11. FEJEZET: Számjegyek
A témakörrel való ismerkedéshez ajánljuk a [70] könyv IV.
fejezetének 115-121 példáit.
Feladat: 11.1.
Három egymást követő páratlan számot összeszoroztunk, majd a
kapott eredményt megszoroztuk 5-tel. Így a következő alakú
hatjegyű számot kaptuk:
‾
ABABAB, ahol
A és
B számjegyek.
Mi volt az eredeti három páratlan szám?
Feladat: 11.2.
Egy tetszőleges kétjegyű szám után írjunk egy 0-t majd újból a
kétjegyű számot. Mutassuk meg, hogy az így kapott ötjegyű szám
mindig osztható 11-gyel és 13-mal is!
Feladat: 11.3.
Egy tízes számrendszerben felírt szám egyenlő a számjegyei
összegének 17-szeresével. Melyik lehet ez a szám?
Feladat: 11.4.
Pisti azt tapasztalta, hogy ha egy négyjegyű számhoz hozzáadja a
fordítottját, (azaz azt a számot, amelyet az eredeti szám
jegyeinek fordított sorrendbe írásával kapunk), akkor az összeg
mindig osztható lesz 11-gyel. A két szám különbségéről azt
találta, hogy mindig osztható 9-cel. Igaza van-e? Magyarázzuk meg
a tapasztalatot! Mit tapasztalunk, ha ötjegyű számokkal
próbálkozunk?
Feladat: 11.5.
Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromjegyű számot kétszer egymás után
írunk, akkor az így keletkező hatjegyű szám mindig osztható 7-tel,
11-gyel és 13-mal!
Feladat: 11.6. [
36]
Jancsinak a 37-et kellett volna megszoroznia egy kétjegyű számmal,
amelyben a tízesek helyén álló számjegy kétszer akkora, mint az
egyesek helyén álló számjegy. A példa leírásakor véletlenül
felcserélte a szorzó két számjegyét, és így a szorzat a
keresettnél 666-tal kisebb lett. Melyik számmal kellett volna
szoroznia?
Feladat: 11.7. [
38]
A,
B és
C különböző számjegyek. Lehet-e, hogy az
ABC
‾
és a
CBA
‾
háromjegyű számok
mindketten oszthatók héttel?
Feladat: 11.8. [
38]
Egy háromszög belső szögeinek fokokban mért mérőszámai egészek.
Egyik szöge háromjegyű, a másik két szög mérőszámát úgy kapjuk
ebből, hogy elhagyjuk a középső, illetve az utolsó számjegyet.
Mekkorák a háromszög szögei?
Feladat: 11.9.
Két háromjegyű szám összege osztható 37-tel. Ha a két számot
egymás mellé írjuk, egy hatjegyű számot kapunk. Igazoljuk, hogy ez
a hatjegyű szám is osztható 37-tel!
Feladat: 11.10.
Egy négyjegyű számról ezt tudjuk: első jegye azonos a másodikkal,
a harmadik jegye a negyedikkel, és maga a szám négyzetszám. Mi
lehet ez a szám?
Feladat: 11.11.
Van-e olyan négyjegyű palindrom szám, ami teljes négyzet?
(Palindromszám: jegyei szimmetrikusak, azaz hátulról olvasva
sorban ugyanazokat a jegyeket kapjuk, mintha elölről olvasnánk.)
Feladat: 11.12. [
52, 505.]
Van-e olyan
abcd
‾
négyjegyű szám, melyre
abcd
‾
-
dcba
‾
=1008?
Feladat: 11.13.
Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek egyenlők négyzetük utolsó
két jegyével?
Feladat: 11.14.
Keressünk olyan természetes számot, amelyben a számjegyek összege
osztható 13-mal és a rákövetkező szám jegyeinek összege is
osztható 13-mal.
Feladat: 11.15.
Van-e olyan négyzetszám, ami 30 db 1-est és néhány 0-ást
tartalmaz?
Feladat: 11.16.
Készítsünk algoritmust, amely megszámolja, hogy a beadott számnak
hány hetes számjegye van!