2. FEJEZET: Egyenlőtlenségek{mchap:a_ii_egylotlenseg}
Becslések, egyenlőtlenségek
Feladat: 2.1. {a_ii_becsesegy_ha_090111_02}[
170]
Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket!
a)
3x+5
7-3x
<4;
b)
x2
-1
x2
+1
<
x3
-1
x3
+1
;
c)
x+1-x<
1
100
;
Feladat: 2.2. {a_ii_becsesegy_ha_090111_03}[
170]
Adottak az
a1
b1
,
a2
b2
, ... ,
an
bn
törtek úgy, hogy
bi
>0 (
i=1,2,…,n). Bizonyítsuk be, hogy az
a1
+
a2
+…+
an
b1
+
b2
+…+
bn
tört értéke az adott törtek közül a legnagyobb és a legkisebb értéke között van!
Feladat: 2.3. {a_ii_becsesegy_ha_090111_04}
Az alábbi sorozatok közül melyik korlátos (felülről), azaz melyikhez van olyan
K szám amelynél a sorozat egyik eleme sem nagyobb?
Döntsük el, hogy van-e ilyen
K szám és keressük meg a legkisebbet az alábbi esetekben!
a)
an
=1+
1
2
+
1
4
+…+
1
2n
;
b)
bn
=1+
1
3
+
1
9
+…+
1
3n
;
c)
cn
=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
;
d)
dn
=
1
1·2
+
1
2·3
+…+
1
n·(n+1)
.
Feladat: 2.4. {a_ii_becsesegy_ha_090111_05}
Korlátos-e az
fn
=1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
sorozat?
Közepek
Feladat: 2.5. {a_ii_kozepek_ha_090110_01}
Egy trapéz párhuzamos oldalainak hossza
a és
c. Fejezzük ki
a) a trapéz középvonalának;
b) a trapéz átlóinak metszéspontján át az alapokkal párhuzamos egyenes trapézon belüli részének
hosszát
a-val és
c-vel.
c) Az a), b) feladatrészekben definiált szakaszok közül melyik a hosszabb? Adjunk a bizonyításra geometriai és algebrai gondolatmenetet is!
Feladat: 2.6. {a_ii_kozepek_ha_090110_02}
(
Átlagsebesség az idő illetve az út egyenlősége mellett)
a) Egy autó egy ideig
v1
sebességgel, majd ugyanannyi ideig
v2
sebességgel haladt. Határozzuk meg a teljes időtartamra vonatkozó átlagsebességét!
b) Egy autó
A városból
B városba
v1
sebességgel haladt, majd visszafelé,
B városból
A városba
v2
sebességgel ment. Határozzuk meg az utazás teljes időtartamára vonatkozó átlagsebességét!
Feladat: 2.7. {a_ii_kozepek_ha_090110_03}
Az
ABC derékszögű háromszög
AB átfogóját a
CT magasság az
AT=p,
BT=q szakaszokra osztja.
Fejezzük ki a
a) háromszög
CT magasságát;
b) háromszög
CF súlyvonalát;
c) a
CT magasság
CF súlyvonalra vonatkozó merőleges vetületének hosszát
a
p,
q mennyiségek segítségével!
A számtani, mértani, négyzetes és harmonikus közepek két számra
Feladat: 2.8. {a_ii_szamtmert_ha_090110_01}
a) Adott egy téglalap kerülete (
K). Milyen határok között lehet a területe (
T)?
b) Adott egy téglalap területe (
T). Milyen határok között lehet a kerülete (
K)?
Feladat: 2.9. {a_ii_egylotlenseg_ha_090109_01}
Mutassuk meg, hogy ha
a,b∈
R+
, akkor
a)
a2
+
b2
2
≥
a+b
2
;
b)
a+b
2
≥a·b;
c)
a·b≥
2ab
a+b
és az egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha
a=b.
Feladat: 2.10. {a_ii_egylotlenseg_ha_090109_02}
a) Mutassuk meg, hogy ha
x∈
R+
, akkor
b) Mutassuk meg, hogy ha
x∈R, akkor
Feladat: 2.11. {a_ii_egylotlenseg_ha_090110_03}
Igazoljuk, hogy ha
a és
b pozitív számok, akkor
a
b
+
b
a
≥2.
Feladat: 2.12. {a_ii_egylotlenseg_ha_090110_05}
Az
xy=1 egyenletű hiperbolának melyek azok a pontjai, amelyek a koordinátarendszer origójához a legközelebb vannak?
Feladat: 2.13. {a_ii_egylotlenseg_ha_090111_01}
Mennyi a valós számok halmazán értelmezett
függvény minimuma?
Feladat: 2.14. {a_ii_egylotlenseg_ha_090110_06}
Hogyan kell egy szakaszt két részre osztani, hogy a két részre emelt négyzetek (lásd az
1. ábrát) területének összege
a) minimális;
b) maximális
legyen?
1. ábra{fig:a_ii_egylotlenseg_ha_090110_06fela}
Feladat: 2.15. {a_ii_egylotlenseg_100713_HP_01}
Igazoljuk, hogy ha két pozitív szám összege állandó, akkor a szorzatuk annál nagyobb, minél kisebb a különbségük. A négyzetösszegük pedig annál nagyobb, minél nagyobb a különbségük.
Feladat: 2.16. {a_ii_egylotlenseg_ha_090110_07}
A Kökörcsin, Zsombolyai, Ulászló utcák és a Bartók Béla út négyszöget alkotnak. A Kökörcsin utca és a Zsombolyai utca kereszeteződéséből akarunk eljutni a másik két utca kereszteződédébe egy kisgyerekkel. Mindenképpen a rövidebbik utat kell választanunk. A két irányba nézve világos, hogy bármerre is megyük a következő saroknál derékszögben kell elfordulnunk mégpedig az út fele előtt; illetve az is, hogy a Zsombolyai utcán valamivel többet kell mennünk, mint ha a Kökörcsinen mennénk. Merre menjünk?
Feladat: 2.17. {a_ii_egylotlenseg_ha_090110_09}[
169]
Mutassuk meg, hogy ha
0<b≤a, akkor
1
8
(a-b
)2
a
≤
a+b
2
-ab≤
1
8
(a-b
)2
b
.
|
Egymás után több egyenlőtlenség
Feladat: 2.18. {a_ii_egylotlenseg_szamtmertskla_ha_090110_10}[
170,
32]
Bizonyítsuk be, hogy ha az
a és
b pozitívszámok eleget tesznek az
a+b=1 feltételnek, akkor érvényes az
(a+
1
a
)2
+
(b+
1
b
)2
≥
25
2
|
egyenlőtlenség. Milyen esetben jutunk egyenlőséghez?
Feladat: 2.19. {a_ii_egylotlenseg_egymasutan_ha_090110_01}
a) Bizonyítsuk be, hogy ha
a1
,
a2
,
a3
és
a4
pozitív számok, akkor
{eq:a_ii_egylotlenseg_egymasutan_ha_090110_01fela}
a1
+
a2
+
a3
+
a4
4
≥
a1
a2
a3
a4
4.
|
| (1) |
Mikor áll fenn az egyenlőség?
b) Hány számra és pontosan milyen formában írható még fel az (
1) egyenlőtlenséggel analóg összefüggés?
Egyszerre több egyenlőtlenség
Feladat: 2.20. {a_ii_egylotlenseg_szamtmerttobbsz_ha_090110_20}
Igazoljuk, hogy ha
a,
b,
c pozitív számok, akkor
Feladat: 2.21. {a_ii_egylotlenseg_szamtharmtobbsz_ha_090118_01}
Igazoljuk, hogy ha
a,
b és
c pozitív számok, akkor
2ab
a+b
+
2bc
b+c
+
2ca
c+a
≤a+b+c.
|
Feladat: 2.22. {a_ii_egylotlenseg_szamtmerttobbsz_ha_090111_02}
Igazoljuk, hogy ha
a1
,
a2
, ... ,
an
pozitív számok és
a1
a2
…
an
=1, akkor
(1+
a1
)(1+
a2
)…(1+
an
)≥
2n
.
|
Feladat: 2.23. {a_ii_egylotlenseg_szamtmerttobbsz_ha_090110_25}[
169]
Igazoljuk, hogy
x,y,z∈R esetén
x2
+
y2
+
z2
≥x
y2
+
z2
+y
x2
+
z2
.
|
Mikor teljesül az egyenlőség?
Feladat: 2.24. {a_ii_egylotlenseg_szamtmerttobbsz_ha_090111_05}
Mutassuk meg, hogy ha az
a1
,
a2
,
a3
pozitív számok összege
1, akkor
4
a1
+1+4
a2
+1+4
a3
+1<5.
|
(Lásd még a
2.47. feladatot!)
Feladat: 2.25. {a_ii_egylotlenseg_szamtmerttobbsz_ha_090110_21}
Határozzuk meg az
f(x,y)=
x2
+
y2
-xy-x-y+1
|
kétváltozós függvény szélsőértékeit (
x,y∈R)!
Feladat: 2.26. {a_ii_egylotlenseg_s2_hp_091225_02}
Igazoljuk, hogy
x2
+xy+
y2
3
a számtani
A(x,y) és a négyzetes
N(x,y) közép közé esik. Vajon ezek mértani közepénél
A(x,y)N(x,y) kisebb, nagyobb-e mindig?
Számtani és mértani közép sok számra
Feladat: 2.27. {a_ii_egylotlenseg_szamtmert_soxam_ha_090110_01}
Igazoljuk, hogy
x,y,z∈
R2
esetén
Mikor teljesül az egyenlőség?
Feladat: 2.28. {a_ii_egylotlenseg_szmalt_100713_HP_01}
Bizonyítsuk be, az
n tagú számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget. Azaz legyen
n pozitív egész,
a1
,
a2
, …,
an
pozitív számok, ekkor
{eq:a_ii_egylotlenseg_egymasutan_ha_100713_HP_01fela}
a1
+
a2
+…+
an
n
≥
a1
a2
…
a4
n.
|
| (1) |
Mikor áll fenn az egyenlőség?
Feladat: 2.29. {a_ii_egylotlenseg_szamtmert_soxam_ha_090110_02}
Igazoljuk, hogy ha
x és
y pozitív számok, akkor
x3
+
y3
+1≥3xy.
Feladat: 2.30. {a_ii_egylotlenseg_szamtmert_soxam_ha_090110_03}
Melyik az a legkisebb
λ valós szám, amelyre minden valós
x,
y számra teljesül az
x4
+
y4
+λ≥8xy egyenlőtlenség?
Feladat: 2.31. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_11}
Mutassuk meg, hogy tetszőleges pozitív
a és
b számra érvényes a következő egyenlőtlenség:
Feladat: 2.32. {a_ii_egylotlenseg_szamtmert_soxam_ha_090111_10}
Egy
30 cm oldalú négyzetlap sarkaiból kis négyzeteket vágunk le és a levágott sarkok közti részeket derékszögben felhajtjuk, hogy felül nyitott dobozt hozzunk létre. Hány cm oldalhosszúságú négyzeteket vágjunk le, hogy a létrejövő doboz térfogata a lehető legnagyobb legyen?
Feladat: 2.33. {a_ii_egylotlenseg_szamtmert_soxam_ha_090111_10rossz}
A
p(x)=3
x3
-7
x2
+4 harmadfokú függvénynek a
[-1;1] intervallumon felvett maximumát keressük.
Dr. Agy szerint
p(x)=(2-x)(1-x)(3x+2), így a
[-1;-
2
3
) intervallumon
p<0 és
[-
2
3
;1]-ben
p≥0. Elég az utóbbi intervallumban vizsgálni a függvényt, ahol
(2-x),
(1-x) és
(3x+2) is nemnegatív. Dr. Agy ezután a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget alkalmazza:
2p(x)3=(4-2x)(1-x)(3x+2)3≤
(4-2x)+(1-x)+(3x+2)
3
=
7
3
,
|
tehát Dr. Agy szerint
f maximuma a vizsgált intervallumon
73
33
·2
≈6,35.
Dr. Kekec szerint
p(x)=4-
x2
(7-3x), és a vizsgált intervallumban
(7-3x)<0, így
p(x)≤4, Dr. Agy eredménye nem lehet helyes.
Jó-e Dr. Agy eljárása vagy Dr. Kekecnek igaza van? Mennyi a kérdezett maximum?
Feladat: 2.34. {a_ii_egylotlenseg_szamtmert_soxam_ha_090111_11}
Ebben a feladatban a
g(x)=
x3
-3
x2
+3 függvényt vizsgáljuk.
a) Készítsünk értéktáblázatot!
x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
g(x) | | | | | | | | | | |
b) Vázoljuk a függvény grafikonját!
c) Adjuk meg a függvény lokális szélsőértékeit, a szélsőértékhelyeket!
d) Mely
y értékeket hányszor vesz fel a függvény? Döntsük el a kérdést minden valós
y számra!
Feladat: 2.35. {a_ii_egylotlenseg_szamtmert_soxam_ha_090111_12}
Adjuk meg a
h(x)=x·(4000-
x3
) függvény maximumát az
x∈[0;100] intervallumon!
Feladat: 2.36. {a_ii_egylotlenseg_szamtmert_soxam_e_pjha_090113_01}
Ha
n pozitív egész és
Δ valós szám (
Δ≥-n), akkor jelölje
en,Δ
azon
n tényezőből álló szorzatok maximumát, amelyekben a tényezők nemnegatívak és összegük
(n+Δ).
a) Számítsuk ki és jelenítsük meg táblázatban
en,Δ
értékeit, ha
100≤n≤105 és
-3≤Δ≤3.
b) Vizsgáljuk a táblázatot! Fogalmazzunk meg az
en,Δ
számok nagyságrendi és algebrai viszonyaival kapcsolatos sejtéseket!
c) Próbáljuk meg bebizonyítani az észrevételeket!
Feladat: 2.37. {a_ii_egylotlenseg_091225_HP_01}
A
2.26 feladatot általánosítsuk kettőnél több számra!
Rendezési tétel
Feladat: 2.38. {a_ii_egyenlotlenseg_rendezesitetel_ha_090111_01}
Ha
a1
<
a2
és
b1
<
b2
, akkor
a1
b1
+
a2
b2
és
a1
b2
+
a2
b1
közül melyik a nagyobb?
Mennyivel?
Feladat: 2.39. {a_ii_egyenlotlenseg_rendezesitetel_ha_090111_02}
Ha
a1
<
a2
<
a3
és
b1
<
b2
<
b3
, akkor az
(
a1
b1
+
a2
b2
+
a3
b3
), (
a1
b1
+
a2
b3
+
a3
b2
), (
a1
b2
+
a2
b1
+
a3
b3
),
|
(
a1
b2
+
a2
b3
+
a3
b1
), (
a1
b3
+
a2
b1
+
a3
b2
), (
a1
b3
+
a2
b2
+
a3
b1
)
|
szorzatösszegek közül melyik a
a) legkisebb?
b) legnagyobb?
Feladat: 2.40. {a_ii_egyenlotlenseg_rendezesitetel_ha_090111_03}
(
Rendezési tétel vagy
Szűcs Adolf egyenlőtlenség)
Mutassuk meg, hogy ha
a1
≤
a2
≤…≤
an
és
b1
≤
b2
≤…≤
bn
(
ai
,
bi
∈R) és
π az
(1,2,…,n) számok tetszőleges permutációja, akkor
a1
b1
+
a2
b2
+…+
an
bn
≥
a1
bπ(1)
+
a2
bπ(2)
+…+
an
bπ(n)
≥
a1
bn
+
a2
bn-1
+…+
an
b1
.
|
Mikor teljesülhet az egyik illetve a másik egyenlőség?
Feladat: 2.41. {a_ii_egyenlotlenseg_rendezesitetel_ha_090111_04}
Az alábbi két kifejezésben
a1
,
a2
,
a3
,
a4
tetszőleges valós számok lehetnek. Igaz-e, hogy a két kifejezés közül az egyiknek az értéke mindig nagyobb, mint a másiké? Ha igen, akkor igazoljuk az egyenlőtlenséget, ha nem, akkor hozzunk példát arra, hogy az egyik és arra, hogy a másik oldal a nagyobb!
a)
a1
2
+
a2
2
+
a3
2
+
a4
2
és
2(
a1
a4
+
a2
a3
);
b)
a1
a4
+
a2
a3
+
a3
a2
+
a4
a1
és
a1
a2
+
a2
a3
+
a3
a4
+
a4
a1
.
Feladat: 2.42. {a_ii_egyenlotlenseg_rendezesitetel_ha_090111_05}
Mutassuk meg, hogy ha
a1
,
a2
,
a3
,
a4
és
a5
tetszőleges pozitív számok, akkor
a1
a2
+
a2
a3
+
a3
a4
+
a4
a5
+
a5
a1
≥5.
|
A háromszögegyenlőtlenség
Feladat: 2.43. {a_ii_kozepek_haromszog_ha_090110_01}
Adott egy háromszög alapja és magassága. Mikor lesz legkisebb a kerülete?
A CBS egyenlőtlenség
Feladat: 2.44. {a_ii_kozepek_cbs_ha_090111_01}
Milyen határok között változhat
a1
b1
+
a2
b2
értéke, ha
a1
2
+
a2
2
=1 és
b1
2
+
b2
2
=1?
Feladat: 2.45. {a_ii_kozepek_cbs_ha_090111_02}
(
A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség)
Legyenek
a1
,
a2
, ... ,
an
és
b1
,
b2
, ... ,
bn
tetszőleges valós számok. Igazoljuk az
{eq:a_ii_kozepek_cbs_ha_090111_02fela}|
a1
b1
+
a2
b2
+…+
an
bn
|≤(
a1
2
+
a2
2
+…+
an
2
)·(
b1
2
+
b2
2
+…+
bn
2
)
|
| (1) |
egyenlőtlenséget
a)
n=3;
b)
3<n∈N
esetén!
c) Mikor teljesül az egyenlőség?
Feladat: 2.46. {a_ii_kozepek_cbs_ha_090111_03}
Mutassuk meg, hogy ha
x1
,
x2
,
x3
tetszőleges valós számok, akkor
{eq:a_ii_kozepek_cbs_ha_090111_03fela}
(
1
2
x1
+
1
3
x2
+
1
6
x3
)2
≤
1
2
x1
2
+
1
3
x2
2
+
1
6
x3
2
.
|
| (1) |
Feladat: 2.47. {a_ii_kozepek_cbs_ha_090111_05}
Mutassuk meg, hogy ha az
a1
,
a2
,
a3
pozitív számok összege
1, akkor
4
a1
+1+4
a2
+1+4
a3
+1≤21.
|
Feladat: 2.48. {a_ii_csb_091225_HP_01}
Bizonyítsuk be, hogy
x,y>0 esetén
(a+b
)2
x+y
≤
a2
x
+
b2
y
. Mikor van egyenlőség?
Feladat: 2.49. {a_ii_csb_091225_HP_02}
Igazoljuk, hogy
x1
,
x2
,…,
xn
>0 esetén
(
a1
+
a2
+…+
an
)2
x1
+
x2
+…+
xn
≤
a1
2
x1
+…+
an
2
xn
. Mikor teljesül az egyenlőség?
Feladat: 2.50. {a_ii_csb_091225_HP_03}
Igazoljuk a fenti
2.49 feladatbeli egyenlőtlenség ekvivalens a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszij egyenlőtlenséggel.
Feladat: 2.51. {a_ii_csb_091225_HP_04}
Legyen
a,b,x,y>0 és parkettázzuk ki a síkot
a×b-s és
x×y-os téglalapokkal mégpedig úgy (lásd az
1. ábrát) , hogy az origót körülvevő három téglalap ,,bal alsó" és ,,jobb felső" csúcsai (
y≥b-t feltételezve:
{(0;0),(a,b)}, {(-x;b-y),(0;b)}, {(0;-y),(x;0)}.
|
(A
b>y eset hasonlóan.) Keressünk alkalmas parallelogrammát az ábrán, amellyel geometriailag bebizonyíthatjuk a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséget pozitív számpárok esetén.
1. ábra{fig:a_ii_csb_091225_HP_04_fela}
Feladat: 2.52. {a_ii_csb_091225_HP_05}
Adott pozitív számokból álló
n darab szorzat
a1
b1
≥1,…,
an
bn
≥1. Adott még egy súlyozás, vagyis
p1
,
p2
,…,
pn
≥0,
p1
+
p2
+…+
pn
=1. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a súlyozott összegek szorzata is legalább
1, azaz
(
a1
p1
+
a2
p2
+…+
an
pn
)(
b1
p1
+
b2
p2
+…+
bn
pn
)≥1.
|
Feladat: 2.53. {a_ii_csb_091225_HP_06}
Igazoljuk a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszij egyenlőtlenséget több tényezőre, például háromra:
(∑
ai
bi
ci
)2
≤(∑
ai
2
)(∑
bi
2
)(∑
ci
2
).
|
A Jensen-egyenlőtlenség
Feladat: 2.54. {a_ii_kozepek_jensen_ha_090110_01}
a) Mutassuk meg, hogy az
f(x)=
x2
függvény grafikonja konvex.
b) Igazoljuk a számtani és négyzetes közép közti egyenlőtlenséget
n számra! Tehát mutassuk meg, hogy ha
a1
,
a2
, ... ,
an
nemnegatív számok, akkor
a1
+
a2
+…+
an
n
≤
a1
2
+
a2
2
+…+
an
2
n
.
|
Feladat: 2.55. {a_ii_kozepek_jensen_ha_090110_02}
a) Mutassuk meg, hogy az
f(x)=
1
x
függvény grafikonja az
x∈
R+
értelmezési tartományon konvex.
b) Igazoljuk a számtani és harmonikus közép közti egyenlőtlenséget
n számra! Tehát mutassuk meg, hogy ha
a1
,
a2
, ... ,
an
pozitív számok, akkor
a1
+
a2
+…+
an
n
≥
n
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
.
|
Feladat: 2.56. {a_ii_kozepek_jensen_ha_090110_03}
Melyik függvény konvexitása igazolja a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget?
Vegyes feladatok
Feladat: 2.57. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_01}
Igazoljuk, hogy az
x1
2
+
x2
2
+
x3
2
-
x1
x2
-
x2
x3
-
x3
x1
≥0
|
egyenlőtlenség bármely
x1
,
x2
,
x3
valós számra teljesül!
Feladat: 2.58. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_04}
Mutassuk meg, hogy ha az
a1
,
a2
, ... ,
an
számok pozitívak, akkor
(
a1
+
a2
+…+
an
)·(
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
)≥
n2
.
|
Feladat: 2.59. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_05}
Legyen
p(a,b,c)=
a3
+
b3
+
c3
és
q(a,b,c)=
a2
b+
b2
c+
c2
a.
Igaz-e az alábbi állítások közül valamelyik?
I. Ha
a,
b és
c pozitívak, akkor
p(a,b,c)≤q(a,b,c).
II. Ha
a,
b és
c pozitívak, akkor
p(a,b,c)≥q(a,b,c).
Bizonyítsuk be az igaz állítást illetve indokoljuk meg, ha egyik sem igaz!
Feladat: 2.60. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_02}[
169]
(
Nesbitt egyenlőtlensége)
Mutassuk meg, hogy ha
a,
b és
c pozitív számok, akkor
a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
≥
3
2
.
|
Feladat: 2.61. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_07}
Mutassuk meg, hogy ha
a,
b és
c pozitív számok, akkor
a)
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
≥a+b+c.
b)
a2
b2
+
b2
c2
+
c2
a2
≥
b
a
+
c
b
+
a
c
.
Feladat: 2.62. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_08a}
Az
a,
b,
c pozitív számok összege
1. Határozzuk meg az
kifejezés legkisebb értékét!
Feladat: 2.63. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_08bc}
Az
a,
b,
c pozitív számok összege
1.
a) Mutassuk meg, hogy
(
1
a
-1)·(
1
b
-1)·(
1
c
-1)≥8;
b) Határozzuk meg az
(
1
a
+1)·(
1
b
+1)·(
1
c
+1) kifejezés minimumát!
Feladat: 2.64. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090121_01}
Mutassuk meg, hogy ha
n∈
N+
, akkor
(
n+1
2
)
n
2
≤n!≤
(
n+1
2
)n
.
|
Feladat: 2.65. {a_ii_egylotlenseg_vegyes_100912_HP_01}
Bizonyítsuk be, hogy (pozitív
a,b,c,d esetén)
pontosan akkor teljesül, ha a törtek nevezői megegyeznek, vagy a nagyobb nevezőjű tört értéke nem nagyobb. Egyenlőség pontosan akkor van, ha a két tört nevezője megegyezik, vagy a két tört értéke megegyezik.
Feladat: 2.66. {a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_03}
Határozzuk meg az alábbi kifejezés minimális értékét, ha a változók pozitívak!
{eq:a_ii_kozepek_egylotlenseg_vegyes_ha_090111_03_nyolcoldalu14fela}S=
a1
a2008
+
a2
+
a2
a1
+
a3
+
a3
a2
+
a4
+…+
a2008
a2007
+
a1
.
|
| (1) |
Feladat: 2.67. {a_ii_subexp_091225_HP_01}
Bizonyítsuk be, hogy ha
n elég nagy gész szám, akkor
n2
<
2n
.
Feladat: 2.68. {a_ii_subexp_091225_HP_02}
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pozitív egész
k esetén ha
n elég nagy egész szám, akkor
nk
<
2n
.
Feladat: 2.69. {a_ii_egylotlenseg_kulpol_hp_091225_01}
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
p(x) polinom esetén ha
n elég nagy egész szám, akkor
p(n)<
2n
.