20. FEJEZET: Tulajdonságok, műveletek{mchap:f_i_fvtulok}
Ahol külön nem jelezzük, ott a függvények értelmezési tartománya a valós számok lehető legbővebb részhalmaza.
Feladat: 20.1. {f_i_fvtulok_ogy_071031_01}
Határozzuk meg az alábbi kifejezések értelmezési tartományát!
a)
x+5;
b)
-23-x+4;
c)
x+5-23-x+4;
d)
x+5·|-23-x+4|;
e)
x+52
;
f)
x+5
-23-x+4
;
g)
-23-x+4.
Feladat: 20.2. {f_i_fvtulok_ogy_071031_02}
Adott három függvény:
f(x)=(x-3)(x-1)x, g(x)=(x-3)x(x+2), h(x)=(x-1)x(x+6).
|
Határozzuk meg az alábbi függvények zérushelyeit!
a)
f(x)+g(x);
b)
f(x)+g(x)+h(x);
c)
f(x)g(x)h(x);
d)
f(x)
g(x)
;
e)
f(x)g(x)
h(x)
;
f)
f(x)
g(x)h(x)
;
g)
f2
(x)+
g2
(x)+
h2
(x).
Feladat: 20.3. {f_i_fvtulok_ogy_071031_03}
Az
f és
g függvények értelmezési tartománya
Df
és
Dg
, zérushelyeik halmaza
Zf
és
Zg
. Mi az alábbi függvények értelmezési tartománya?
a)
c·f (
c∈R);
b)
f+g;
c)
f·g;
d)
1
f
;
e)
f
g
.
Feladat: 20.4. {f_i_fvtulok_ogy_071031_04}
Adottak az alábbi
f és
g függvények. Határozzuk meg az
u=f+g és
v=f·g függvényeket, s vázoljuk közös koordinátarendszerben az
f,
g,
u,
v függvények grafikonját!
a) |
f(x)=-2x+4, |
g(x)=x+1; |
b) |
f(x)=|x-3|, |
g(x)=|x-4|; |
c) |
f(x)=x-3, |
g(x)=x-3; |
d) |
f(x)=
x2
, |
g(x)=2x; |
e) |
f(x)=x, |
1
x
; |
f) |
f(x)=
x2
, |
1
x
;
|
Feladat: 20.5. {f_i_fvtulok_ogy_071031_05}
Adjuk meg az
x→-
x
2
+1 függvény olyan leszűkítését, amelynek az értékkészlete
a)
[0;10];
b)
]-20;30];
c) az egész számok halmaza;
d) a természetes számok halmaza;
e) a racionális számok halmaza.
Feladat: 20.6. {f_i_fvtulok_ogy_071031_06}
Adjuk meg a
x→-
x2
+9,
x∈[1;4] függvény egy olyan leszűkítését vagy kiterjesztését, amelynek az értékkészlete
a)
[-10;9[;
b)
[0;3];
c)
]-∞;-16].
Feladat: 20.7. {f_i_fvtulok_ogy_071031_07}
Magyarázzuk meg, mit jelentenek az alábbi fogalmak! (Az
f függvény az
]a;b[ intervallumon értelmezett.)
a) f monoton növekvő;
b) f szigorúan monoton csökkenő;
c) f nem monoton csökkenő.
Feladat: 20.8. {f_i_fvtulok_ogy_071031_08}
Melyik monoton növekvő, szigorúan monoton növekvő, monoton csökkenő és szigorúan monoton csökkenő az alábbi ábrán látható függvények közül?
1. ábra{fig:f_i_fvtulok_ogy_071031_08fel}
Feladat: 20.9. {f_i_fvtulok_ogy_071031_09}
Értelmezési tartományuk melyik részhalmazán monoton növekvők, illetve monoton csökkenők az alábbi függvények? Melyik korlátos alulról, illetve felülről?
a(x)=2x+4;
b(x)=|2x+4|
x∈[-3;5];
c(x)=
x2
+2x+3;
d(x)=2x-8;
e(x)=
2
x-3
;
f(x)=|
2x-1
x-1
|;
g(x)=[x+2].
Feladat: 20.10. {f_i_fvtulok_ogy_071031_10}
Legyen
f és
g szigorúan monoton növekvő függvény, értékkészletük a pozitív valós számok részhalmaza. Mit állíthatunk monotonitás szempontjából az alábbi függvényekről?
a)
f+g;
b)
2f;
c)
cf (
c∈
R+
);
d)
-f;
e)
fg;
f)
1
f
.
Szükséges-e a fenti esetek mindegyikében feltenni, hogy
f és
g értékkészlete a
pozitív valós számok halmaza?
Feladat: 20.11. {f_i_fvtulok_ogy_071031_11}
Oldjuk meg a
20.10 feladatot akkor is, ha
f és
g szigorúan monoton csökkenő!
Feladat: 20.12. {f_i_fvtulok_ogy_071031_12}
Adjunk meg olyan függvényt, amelyik szigorúan monoton nő, értékkészlete
H=]-∞;2], és értelmezési tartománya
a)
R;
b)
]-∞;10];
c)
]-10;10];
d) Oldjuk meg a feladatot - válaszoljunk az a)-c) esetek mindegyikére - akkor is, ha
H=]-2;6]!
Feladat: 20.13. {f_i_fvtulok_ogy_071031_14}
Az alábbiakban az
f és
g függvényeket rendezett párok segítségével adtuk meg. Mi a függvények inverze?
a)
f:(1,1),(2,4),(3,9);
b)
g:(a,3),(b,-2),(7,c).
Feladat: 20.14. {f_i_fvtulok_ogy_071031_15}
Melyik igaz és melyik hamis az alábbi állítások közül?
a) Ha egy függvény kölcsönösen egyértelmű, akkor van inverze.
b) Ha egy függvény invertálható, akkor kölcsönösen egyértelmű.
c) Ha egy függvény szigorúan monoton növekvő, akkor van inverze.
d) Ha egy függvény monoton csökkenő, akkor van inverze.
Feladat: 20.15. {f_i_fvtulok_ogy_071031_16}
Határozzuk meg az alábbi függvények inverzeit, majd ábrázoljuk a függvényeket és inverzüket ugyanabban a koordináta-rendszerben!
a(x)=x+5;
b(x)=2x-5;
c(x)=-2x+1;
d(x)=|x+5|
x∈[-3;5];
e(x)=
x2
-6x
ha
x≥3;
f(x)=2x-3;
g(x)=
5
x
ha
x≤-1;
Melyik függvény korlátos alulról, ill. felülről?
Feladat: 20.16. {f_i_fvtulok_ogy_071031_17}
Mely függvények grafikonja látható az
1. ábrán? Határozzuk meg az
a -
d függvények képletét, adjuk meg inverzüket és ábrázoljuk az inverzfüggvények grafikonját!
1. ábra{fig:f_i_fvtulok_ogy_071031_17fel}
Feladat: 20.17. {f_i_fvtulok_ogy_071031_18}
Adjunk meg néhány függvényt, melyek azonosak az inverzükkel! Mi jellemzi e függvények grafikonját?
Feladat: 20.18. {f_i_fvtulok_ogy_071031_19}
Az alábbi lineáris függvények közül melyik páros és melyik páratlan?
a(x)=0;
b(x)=5;
c(x)=2x;
d(x)=2x+1;
h(x)=5
x∈[-1;4];
i(x)=-x
x∈[-1;3].
Feladat: 20.19. {f_i_fvtulok_ogy_071031_20}
Az alábbi abszolútérték-függvények közül melyik páros és melyik páratlan?
a(x)=|x|;
b(x)=|x-3|;
c(x)=|x|-3;
d(x)=|2x|
x∈[-4;5].
Feladat: 20.20. {f_i_fvtulok_ogy_071031_21}
Az alábbi függvények közül melyik páros és melyik páratlan?
a(x)=
x2
;
b(x)=(x-3
)2
;
c(x)=2
x2
-3;
d(x)=
1
x
;
e(x)=-
3
x
+2;
f(x)=x;
g(x)=|x|-3;
h(x)=
x2
-4.
Feladat: 20.21. {f_i_fvtulok_ogy_071031_22}
Az alábbi függvények közül melyik páros és melyik páratlan?
a(x)=
x3
;
b(x)=x3;
c(x)=2
x6
-4
x4
+
x2
+1;
d(x)=-3
x7
+2
x5
-
x3
+4x-2;
e(x)=
1
x2
+1
-3;
f(x)=
1
x+1
-
1
x-1
.
Feladat: 20.22. {f_i_fvtulok_ogy_071031_23}
Az alábbi függvények közül melyik páros és melyik páratlan?
a(x)=|x-3|;
b(x)=|x|-3;
c(x)=
2
x2
-7
x2
+3
;
d(x)=
3|x|-4
|x|+2
.
Feladat: 20.23. {f_i_fvtulok_ogy_071031_24}
Az
a-
d függvények grafikonja az
1. ábrán látható. A négy függvény közül melyek párosak?
1. ábra{fig:f_i_fvtulok_ogy_071031_24fel}
Feladat: 20.24. {f_i_fvtulok_ogy_071031_25}
Az
a-
d függvények grafikonja az
1. ábrán látható. A négy függvény közül melyek páratlanok?
1. ábra{fig:f_i_fvtulok_ogy_071031_25fel}
Feladat: 20.25. {f_i_fvtulok_ogy_071031_26}
Melyik igaz és melyik hamis az alábbi állítások közül?
a) Ha egy
f páratlan függvény az
x=0 helyen értelmezett, akkor
f(0)=0.
b) Ha egy páros függvény görbéje szimmetrikus az
x tengelyre, akkor a függvény páratlan is.
c) Van olyan függvény, ami páros is és páratlan is.
d) Ha egy polinomfüggvényben csak páros kitevőjű tagok vannak, akkor a függvény páros.
e) Ha egy polinomfüggvényben csak páratlan kitevőjű tagok vannak, akkor a függvény páratlan.
f) Minden páros vagy páratlan függvény értelmezési tartománya szimmetrikus a
0-ra.
g) Van olyan páros és páratlan függvény is, amelyik értelmezési tartománya
R∖{0}.
h) Ha egy
f függvény értelmezési tartománya
Df
=R∖{1}, akkor a függvény nem lehet sem páros, sem páratlan.
Feladat: 20.26. {f_i_fvtulok_ogy_071031_27}
Legyen
f és
g páros függvény,
Df
=
Dg
.
A) Az alábbi függvények közül melyik páros és melyik páratlan?
a)
2f;
b)
-f;
c)
3f-2g;
d)
f·g;
e)
1
f
;
f)
f
g
;
B) Mit állíthatunk a fenti a) - f) függvényekről, ha
f páros és
g páratlan függvény?
C) Mit állíthatunk a fenti a) - f) függvényekről, ha
f és
g is páratlan függvény (és egyik sem az azonosan
0 függvény, ill. annak valamilyen leszűkítése)?
Feladat: 20.27. {f_i_fvtulok_ogy_071031_28}
Az
1. ábrán három lépésben ábrázoltuk az
f(x)=
1
x2
-4
függvényt. Mi az
a -
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra{fig:f_i_fvtulok_ogy_071031_28fel}
Feladat: 20.28. {f_i_fvtulok_ogy_071031_29}
A
20.27. feladatban látottakhoz hasonlóan ábrázoljuk lépésenként a következő függvényeket:
a(x)=
1
x2
-1
;
b(x)=
1
x2
-0,5
;
c(x)=
1
x2
;
d(x)=
1
x2
+0,1
;
e(x)=
1
x2
+1
;
f(x)=
1
x2
+4
.
Feladat: 20.29. {f_i_fvtulok_ogy_071031_30}
Az
1. ábrán három lépésben ábrázoltuk az
f(x)=
1
x2
-4
függvényt. Mi az
a -
c függvények hozzárendelési szabálya?
1. ábra{fig:f_i_fvtulok_ogy_071031_30fel}
Feladat: 20.30. {f_i_fvtulok_ogy_071031_31}
A
20.29. feladatban látottakhoz hasonlóan ábrázoljuk lépésenként a következő függvényeket:
a(x)=
x2
-1;
b(x)=
x2
;
c(x)=
x2
+0,5;
d(x)=
x2
+4;
e(x)=|
x2
-1|;
f(x)=|
x2
-4|.
Feladat: 20.31. {f_i_fvtulok_ogy_071031_32}
A
20.29-a
20.30. feladatokhoz hasonlóan ábrázoljuk lépésenként a következő függvényeket:
a(x)=1-
x2
;
b(x)=4-
x2
;
c(x)=9-
x2
;
d(x)=|4-
x2
|;
e(x)=|(x-3)(8-x)|.
Feladat: 20.32. {f_i_fvtulok_ogy_071031_33}
Van-e olyan
f:R→R elsőfokú polinomfüggvény, hogy minden
x-re
a)
f(x)+f(x+1)=2x+6;
b)
f(x+1)-f(x-1)=10;
c)
f(x+2)+f(x)=12x;
d)
f(2x)+f(x+1)=12x+4;?
Van-e megoldás akkor, ha
f:R→R tetszőleges függvény lehet (nem szükségképpen polinom)?
Feladat: 20.33. {f_i_fvtulok_ogy_071031_34}
Van-e olyan
f:R→R függvény, hogy minden
x-re
a)
f(x)-f(-x)=x+1;
b)
f(x)-f(-x)=
ax2
+c (
a,c∈R);
c)
f(x-1)-f(1-x)=x?
Feladat: 20.34. {f_i_fvtulok_ogy_071031_35}
Van-e olyan
f:R→R függvény, hogy minden
x-re
a)
2f(x)+3f(1-x)=6x-1;
b)
2f(x)+3f(2-x)=2x-7;
c)
f(x)+(x+1)f(1-x)=1;
d)
7f(x-1)+5f(-x)=12x-10;
e)
2f(x)-3f(
1
x
)=x+2?