.12.
Határozzuk meg az alábbi számsokaságok standardizáltját:
a)
{3;7};
b)
{2;3;7}!;
Feladat: 1.13.
Mi lehet egy két tagból álló adatsokaság standardizáltja?
Feladat: 1.14.
Adott a
{3;7} számsokaság. Bővítsük ki egy elemmel, hogy ne változzon a szórása! Először tippeljünk, utána számoljunk!
Feladat: 1.15.
Legyen
{
an
} olyan szigorúan monoton növő sorozat, amelyre
a0
=0,
a1
=1 és minden
n≥1 egészre a
Hn
={
a0
;
a1
;…,
an
} szórása mindig ugyanaz a szám. Határozzuk meg a
limn→∞
an
határértéket!
Feladat: 1.16.
Csebisev tulajdonság
Egy
H számsokaság átlaga
x
‾
, szórása
D. A számsokaság elemeinek legfeljebb hány százaléka lehet
a) az
[x-2D;x+2D]
b) az
[x-3D;x+3D]
intervallumon kívül?
c) Fogalmazzuk meg az a)-b) feladatrészeknek megfelelő állítások általánosítását!
Feladat: 1.17.
Az egyenletes eloszlás szórása
Határozzuk meg a
Hn
={0;
1
n
;
2
n
;…;
n-1
n
;1} halmaz szórását és a szórás határértékét, ha
n tart a végtelenhez!
Feladat: 1.18. [
80]
a) Bizonyítsuk be, hogy ha
n szám összege
0, abszolút értékeik összege
a, akkor a legnagyobb és a legkisebb szám különbsége legalább
2a
n
.
b) Az
A1
A2
…
An
konvex
n-szög nelsejében úgy választottuk ki az
O pontot, hogy az
OA1
→
+
OA2
→
+…+
OAn
→
vektorösszeg a nullvektor, míg a vektorok hosszának összege
d. Igazoljuk, hogy az
n-szög kerülete legalább
4d/n.
c) Éles-e ez a korlát minden
n esetén?