24. FEJEZET: Függvénykapcsolatok{mchap:f_i_fvkapcs}
Feladat: 24.1. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_22}
A gyerekek súlyát az életkor függvényében az
s(x)=
67,5
x2
+4,5
x2
+8x+1
(kg) közelítő képlet írja le, ahol
x az életkor években. Mi lehet a függvény értelmezési tartománya?
Feladat: 24.2. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_23}
A
H halmazban lévő
20 szám átlaga
18,2. Hogyan változik a számok átlaga, ha egy további
x számot hozzáveszünk a halmazhoz? Ábrázoljuk
x függvényében a számok átlagát!
Feladat: 24.3. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_24}
Két város távolsága 1200 km. A pihenők számától és hosszától függően egy autó legkevesebb 40 km/h és legfeljebb 100 km/h átlagsebességgel teheti meg az utat.
a) Milyen kapcsolat van az út megtételéhez szükséges idő és az átlagos sebesség között?
b) Ábrázoljuk az út megtételéhez szükséges időt az átlagsebesség függvényében!
Feladat: 24.4. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_25}
Az úszómedencét két befolyó csövön keresztül tölthetjük meg vízzel. Az első csövön keresztül 6 óra, a második csövön keresztül 8 óra alatt telik meg a medence.
a) Határozzuk meg, hogyan függ az egyes esetekben a medencében levő víz magassága a töltési időtől! (A medencében általában 160 cm-es víz van.)
b) Határozzuk meg a vízmagasság - idő függvénykapcsolatot, ha mindkét csövet kinyitjuk! Mennyi idő alatt telik meg a medence?
c) Ábrázoljuk az egyes esetekben a vízmagasság - idő függvényt! Egyenes arányosságot kaptunk?
Feladat: 24.5. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_26}
Egy 12 cm magas gyertya 6 óra alatt, egy 9 cm-es gyertya 9 óra alatt ég el. Egyszerre meggyújtjuk mindkét gyertyát, amelyek ezután egyenletesen égnek (fogyásuk egyenletes).
a) Ábrázoljuk a gyertyák magasságát az eltelt idő függvényében!
b) Meggyújtásuk után hány perccel lesz kétszer akkora az egyik gyertya, mint a másik?
c) Adjunk választ az előző feladatokra abban az esetben is, ha az első gyertyát 2 órával a második után gyújtjuk meg!
d) Az azonos anyagú gyertyák egységnyi hosszának égési ideje közelítőleg egyenesen arányos a keresztmetszetükkel. Mekkora a két gyertya keresztmetszetének aránya?
Feladat: 24.6. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_27}
A szilvának
v=
4
5
része víz, az aszalt szilvának már csak
w=
2
5
része.
100 kg aszalt szilvát készítünk.
a) Hány kilogramm nyers szilvát használunk fel ehhez?
b) Hogyan függ a felhasználandó nyers szilva mennyisége
v-től?
c) Hogyan függ a felhasználandó nyers szilva mennyisége
w-től?
Feladat: 24.7. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_28}
p=10%-os árleszállítás után egy könyv eladásán
h=8% a haszon. A könyv
x árától függően határozzuk meg, hogy
a) hány százalékos a könyvesbolt haszna árleszállítás előtt;
b) hogyan függ a könyv önköltsége
p-től és
h-tól; valamint, hogy
c) hogyan függ
p-től és
h-tól a haszon?
Feladat: 24.8. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_29}
Egy pontszerű test kezdetben a koordinátarendszer
(a;0) pontjában van. Ezután a test
v (egyenletes) sebességgel halad az
x tengely pozitív irányába. Mekkora a test távolsága
t idő múlva
a) az origótól;
b) a
(12;0) ponttól;
c) a
(b;0) ponttól?
Feladat: 24.9. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_30}
Két pontszerű test egyenletes sebességgel halad a koordinátarendszer
x tengelyén. Kezdeti helyzetük
(a;0), illetve
(b;0); sebességük
v, illetve
w. Mekkora a testek távolsága
t idő múlva, ha
a) mindkét test az
x tengely pozitív irányába halad;
b) mindkét test az
x tengely negatív irányába halad;
c) a testek ellentétes irányban haladnak?
Feladat: 24.10. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_31}
a) Egy útkereszteződésből egyszerre, két különböző irányban induló, egyenletes sebességgel haladó autók távolsága egy óra elteltével 20 km. Mekkora az autók távolsága 2, 3, 4, ... ,
t óra elteltével?
b) A kiindulási helyzetet annyiban változtatjuk meg, hogy az egyik autó sebességét a kétszeresre növeljük, s így az autók távolsága egy óra elteltével 30 km lett. Mekkora az autók távolsága 2, 3, 4, ... ,
t óra elteltével?
Feladat: 24.11. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_32}
50 km/h sebességgel haladó személygépkocsi fél perc alatt 120 km/h sebességre gyorsul fel. Mekkora utat tesz meg ez alatt az idő alatt? Ábrázoljuk a jármű mozgását az út-idő grafikonon! (A gyorsulás egyenletes.)
Feladat: 24.12. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_33}
A föld felszínéről kilőtt lövedék levegőben megtett röppályáját a
h(x)=x-0,1
x2
függvény grafikonja írja le. (A függvény a felszíntől mért magasságot adja meg a vízszintes elmozdulás függvényében.)
a) Mi függvény értelmezési tartománya?
b) Mekkora a lőtávolság?
c) Mekkora a lövedék által elért legnagyobb magasság?
d) Ábrázoljuk a függvényt!
Feladat: 24.13. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_34}
Egy autó gyorsulása útjának első 10 másodpercében
a1
=2
m/s
2
, majd a következő 10 másodpercben
a2
=4
m/s
2
volt.
a) Mekkora utat tett meg ez alatt az autó?
b) Ábrázoljuk a jármű mozgását az út-idő grafikonon!
c) Mekkora volt az autó átlagos gyorsulása?
d) Oldjuk meg az a) - c) feladatot akkor is, ha az autó 100 méteres útszakaszon haladt
a1
=2
m/s
2
, majd a következő 100 méteren
a2
=4
m/s
2
gyorsulással!
Feladat: 24.14. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_35}
Két egyenletes sebességgel haladó autó mozgását modellezzük. A modell alapján az első autó a koordinátarendszer
(0;0) pontjából indul, az
x tengely pozitív irányába halad, és percenként 3 egységnyi utat tesz meg. A másik autó a
(0;12) pontból indul, az
y=
4
3
x+12 egyenletű egyenesen halad (távolodva az
x tengelytől), és percenként 5 egységnyi utat tesz meg. Mekkora a két autó távolsága
t perc múlva?
Feladat: 24.15. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_36}
Pattogó labda földfelszíntől mért magasságát vizsgáljuk az idő függvényében. Egy modellben a labda minden ütközésnél sebessége 20 %-át elveszti. (A közegellenállástól eltekintünk,
g≈10
m/s
2
gyorsulással számolunk, és az ütközések időtartamát nagyon rövidnek tételezzük fel (elhanyagoljuk)).
a) Ábrázoljuk a magasság-idő grafikonon a labda mozgását! (A labda kezdeti ejtési magassága 1 méter.)
b) Hányat pattan a labda? (A labda a földről már nem emelkedik fel, ha középpontja kevesebb, mint 5 cm-re van a felszíntől.)
Feladat: 24.16. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_37}
Egy adatbankban
N adat rendezéséhez szükséges idő az (1) és (2) eljárásban az alábbi:
(1)
t=0,0001
N3
+0,0002N;
(2)
t=0,002
N2
+0,004N.
Nagy
N értékekre a (2) eljárás a gyorsabb. Mely
N≤2 értékekre gyorsabb az (1) módszer?
Feladat: 24.17. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_38}
Egy
10
cm
×10
cm
méretű négyzet alakú kartonlap sarkaiból egybevágó négyzeteket vágunk le, s a papírból felül nyitott dobozt készítünk; jelöljük
x-szel a levágott négyzetek cm-ben mért oldalának hosszát.
a) Határozzuk meg a doboz térfogatát
x függvényében!
b) Ábrázoljuk az így kapott függvényt!
c) Mi a függvény értelmezési tartománya és értékkészlete?
d) Mekkorának válasszuk
x-et, hogy a doboz térfogata
62
cm
3
legyen?
e) Oldjuk meg az a) - d) feladatokat akkor is, ha a kartonlap kezdetben
10
cm
×20
cm
méretű téglalap alakú!
Feladat: 24.18. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_39}
Egy négyzet oldala 20 cm. Mennyivel csökkentsük az egyik oldalt, és növeljük ugyanannyival a vele szomszédos másik oldalt, hogy az így kapott téglalap területe
a)
360
cm
3
;
b)
420
cm
3
legyen?
c) Hogyan függ a keletkezett téglalap kerülete és területe a változtatás
x nagyságától?
d) Oldjuk meg az a) - c) feladatokat akkor is, ha az egyik oldalt
x cm-rel csökkentjük, a vele szomszédos másik oldalt pedig
2x cm-rel növeljük. Hogyan függ ekkor
x-től a keletkezett téglalap kerülete és területe? Ábrázoljuk az így kapott függvényeket, s határozzuk meg az értékkészletüket!
Feladat: 24.19. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_40}
Egy téglalapot az
1. ábra szerint öt egybevágó részre osztottunk.
1. ábra{fig:f_i_fvkapcs_ogy_071101_40fel}
a) Adjuk meg a téglalap
k kerületét
x függvényeként, ha területe
1200
m
2
! Ábrázoljuk az így kapott függvényt, s határozzuk meg értékkészletét!
b) Adjuk meg a téglalap
t területét
y függvényeként, ha kerülete 1200 m! Ábrázoljuk az így kapott függvényt is, s határozzuk meg értékkészletét!
Feladat: 24.20. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_41}
A folyóparton 120 m hosszú kerítéssel téglalap alakú területet kerítünk be három oldalról (a negyedik oldal a folyópart). A téglalap parttal párhuzamos oldalának hosszát jelöljük
a-val, a partra merőleges oldalak hosszúságát
b-vel!
a) Adjuk meg a területet nagyságát
a, illetve
b függvényében!
b) Hogyan válasszuk meg az
a,
b oldalak hosszúságát, hogy a bekerített terület a lehető legnagyobb legyen?
Feladat: 24.21. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_42}
Az
ABCD négyzet oldala 20 cm hosszúságú. Egy
P pont az
1. ábra szerinti
AC egyenesen
A-tól és
C-től távolodva mozog
v sebességgel úgy, hogy kezdetben a
C pontban van.
1. ábra{fig:f_i_fvkapcs_ogy_071101_42fel}
Határozzuk meg az
ABP háromszög kerületét és területét
a) az eltelt idő függvényében;
b) a
P pontnak az
AD egyenestől mért távolsága függvényében!
Feladat: 24.22. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_43}
Oldjuk meg a
24.21. feladathoz hasonló példát:
BAC∠=
60∘
,
AB=20 cm, és a
P pont az
AC egyenesen
A-tól és
C-től távolodva mozog
v sebességgel úgy, hogy kezdetben a
C pontban van. Határozzuk meg az
ABP háromszög kerületét és területét
a) az eltelt idő függvényében;
b) a
P pontnak az
AB egyenestől való távolsága függvényében!
Feladat: 24.23. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_44}
Két autó mozgását a derékszögű koordinátarendszerben modellezhetjük. Ebben a modellben az
A,
B és
C városok koordinátái
A(-7;2),
B(2;-9) és
C(8;9). A
t=0 időpillanatban elindul
A-ból egy autó, melynek sebességvektora
(2;1). A
t=2 időpillanatban elindul egy másik autó
B-ből
C felé
40 egységnyi sebességgel. Határozzuk meg, hogy mely pontokban lesznek az autók
a)
t=11 időegység múlva;
b) akkor, amikor legközelebb kerülnek egymáshoz!
Feladat: 24.24. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_45}
A 40 cm hosszú
AB szakasz fölé rajzoljunk az
1. ábra szerint két szabályos háromszöget.
1. ábra{fig:f_i_fvkapcs_ogy_071101_45fel}
Hogyan függ a két háromszög területének összege az első háromszög oldalának a hosszától? Hogyan válasszuk meg a háromszögek oldalainak hosszát, hogy területük összege
a) minimális;
b) maximális
legyen?
Feladat: 24.25. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_46}
Oldjuk meg az előző feladatot, ha a szabályos háromszögek helyett
a) két négyzetet;
b) két félkört
írunk a szakaszok fölé!
Feladat: 24.26. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_47}
Egy madár a föld felett
h1
magasságban állandó nagyságú és vízszintes irányú
c sebességgel repül egy - a földhöz viszonyítva -
h2
magasságban lévő lámpa alatt.
a) Mekkora
v sebességgel mozog a madár árnyéka a földön?
b) Ábrázoljuk a
v sebességet
c; majd
h1
; végül
h2
függvényében!
Feladat: 24.27. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_48}
Egyenlő szárú háromszög szárainak hossza 10 cm. Jelöljük a (változó) alap hosszát
a-val, a hozzá tartozó magasságot
m-mel, a szárak által bezárt szöget
α-val, s fejezzük ki az
s=a+m összeget
a)
a-val;
b)
m-mel;
c)
α-val!
d) Határozzuk meg az
s függvény értékkészletét! Milyen
a,
m,
α értékekre lesz
s a lehető legnagyobb?
Feladat: 24.28. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_49}
Határozzuk meg, hogyan függ a szabályos
n-szög kerülete és területe a körülírt kör
R sugarától az alábbi esetekben:
a)
n=3;
b)
n=4;
c)
n=6;
d)
n=8;
e)
n=12.
Feladat: 24.29. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_50}
O középpontú, egységnyi oldalú szabályos
n-szög kerületén állandó
v sebességgel mozog egy
P pont. Határozzuk meg az
OP távolság időfüggését, ha a
P pont a sokszög csúcsából indul, és
a)
n=3;
b)
n=4;
c)
n=6;
d)
n=8;
e)
n=12.
Feladat: 24.30. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_51}
Egy
ABCD biliárd játékasztal méretei:
AB=1,5 m,
BC=2,5 m. Az asztal közepén lévő golyót a hosszabbik
BC fal irányába lökjük
v=3 m/s sebességgel úgy, hogy ütközéskor a beesési szög
30∘
. Adjuk meg a golyó és a
BC fal távolságát az idő függvényében, ha a golyó
a) egyenletes sebességgel gurul (idealizált eset);
b)
a=0,1
m/s
2
egyenletes lassulással halad!
Feladat: 24.31. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_52}
Egy kockacukor mindegyik éle
a=1 cm hosszúságú. A kockacukrot
V=20
cm
3
térfogatú vízbe tesszük, melyet folyamatosan keverünk. Így másodpercenként
h=0,4 mm vastag réteg oldódik le a kockacukor mindegyik oldalfelületről. Hogyan függ az eltelt időtől
a) a megmaradt kocka térfogata;
b) az oldat százalékos cukortartalma?
Feladat: 24.32. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_53}
Az
ABCD téglalap oldalai
AB=a=16 cm és
BC=b=10 cm. Az
A és
B középpontú negyedkörívek a téglalap területét négy részre osztják (lásd az
1. ábrát).
1. ábra{fig:f_i_fvkapcs_ogy_071101_53fel}
a) Mekkora ezen részek területe?
b) A 3 csúcsú részekbe az ábra szerint egy-egy további, belső érintőkört rajzolunk (ezek tehát érintik az
AB, illetve
CD oldalakat, valamint a két negyedkörívet). Mekkora ezen érintőkörök
x és
y sugara?
c) Mekkora területű részekre osztják az érintőkörök a téglalap területét?
d) Ha a
BC=b oldalt rögzítjük, s az
AB=a oldalt változtatjuk (
b≤a), milyen
a/b arány esetén teljesül az
x=y egyenlőség?
Feladat: 24.33. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_54}
Az
x,
y valós számokhoz az
M(x;y)=
|x-y|+x+y
2
utasítással rendelünk értéket. Hogyan adhatjuk meg egyszerűbben ezt a kétváltozós függvényt?
Feladat: 24.34. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_55}
Az
a,
b pozitív számok összege 1.
a) Határozzuk meg, hogyan függ
b-től a két szám köbének a különbsége!
b) Mi az így kapott függvény értékkészlete?
Feladat: 24.35. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_56}
Az
f függvény bármely valós
x értékre
x-nek a
[0;2] intervallum legtávolabbi egész értékétől való távolságát veszi fel (
x a számegyenes tetszőleges pontja).
a) Ábrázoljuk és írjuk fel az
f függvényt képlettel!
b) Oldjuk meg a feladatot, ha a legtávolabbi egész érték helyett a legközelebbi (nem szükségképpen egész) értéktől való távolságot tekintjük!
Feladat: 24.36. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_57}
Bizonyítsuk be, hogy bármely
x valós számnak a legközelebbi egész számtól való távolsága
1
2
-|{x}-
1
2
| !
Feladat: 24.37. {f_i_fvkapcs_ogy_071101_58}
Tekintsük a
]0;1[ intervallumban lévő számokat és mindegyiknek a saját köbétől való eltérését! Ábrázoljuk az így kapott függvényt! Mely számnál kapjuk a legnagyobb eltérést?