1. FEJEZET: Egyenlőtlenségek
Feladat: 1.1.
(NDK, 74).
Melyik a nagyobb:
Feladat: 1.2.
(Belgium, 79).
Rakjuk nagyságrendi sorrendbe az
x=(a+b)(c+d),
y=(a+c)(b+d),
z=(a+d)(b+c)
számokat, ha tudjuk, hogy
a<b<c<d!
Feladat: 1.3.
(Jugoszlávia, 76).
Mutassuk meg, hogy ha három szám szorzata
1, és összegük nagyobb a reciprokösszegüknél, akkor a három szám közül pontosan egy olyan van, amely nagyobb
1-nél!
Feladat: 1.4.
(New York, 75).
Az
a,
b tetszőleges, de egymástól különböző pozitív számok számtani közepét
A=
a+b
2
, mértani közepüket pedig
B=ab jelöli. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenségláncot:
Feladat: 1.5.
(Jugoszlávia, 76).
Mutassuk meg, hogy bármely
1-nél nagyobb számokból álló
a,
b,
c számhármasra fennáll az
2(
logb
a
a+b
+
logc
b
b+c
+
loga
c
c+a
)≥
9
a+b+c
|
egyenlőtlenség!
Feladat: 1.6.
(Ausztria, 71).
Mutassuk meg, hogy bármely pozitív számokból álló
a,
b,
c számhármasra teljesül az
a2
(b+c-a)+
b2
(c+a-b)+
a2
(a+b-c)+≤3abc
|
egyenlőtlenség
Feladat: 1.7.
(USA, 80).
Igazoljuk, hogy ha
a,
b,
c∈[0;1], akkor
a
b+c+1
+
b
c+a+1
+
c
a+b+1
+(1-a)(1-b)(1-c)≤1!
|
Feladat: 1.8.
(Csehszlovákia, 59).
Bizonyítsuk be, hogy ha az
a,
b,
c valós számok kielégítik az
a+b+c>0, ab+bc+ca>0, abc>0
|
egyenlőtlenségeket, akkor a három valós szám mindegyike pozitív!
Feladat: 1.9.
(Belgium, 76).
Igazoljuk, hogy bármely
α valós számra fennáll az
egyenlőtlenség!
Feladat: 1.10.
(Balkániáda, 84).
Igazoljuk, hogy ha az
a1
,
a2
, ... ,
an
pozitív számok (
n≥2) összege
1, akkor
∑i=1
n
ai
2-
ai
≥
n
2n-1
.
|
Feladat: 1.11.
(NDK, 67; Anglia, 76).
Igazoljuk, hogy ha
a1
,
a2
, ... ,
an
mind pozitív számok és
n≥2, akkor
∑i=1
n
ai
s-
ai
≥
n
n-1
,
ahol
s=
∑i=1
n
ai
!
|
Feladat: 1.12.
(New York, 75).
Igaz-e, hogy ha az
a1
,
a2
,
…,
an
számok mind pozitívak és
an+1
=
a1
, akkor
∑i=1
n
(
ai
ai+1
)n
≥
ai+1
ai
?
|
Feladat: 1.13.
(Zsűri, Kanada, 82).
Mutassuk meg, hogy ha az
a,
x pozitív valós számokra
x≠1 és
a<1, akkor
Feladat: 1.14.
(Zsűri, Szovjetunió, 82).
Bizonyítsuk be, hogy ha az
α,
x1
,
x2
,
…,
xn
számokra
α≤1,
és
1≥
x1
≥
x2
≥…≥
xn
>0,
|
akkor
(1+
x1
+
x2
+…+
xn
)α
≤1+
1α-1
x1
α
+
2α-1
x2
α
+…+
nα-1
xn
α
!
|
Feladat: 1.15.
(Bulgária, 82).
Igazoljuk, hogy ha
2≤n∈N és
a1
,…,
an
∈[0;2], akkor
∑i=1
n
∑j=1
n|
ai
-
aj
|≤
n2
.
|
Mely
a1
,
… ,
an
számok esetén van egyenlőség?
Feladat: 1.16.
(Jugoszlávia, 72).
Mutassuk meg, hogy ha az
M számra és az
a11
,
a12
, …,
a1n
,
a21
,
a22
, …,
a2n
,
::⋱:
an1
,
an2
, …,
ann
|
számhalmazra minden
x1
,
…,
xn
∈{-1;1} értékrendszer esetén fennáll az
∑j=1
n|
aj1
x1
+
aj2
x2
+…+
ajn
xn
|≤M
|
egyenlőtlenség, akkor teljesül az
|
a11
|+|
a11
|+…+|
ann
|≤M
|
egyenlőtlenség is!
Feladat: 1.17.
(Zsűri, USA, 82).
Igazoljuk, hogy tetszőleges
a1
,
…,
an
valós számokhoz megadható olyan
k∈{1;…;n} egész szám, hogy bármely
1≥
b1
≥
b2
≥…≥
bn
≥0 számokra fennálljon az
|
∑i=1
n
bi
ai
|≤|
∑i=1
k
ai
|
|
egyenlőtlenség!
Feladat: 1.18.
(Bulgária, 84).
Legyenek
m,
n tetszőleges pozitív egész számok, míg
x1
,
…,
xn
,
y1
,
…,
yn
olyan valós számok a
[0;1] intervallumban, melyekre az
xi
+
yi
=1, ha
i=1,…,n. Bizonyítsuk be, hogy
(1-
x1
·…·
xn
)m
+(1-
y1
m
)·…·(1-
yn
m
)≥1!
|
Feladat: 1.19.
(Zsűri, USA, 77).
Mutassuk meg, hogy tetszőleges
a≤b≤c≤d pozitív számokra teljesül az
ab
bc
cd
da
≥
ba
cb
dc
ad
|
egyenlőtlenség!
Feladat: 1.20.
(NDK, 80).
Bizonyítsuk be, hogy ha
n és
k
1-nél nagyobb egész számok, akkor
∑j=2
nk
1
j
>k
∑j=2
n
1
j
!
|
Feladat: 1.21.
(Zsűri, Franciaország, 82).
Mutassuk meg, hogy ha
a1
,
…,
an
pozitív számok, akkor
∑k=1
n
a1
·…·
ak
k≤e
∑k=1
n
ak
,
|
ahol
e a természetes alapú logaritmus alapja.
Feladat: 1.22.
(USA, 77).
Rögzítsük a
p,
q pozitív számokat és legyenek
α,
β,
γ,
δ és
ε tetszőleges számok az
[p;q| intervallumban! Mutassuk meg, hogy
(α+β+γ+δ+ε)(
1
α
+
1
β
+
1
γ
+
1
δ
+
1
ε
)≤25+6
(
p
q
-
q
p
)2
!
|
Mely
α,
β,
γ,
δ,
ε számokra áll fenn az egyenlőség?
Feladat: 1.23.
(NDK, 70).
Igazoljuk, hogy bármely
??,
b,
c,
d pozitív számokra teljesül az
abc+abd+acd+bcd
4
3≤
ab+ac+ad+bc+bd+cd
6
|
egyenlőtlenség! Mely
??,
b,
c,
d számokra teljesül az egyenlőség?