4. FEJEZET: Lineáris egyenletrendszerek{mchap:a_ii_linalg}
Egyenletrendszerek
Feladat: 4.1. {a_ii_linalg_061103_ha_01}
Írjunk a betűk helyére számokat úgy, hogy mindkét megadott állítás
igaz legyen! Hány megoldás van az egyes esetekben?
| a) |
x+y=2, |
3x+3y=6. |
| b) |
x-y=10, |
4x-4y=50. |
| c) |
x+y=5, |
x+3y=11. |
Feladat: 4.2. {a_ii_linalg_061103_ha_02}
a) Ábrázoljuk az alábbi egyenletek megoldáshalmazát közös
koordinátarendszerben!
0=2x+1-y, 2y-x=2, y=2x-2.
|
Olvassuk le az ábráról az alábbi egyenletek közös megoldásait!
| a) |
x+y=2, |
3x+3y=6. |
| b) |
x-y=10, |
4x-4y=50. |
| c) |
x+y=5, |
x+3y=11. |
| b) |
0=2x+1-y, |
2y-x=2. |
| c) |
2y-x=2, |
y=2x-2. |
| d) |
0=2x+1-y, |
y=2x-2.
|
Feladat: 4.3. {a_ii_linalg_061103_ha_03}
a) Ábrázoljuk az
y=mx+m függvény grafikonját
m=-4,
m=-2,
m=0,
m=2 és
m=4 esetén!
b) Az
m paraméter értékétől függően hány megoldása van
az
egyenletrendszernek? (Adjuk meg minden
valós
m-re az egyenletrendszer megoldásainak számát!)
Feladat: 4.4. {a_ii_linalg_061103_ha_15}
Milyen
(x;y) számpárra teljesülnek a következő
egyenletrendszerek?
a)
3x
·
2x
=y
y=1296
},
b)
2x+y
·
5x+y
=10 000
x+3y=10
}
Feladat: 4.5. {a_ii_linalg_061103_ha_16}
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket!
a)
2x-5y=7
x+3y=9
3x-2y=16
},
b)
x+2y=8
2x-y=7
x-3y=3
}.
Feladat: 4.6. {a_ii_linalg_061103_ha_17}
A
k paraméter mely értékeire van a
egyenletrendszernek
a) megoldása?
b) egyértelmű
megoldása?
c) végtelen sok megoldása?
Feladat: 4.7. {a_ii_linalg_061103_ha_18}
Oldjuk meg az
a1
x+
b1
y=
c1
a2
x+
b2
y=
c2
}
|
általános kétismeretlenes egyenletrendszert! (Fejezzük ki az
x,
y ismeretleneket az
a1
,
a2
,
b1
,
b2
,
c1
,
c2
paraméterekkel!)
Feladat: 4.8. {a_ii_linalg_061103_ha_20}
Milyen
(x;y) számpárra teljesül a
3x
+
3y
=108
3x
-
3y
=54
}
|
egyenletrendszer?
Feladat: 4.9. {a_ii_linalg_061103_ha_21}
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket!
a)
2x+y=7
x=3,5-
y
2
y=7-2x
},
b)
2x-y=7
8x+6y=10
11x+7y=16
}.
Feladat: 4.10. {a_ii_linalg_061121_ha_05}
Adjunk meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az alábbi
pontokon:
a)
A(0;0;0), B(1;0;0), C(-1;0;2).
b)
A(0;0;0), B(1;0;1), C(0;1;0).
c)
A(1;1;1), B(1;2;3), C(4;1;-2).
Feladat: 4.11. {a_ii_linalg_061121_ha_01}
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket!
a)
2x+3y+z+5t=3;
2x+4y+3z+7t=7;
4x+5y+2z+8t=3;
-2x+9z=3.
}
b)
x+y+4z+2t=1;
-x+y-z-t=-1;
-2x+2y+2z-t=0;
2x+13z+5t=6.
}
c)
x+2y+2z+t=3;
x+4y+3z+t=4;
2x+2y+4z+3t=6;
4y+4z+2z=6.
}
d)
2x+y+3z+5t=1;
-2x-z-3t=0;
4x+5y+18z+16t=5;
2x+3y+11z+9t=3.
}
e)
2x+10y-2z+t=2;
x-y-z-2t=1;
-x+11y+z+7t=-1;
x+y-z-t=1.
}
f)
2x-y+z+3t=8;
x+2y+3z-t=-1;
3x-y-z-t=-1;
5x+y-2z+t=12.
}
Feladat: 4.12. {a_ii_linalg_061121_ha_01kieg}
A
4.11. feladat négyismeretlenes
lineáris egyenletrendszer megoldásából áll. Keressük ki azokat az
egyenletrendszereket, ahol a négy egyenlet nem volt független
egymástól, némelyik következett a többiből. Válasszunk ki ezekben
a részfeladatokbnan minél kevesebb olyan egyenletet, amelyek
egymásból nem következnek, ,,függetlenek", de az összes többi
egyenlet már levezethető belőlük. Adjuk is meg, hogyan áll elő az
összes többi egyenlet ezek lineáris kombinációjaként!
Feladat: 4.13. {a_ii_linalg_061220_ha_komb_01}
Az alábbi két egyenletrendszer közül az egyikben az egyenletek nem
függetlenek. Válasszuk ki ezt az egyenletrendszert és fejezzük ki
az egyik egyenletet a többi lineáris kombinációjaként!
a)
2x+6y+10z=11;
4x+15y+24z=25;
2x+9y+16z=15.
}
b)
3x+y+8z=11;
9x+7y+26z=38;
6x+18y+24z=42.
}
Feladat: 4.14. {a_ii_linalg_061220_ha_komb_01b}
Az alábbi két egyenletrendszer közül az egyikben az egyenletek nem
függetlenek. Válasszuk ki ezt az egyenletrendszert és fejezzük ki
az egyik egyenletet a többi lineáris kombinációjaként!
a)
3x+4y+7z=2;
2x+y+4z=1;
-x+7y+2z=1.
} b)
3x+4y+7z=2;
2x+y+4z=1;
-x+7y+z=1.
}
Feladat: 4.15. {a_ii_linalg_061220_ha_komb_02}
Az alábbi egyenletrendszer egyenletei nem függetlenek egymástól.
Adjuk meg az egyik egyenletet a többi lineáris kombinációjaként!
x+4y-6z+2t=-2;
5x-3y-z+7t=2;
3x-10y+2z+4t=6;
3x-y+10z+3t=0.
}
Feladat: 4.16. {a_ii_linalg_061121_ha_10}
Dr. Agy a munkahelyén felejtette a megoldandó háromismeretlenes
lineáris egyenletrendszerét, de két megoldásra emlékezett:
x1
=1,
y1
=1,
z1
=1;
x2
=1,
y2
=2,
z2
=3.
a) Vajon van-e még megoldása az egyenletrendszernek?
b) Adjunk meg ilyen egyenletrendszert!
Feladat: 4.17. {a_ii_linalg_061121_ha_10hom}
Dr. Agy a munkahelyén felejtette a megoldandó háromismeretlenes
lineáris egyenletrendszerét. Arra emlékezett, hogy ilyen alakú
volt:
a11
x1
+
a12
x2
+
a13
x3
=0;
a21
x1
+
a22
x2
+
a23
x3
=0;
a31
x1
+
a32
x2
+
a33
x3
=0,
}
|
és még a munkahelyén megtalálta az alábbi megoldást:
Van-e még megoldása az
egyenletrendszernek? Hány megoldása van?
Feladat: 4.18. {a_ii_linalg_061126_ha_11}
a) Az alábbi egyenletek közül melyikre igaz az, hogy ha
egy
(x;y;z) számhármas kielégíti, akkor annak
λ-szorosa (
λ tetszőleges valós szám), a
(λx;λy;λz) számhármas is kielégíti?
I.)
x3
y-2
x2
y2
+11
y3
z-3
y4
=0;
II.)
x3
-2
x2
y2
+11
y3
z-3
y4
=0;
III.)
2x-11y+3z=0;
IV.)
2x-11y+3z=5.
b) A fenti egyenletek közül melyikre igaz az, hogy ha az
(
x1
;
y1
;
z1
) és a
(
x2
;
y2
;
z2
) számhármas is kielégíti,
akkor a
(
x1
+
x2
;
y1
+
y2
;
z1
+
z2
) számhármas is kielégíti?
Feladat: 4.19. {a_ii_linalg_061121_ha_12}
Alább egy homogén (a szabad tagok értéke zérus) és egy inhomogén
(nem minden szabad tag értéke zérus) lineáris egyenletrendszert
látunk, és azok egy-egy megoldását.
a11
x1
+
a12
x2
+
a13
x3
=0;
a21
x1
+
a22
x2
+
a23
x3
=0;
a31
x1
+
a32
x2
+
a33
x3
=0,
} |
a11
x1
+
a12
x2
+
a13
x3
=
b1
;
a21
x1
+
a22
x2
+
a23
x3
=
b2
;
a31
x1
+
a32
x2
+
a33
x3
=
b3
,
} |
x1
=1,
x2
=4,
x3
=3 |
x1
=2,
x2
=2,
x3
=-1
|
Próbáljuk meg megadni mindkét egyenletnek minél több további
megoldását!
Vektorok
Feladat: 4.20. {a_ii_linalg_061103_ha_04}
Írjuk fel a
w
‾
(11;7) vektort az
u
‾
(2;-1),
v
‾
(1;2) vektorok lineáris kombinációjaként,
azaz keressük meg azokat az
α,
β számokat, amelyekre
w
‾
=α
u
‾
+β
v
‾
.
a) Ábrázoljuk négyzethálós papíron a vektorokat! Oldjuk
meg a feladatot geometriával!
b) Oldjuk meg a feladatot tisztán számolás útján!
Feladat: 4.21. {a_ii_linalg_061119_ha_01}
Állítsuk elő az
u
‾
vektort az
a
‾
,
b
‾
vektorok lineáris kombinációjaként:
a)
u
‾
(4;3),
a
‾
(2;0),
b
‾
(0;6).
b)
u
‾
(4;9),
a
‾
(-2;1),
b
‾
(5;3).
c)
u
‾
(6;11),
a
‾
(-6;10),
b
‾
(9;-15).
Feladat: 4.22. {a_ii_linalg_061119_ha_02}
Állítsuk elő az
u
‾
vektort az
a
‾
(2;1),
b
‾
(3;-2) vektorok lineáris kombinációjaként:
a)
u
‾
(14;0);
b)
u
‾
(1;0);
c)
u
‾
(0;1);
d)
u
‾
(3;2);
e)
u
‾
(-4;13);
e)
u
‾
(
u1
;
u2
).
Feladat: 4.23. {a_ii_linalg_061128_ha_01}
Határozzuk meg az
u
‾
(
u1
;
u2
),
v
‾
(
v1
;
v2
) helyvektorok által közrefogott háromszög (ennek csúcsai
tehát az origó és az
U(
u1
;
u2
),
V(
v1
;
v2
) pontok)
területét!
Feladat: 4.24. {a_ii_linalg_061103_ha_10}
Adott az
n
‾
(2;2) vektor. Keressünk néhány példát
olyan
P
‾
vektorra, majd határozzuk meg azon
P
‾
helyvektorok végpontjának mértani helyét,
amelyekre
a)
n
‾
·
P
‾
=0;
b)
n
‾
·
P
‾
=4;
c)
n
‾
·
P
‾
=-1;
d)
n
‾
·
P
‾
=c, ahol
c
tetszőleges, de rögzített szám.
Feladat: 4.25. {a_ii_linalg_061103_ha_13}
Írjuk fel a
w
‾
(11;7) vektort az
u
‾
(2;-3),
v
‾
(4;6) vektorok lineáris
kombinációjaként, azaz keressük meg azokat az
α,
β
számokat, amelyekre
w
‾
=α
u
‾
+β
v
‾
.
a) Ábrázoljuk négyzethálós papíron a vektorokat! Oldjuk
meg a feladatot geometriával!
b) Oldjuk meg a feladatot tisztán számolás útján!
Feladat: 4.26. {a_ii_linalg_061103_ha_14}
Adott az
n
‾
(3;4) vektor. Keressünk
néhány példát olyan
P
‾
vektorra, majd határozzuk meg
azon
P
‾
helyvektorok végpontjának mértani helyét,
amelyekre
a)
n
‾
·
P
‾
=0;
b)
n
‾
·
P
‾
=4;
c)
n
‾
·
P
‾
=-1;
d)
n
‾
·
P
‾
=c, ahol
c
tetszőleges, de rögzített szám.
Feladat: 4.27. {a_ii_linalg_061103_ha_31}
a) A térben rögzített derékszögű koordinátarendszerben
adott az
u
‾
(1;2;-1) vektor. A tér mely pontjainak
helyvektora írható fel
α
u
‾
alakban, ahol
α valós szám?
b) Adott még az
v
‾
(3;-3;1) vektor is.
Milyen ponthalmazt alkotnak a térben azok a pontok, amelyek
helyvektora felírható
α
u
‾
+β
v
‾
alakban, ahol
α és
β valós számok?
Feladat: 4.28. {a_ii_linalg_061103_ha_31_02}
Szeretnénk felírni az
a)
a
‾
(15;-6;1) b)
b
‾
(2;-5;3)
vektort az
u
‾
(1;2;-1),
v
‾
(3;-3;1),
w
‾
(5;1;-1) vektorok lineáris kombinációjaként, azaz
α
u
‾
+β
v
‾
+γ
w
‾
alakban (
α,
β,
γ valós számok).
Hány megoldás van?
Feladat: 4.29. {a_ii_linalg_061103_ha_32}
Adott a térben az
n
‾
(1;1;1) vektor.
A
P0
pont helyvektora
P0
‾
(1;2;1). Keressünk
néhány példát olyan
P
‾
vektorra, majd határozzuk meg
azon
P
‾
helyvektorok végpontjának mértani helyét,
amelyekre
n
‾
·(
P
‾
-
P0
‾
)=0.
Feladat: 4.30. {a_ii_linalg_061119_ha_01ter}
Állítsuk elő az
u
‾
vektort az
a
‾
,
b
‾
,
c
‾
vektorok lineáris
kombinációjaként:
a)
u
‾
(4;3;2),
a
‾
(2;0;0),
b
‾
(0;6;0),
c
‾
(0;0;10).
b)
u
‾
(4;9;1),
a
‾
(-12;6;18),
b
‾
(8;-4;-12),
c
‾
(-18;9;27).
c)
u
‾
(4;9;1),
a
‾
(-12;6;18),
b
‾
(8;-4;-12),
c
‾
(-18;9;27).
d)
u
‾
(8;5;-18),
a
‾
(-1;2;3),
b
‾
(2;3;-4),
c
‾
(1;12;1).
e)
u
‾
(8;6;-18),
a
‾
(-1;2;3),
b
‾
(2;3;-4),
c
‾
(1;12;1).
Feladat: 4.31. {a_ii_linalg_061119_ha_01ter02}
Állítsuk elő az
u
‾
vektort az
a
‾
,
b
‾
,
c
‾
vektorok lineáris
kombinációjaként:
a)
u
‾
(1;6;10),
a
‾
(1;2;3),
b
‾
(2;2;-1),
c
‾
(3;4;1).
b)
u
‾
(1;0;0),
a
‾
(6;4;3),
b
‾
(5;-3;-2),
c
‾
(7;11;8).
c)
u
‾
(8;18;13),
a
‾
(-12;6;18),
b
‾
(8;-4;-12),
c
‾
(-18;9;27).
Feladat: 4.32. {a_ii_linalg_061119_ha_02ter}
Állítsuk elő az
u
‾
vektort az
a
‾
(2;1;1),
b
‾
(1;3;-2),
c
‾
(4;4;0) vektorok lineáris
kombinációjaként:
a)
u
‾
(2;1;0);
b)
u
‾
(1;0;0);
c)
u
‾
(0;1;0);
d)
u
‾
(0;0;1);
e)
u
‾
(-4;13;2);
e)
u
‾
(
u1
;
u2
;
u3
).
Feladat: 4.33. {a_ii_linalg_061121_ha_02}
a) Adjunk meg az
u
‾
(1;1;2),
v
‾
(2;3;-1) vektorokra merőleges vektort!
b) Adjuk meg az összes ilyen vektort!
Feladat: 4.34. {a_ii_linalg_061121_ha_03}
a) Adjunk meg az
u
‾
(
u1
;
u2
;
u3
),
v
‾
(
v1
;
v2
;
v3
) vektorokra merőleges vektort!
b) Az a) részre adott általános megoldás időnként a
0
‾
vektort adja. Mely
u
‾
,
v
‾
vektorok esetén következik ez be?
Feladat: 4.35. {a_ii_linalg_06128_ha_50}
Két sík normálvektorának szöge
α. Határozzuk meg a két sík
szögét!
Feladat: 4.36. {a_ii_linalg_06128_ha_51}
Egy
r hosszúságú vektornak a koordinátatengelyekkel bezárt szöge
α1
,
α2
és
α3
.
a) Határozzuk meg a vektor koordinátáit!
b) Milyen összefüggés áll fenn az
α1
,
α2
,
α3
értékek között?
Determinánsok
Feladat: 4.37. {a_ii_linalg_ha_061115_02}
Legyenek
a,
b,
c,
d olyan egész számok, amelyekre az
egyenletrendszernek
m,
n minden egész értéke esetén van egész
számokból álló megoldása. Mutassuk meg, hogy
|ad-bc|=1.
Feladat: 4.38. {a_ii_linalg_06128_ha_54}
Hogyan változik egy
2×2-es mátrix
determinánsának értéke, ha
a
1
) az egyik sort megszorozzuk egy
λ számmal?
a
2
) az egyik oszlopot megszorozzuk egy
λ
számmal?
b
1
) az egyik sorhoz hozzáadjuk egy másik sor
λ-szorosát?
b
2
) az egyik oszlophoz hozzáadjuk egy másik oszlop
λ-szorosát?
Feladat: 4.39. {a_ii_linalg_06128_ha_55}
Adott két vektor.
a) Hogyan változik az általuk kifeszített paralelogramma
területe, ha az egyik vektorhoz hozzáadjuk a másik vektor
λ-szorosát?
b) Hogyan változik a paralelogramma előjeles területe?
(Az előjeles terület pozitív, ha az első oldal félegyenesét a
második oldal félegyenesébe vivő
180∘
-nál kisebb
abszolútértékű forgatás pozitív szöggel történik.)
Feladat: 4.40. {a_ii_linalg_06128_ha_56}
Mutassuk meg, hogy az
(
a1
;
a2
),
(
b1
;
b2
)
vektorok által kifeszített paralelogramma előjeles területe
megegyezik a
determinánssal!
Feladat: 4.41. {a_ii_linalg_061220_ha_sikaterben_01}
Adjuk meg az
A(1;1;2),
B(7;-8;6),
C(19;4;-6) pontokon átmenő
sík egy normálvektorát!
Feladat: 4.42. {a_ii_linalg_061220_ha_sikaterben_02}
Harározzuk meg az
a és a
c paraméter értékét úgy, hogy az
n
‾
(1;1;2) vektor merőleges legyen az
A(2;a;c),
B(3;3;7),
C(c;-1;4) pontokon átmenő síkra!
Feladat: 4.43. {a_ii_linalg_06128_ha_57}
Adjuk meg egy olyan
a
‾
(
a1
;
a2
;
a3
),
b
‾
(
b1
;
b2
;
b3
) vektorokra merőleges vektornak a
koordinátáit, amelynek hossza megegyezik az
a
‾
,
b
‾
vektorok által kifeszíettt paralelogramma
területével!
Vegyes feladatok
Feladat: 4.44. {a_ii_linalg_061103_ha_11}
Mutassuk meg, hogy bármely értéket is adunk
m-nek az
mx+3y-4m+1=0 egyenletű egyenesek ugyanazon meghatározott ponton
mennek át.
Feladat: 4.45. {a_ii_linalg_061103_ha_12}[
70]
Pista vásárolt egy körzőt egy ceruzát és egy radírt. Ha egy körző
az ötödébe, egy ceruza a felébe és egy radír a kétötödébe kerülne,
akkor 96 Ft-ot, ha egy körző a felébe, egy ceruza a negyedébe és
egy radír a harmadába kerülne, akkor 144 Ft-ot fizetett volna.
Mennyit fizetett? A körző vagy a ceruza a drágább?
Feladat: 4.46. {a_ii_linalg_061220_ha_alt22szov_01}[
70]
Kétféle cukorkából, amelyek közül az egyiknek kg-ja
a Ft, a
másik kg-ja
b Ft,
m kg keveréket készítünk. A keverék ára
kilogrammonként
c Ft. Hány kg kell a keverékhez a két fajtából?
Feladat: 4.47. {a_ii_linalg_061220_ha_alt22szov_02}[
70]
Kétféle alkoholunk van. Ha az első fajtából
a litert, a másikból
b litert összekeverünk, akkor
k%-os keveréket kapunk. Ha
viszont a második fajtából veszünk
a litert, és az elsőből
b
litert, akkor
t%-os lesz a keverék. Hány százalálos
töménységűek az összetevők?
Feladat: 4.48. {a_ii_linalg_061220_ha_param22_01}
Oldjuk meg és diszkutáljuk az
cy-3x=7-(c+2)(2y+x);
1-2x=7+(c+2)(1-y)
}
lineáris egyenletrendszert!
Feladat: 4.49. {a_ii_linalg_061220_ha_param22_02}
a) Oldjuk meg az
2x+by=1;
-2x+4y=b(1-x)
}
lineáris egyenletrendszert!
A
b valós paraméter mely értéke esetén
b) nincs megoldás?
c) van végtelen sok megoldás?
Feladat: 4.50. {a_ii_linalg_061220_ha_param22_03}
a) Oldjuk meg az
2ax-4y=10;
3x+ay=5(1+y)
}
lineáris egyenletrendszert!
Az
a valós paraméter mely értéke esetén
b) nincs megoldás?
c) van végtelen sok megoldás?
Feladat: 4.51. {a_ii_linalg_061220_ha_param22_05}
A
d valós paraméter mely értéke esetén
a) nincs megoldása
b) van végtelen sok megoldása a
3x+(1-d)y=d-2;
dx-4y=5
}
lineáris egyenletrendszernek?
c) A további esetekben adjuk meg az egyértelmű megoldást!
Feladat: 4.52. {a_ii_linalg_061103_ha_22}
A
k paraméter mely értékeire van a
egyenletrendszernek
a) megoldása?
b) egyértelmű megoldása?
c) végtelen sok megoldása?
Feladat: 4.53. {a_ii_linalg_061103_ha_33}
Az
ABC derékszögű háromszögben az
AC befogó hossza 3 egység,
míg a
BC befogóé 4 egység volt. Az
A pontot elmozdítottuk a
BC egyenessel párhuzamosan. Ezután a
B pontot mozgattuk el az
(új)
AC egyenessel párhuzamosan, végül a
C helyzetét
változtattuk meg (új)
AB-vel párhuzamosan. Így olyan
háromszöghöz jutottunk, amelyben
B-nél lett derékszög, az
AB
szakasz hossza pedig 1 egységnyi lett. Milyen hosszú lett a
BC
szakasz?
Feladat: 4.54. {a_ii_linalg_061103_ha_35}
A
k paraméter mely értékeire van az
x+y=k
x-y=5
}
egyenletrendszernek pozitív
x és pozitív
y megoldása?
Feladat: 4.55. {a_ii_linalg_ha_061115_01}
A Descartes koordinátarendszerben melyek azok a vektorpárok,
amelyek által kifeszített rács megegyezik a négyzetráccsal?
Válasszuk ki az alábbiak közül a megfelelőeket!
a)
a
‾
(2;1),
b
‾
(1;0);
b)
a
‾
(3;2),
b
‾
(1;0);
c)
a
‾
(2;1),
b
‾
(3;2);
d)
a
‾
(3;5),
b
‾
(8;12);
e)
a
‾
(3;5),
b
‾
(8;13);
Feladat: 4.56. {a_ii_linalg_06128_ha_52}
Egy háromszög síkjának a térbeli Descartes
koordinátarendszer koordinátasíkjaival bezárt szöge
β1
,
β2
és
β3
. Határozzuk meg a háromszög
koordinátasíkokra vonatkozó vetületeinek területét!
Feladat: 4.57. {a_ii_linalg_06128_ha_53}
Egy háromszögnek a térbeli Descartes
koordinátarendszer koordinátasíkjaira vonatkozó merőleges
vetületeinek területe
T1
,
T2
és
T3
. Határozzuk meg a
háromszög területét!
Feladat: 4.58. {a_ii_linalg_061121_ha_04}
Adjunk meg olyan
f másodfokú függvényt, amelyre
a)
f(1)=1,
f(2)=5,
f(3)=11;
b)
f(1)=8,
f(2)=5,
f(3)=-2;
Feladat: 4.59. {a_ii_linalg_061121_ha_pol_05}
Adjunk meg az összes olyan
h harmadfokú függvényt, amelyre
a)
h(-1)=h(0)=h(1)=1;
b)
h(-1)=1
h(0)=1
h(1)=3.
Feladat: 4.60. {a_ii_linalg_061121_ha_pol_07b}
Adjunk meg az összes olyan
h harmadfokú függvényt, amelyre
h(-1)=h(0)=h(1)=1 és
h(2)=7.
Feladat: 4.61. {a_ii_linalg_061220_ha_pol_06}
Alább egy
g harmadfokú polinom hiányos értéktáblázata látható.
Pótold a hiányt!
Feladat: 4.62. {a_ii_linalg_061121_ha_pol_06}
a) Írjuk fel azt a összes olyan
h harmadfokú függvényt,
amelyre
h(-1)=12,
h(0)=2,
h(1)=2,
h(2)=0.
b) Írjuk fel paraméteresen azt a harmadfokú függvényt,
amely a
(-1),
0,
1,
2 helyeken megadott értékeket vesz
fel.
Feladat: 4.63. {a_ii_linalg_061121_ha_04kieg}
A tanár holnap villámversennyel kezdi az órát. Megadja egy
f
másodfokú függvény értékét az
1,
2,
3 helyeken, azaz közli
az
f(1),
f(2),
f(3) értékeket. Az nyeri a versenyt, aki
leghamarabb megadja az
f másodfokú függvény konkrét alakját.
Készüljünk fel a versenyre!
Feladat: 4.64. {a_ii_linalg_061121_ha_pol_07}
a) Írjunk fel olyan
p polinomot, amelynek 0-ban,
kétszeres gyöke van és
p(-2)=12,
p(-1)=-2,
p(2)=28.
b) Írjunk fel olyan
q polinomot, amelynek 1-ben,
kétszeres gyöke van és
q(-1)=-12,
q(0)=1,
q(2)=3.
Feladat: 4.65. {a_ii_linalg_061128_ha_traf_01}
Adjuk meg a
P(x;y) pont képének koordinátáit az origó körüli
a)
180∘
-os
b)
90∘
-os
c)
α szögű
elforgatásnál.
Feladat: 4.66. {a_ii_linalg_061128_ha_traf_02}
Adjuk meg annak a transzformációnak minél több tulajdonságát,
amely a síkbeli Descartes koordinátarendszerben az
{eq:linalg_061128_ha_traf_02}(x;y)→(x+y;x-y)
|
| (1) |
képlettel adható
meg! Próbáljuk meg megadni ezt a transzformációt az ismert
transzformációk kompozíciójaként.
Feladat: 4.67. {a_ii_linalg_061128_ha_traf_03}
a) A síkbeli Descartes koordinátarendszer origóját is
tartalmazó
t egyenes
30∘
-os szöget zár be az
x-tengellyel és részben a pozitív síknegyedben halad. Határozzuk
a
P(x;y) pont
t tengelyre vonatkozó tükörképének koordinátáit!
b) Adjuk meg az
x-tengely origó körüli
α szöggel
való elforgatottjára vonatkozó tengelyes tükrözés képletét!
Feladat: 4.68. {a_ii_linalg_061128_ha_traf_04}
Határozzuk meg a
P(1;-2;3) pontnak az origót az
A(1;1;1)
ponttal összekötő egyenes körüli
±
120∘
-os szöggel való
elforgatottjait!
Feladat: 4.69. {a_ii_linalg_061128_ha_traf_05}
Adott egy szabályos háromszög és a síkon a
PQ szakasz. A
szabályos háromszög oldalegyeneseire merőlegesen vetítjük a
PQ
→
vektort, a vetületek
v
‾
1
,
v
‾
2
,
v
‾
3
. Mutassuk meg, hogy
v
‾
1
+
v
‾
2
+
v
‾
3
=
3
2
PQ
→
.
|
Keressünk értelmes általánosítást!
Feladat: 4.70. {a_ii_linalg_061128_ha_traf_06}
Adott egy szabályos tetraéder és a térben a
PQ szakasz. A
tetraéder lapsíkjaira merőlegesen vetítjük a
PQ
→
vektort, a vetületek
v
‾
1
,
v
‾
2
,
v
‾
3
,
v
‾
4
. Igaz-e, hogy a
v
‾
1
+
v
‾
2
+
v
‾
3
+
v
‾
4
|
vektorösszeg a
PQ
→
számszorosa? Ha igaz, akkor
hányszorosa?
Feladat: 4.71. {a_ii_linalg_061220_ha_det_01}[
70]
Határozzuk meg az összes olyan
(a,b,c) számhármast, amelyre a
következő egyenletrendszernek van az
x=y=z=0 esettől különböző
megoldása:
ax+by+cz=0;
bx+cy+az=0;
cx+ay+bz=0.
}
|
Feladat: 4.72. {a_ii_linalg_061220_ha_polter_01}
a) Adjunk meg négy olyan legfeljebb negyedfokú
h
polinomot, amelyre
{eq:polter061218_ha}h(1)=h'(1)=0.
|
| (1) |
b) Mutassuk meg, hogy az (
1)
feltételnek megfelelő legfeljebb negyedfokú valós együtthatós
polinomok valós számtest fölött lineáris teret alkotnak!
c) Hány dimenziós ez a tér?
Feladat: 4.73. {a_ii_linalg_061220_ha_polter_02}
a) Adjuk meg az összes olyan
p(x) legfeljebb harmadfokú
polinomot, amelyre
p(-1)=p(0)=p(2)=3.
b) Az előbb megadott polinomok közül melyikre lesz
p'(0)=6?
Feladat: 4.74. {a_ii_linalg_061220_ha_altelm_01}
Adjunk meg négy ismeretlennel négy lineáris egyenletet úgy, hogy a
négy közül bármelyik két egyenletből álló egyenletrendszernek
ugyanaz legyen a megoldáshalmaza, de ez ne egyezzen meg egyik
egyenlet megoldáshalmazával sem!
Feladat: 4.75. {a_ii_linalg_061220_ha_bin_01}
Adott egy
a)
2×2-es,
b)
2×3-as
kapcsolótábla. Mindegyik mező egyszerre lámpa, és egyszerre
kapcsoló. Kapcsolóként mindegyik mező váltja a saját, és az élben
szomszédos mezők lámpáját. Melyik táblán van olyan mező, amely
kapcsolóként felesleges?
Feladat: 4.76. {a_ii_linalg_061220_ha_altelm_02}
a) Adjunk meg négy olyan sorozatot, amely teljesíti az
{eq:reklinter_9_2_ha_061208}
gn+2
=9·
gn
+2·
gn+1
|
| (1) |
rekurzív formulát!
b) Mutassuk meg, hogy az
(
1) képletnek megfelelő valós
számokból álló sorozatok a valós számtest fölött lineáris teret
alkotnak!
c) Hány dimenziós ez a tér?
Feladat: 4.77. {komal_407fel_1928_12_102o}[
115]
Válasszuk az
OPQR paralelogramma
O csúcsát egy derékszögű
koordinátarendszer origójának. E rendszerre nézve legyen
a
PQ egyenes egyenlete:
u1
x+
v1
y=1;
a
QR egyenes egyenlete:
u2
x+
v2
y=1.
Fejezzük ki a paralelogramma területét az
u1
,
u2
,
v1
,
v2
paraméterek függvényeként!