2. FEJEZET: Geometriai transzformációk{mchap:f_i_geotraf}
Feladat: 2.1. {f_i_geotraf_ogy_071023_01}
Adott a
P(4;1) pont. Hajtsuk végre a
P ponttal az alábbi transzformációkat, s adjuk meg
P képének koordinátáit!
a) Tengelyes tükrözés az
x tengelyre;
b) tengelyes tükrözés az
y tengelyre;
c) középpontos tükrözés az origóra;
d) középpontos tükrözés a
Q(2;6) pontra.
Oldjuk meg a feladatot
P helyett az
R(-4;6) ponttal is!
Feladat: 2.2. {f_i_geotraf_ogy_071023_02}
Adott a
P(-5;2) pont. Hajtsuk végre a
P ponttal az alábbi transzformációkat, s adjuk meg
P képének koordinátáit!
a)
λ=2 arányú nagyítás az origóból;
b)
λ=
1
2
arányú kicsinyítés az origóból;
c)
λ=-3 arányú nagyítás az origóból;
d)
λ=2 arányú nagyítás a
C(-1;-2) pontból;
e)
λ=
1
2
arányú kicsinyítés a
C(-1;-2) pontból.
Oldjuk meg a feladatot
P helyett a
Q(4;6) ponttal is!
Feladat: 2.3. {f_i_geotraf_ogy_071023_03}
Adott a
P(8;-5) pont. Toljuk el
P-t a
a)
(3;0);
b)
(0;-2);
c)
(1;2);
d)
(-100;211)vektorral,
s adjuk meg
P képének koordinátáit!
Oldjuk meg a feladatot
P helyett a
Q(-4;6) ponttal is!
Feladat: 2.4. {f_i_geotraf_ogy_071023_04}
Adott a
P(10;-6) pont. Hajtsuk végre a
P ponton azt a merőleges affinitást, amelynek tengelye az
x tengely, aránya pedig
a)
λ=2
b)
λ=
1
2
c)
λ=-2.
Adjuk meg a
P pont képének koordinátáit!
Oldjuk meg a feladatot
P helyett a
Q(-4;6) ponttal is!
Feladat: 2.5. {f_i_geotraf_ogy_071023_05}
Alkalmazzunk olyan merőleges affinitást, amelynek tengelye az
y tengely, aránya pedig
a)
λ=2;
b)
λ=
1
2
;
c)
λ=-2.
Határozzuk meg a
P(10;-6) pont képét ezeknél a transzformációknál!
Oldjuk meg a feladatot
P helyett a
Q(4;6) ponttal is!
Feladat: 2.6. {f_i_geotraf_ogy_071023_06}
Adott a
P(-5;-2) pont. Vetítsük merőlegesen
P-t az
a)
x;
b)
y
tengelyre, s adjuk meg
P képének koordinátáit!
Oldjuk meg a feladatot
P helyett a
Q(4;6) ponttal is!
Feladat: 2.7. {f_i_geotraf_ogy_071023_07}
Adott a
P(5;2) pont. Forgassuk el
P-t az origó körül
a)
90∘
-kal;
b)
-
90∘
-kal;
c)
180∘
-kal
s adjuk meg
P képének koordinátáit!
Oldjuk meg a feladatot
P helyett a
Q(-4;6) ponttal is!
Feladat: 2.8. {f_i_geotraf_ogy_071023_08}
Adott a
P(5;2) pont. Forgassuk el
P-t a
O(10;6) pont körül
a)
90∘
-kal;
b)
-
90∘
-kal;
c)
180∘
-kal
s adjuk meg
P képének koordinátáit!
Oldjuk meg a feladatot
P helyett a
Q(-4;6) ponttal is!
Feladat: 2.9. {f_i_geotraf_ogy_071023_10}
Adott a
P(8;0) pont. Forgassuk el
P-t az origó körül
a)
60∘
-kal;
b)
120∘
-kal;
c)
-
60∘
-kal;
d)
-
45∘
-kal;
e)
135∘
-kal
s adjuk meg
P képének koordinátáit!
Oldjuk meg a feladatot
P helyett a
Q(0;12) ponttal is!
Feladat: 2.10. {f_i_geotraf_ogy_071023_12}
A derékszögű koordináta-rendszerben vegyük fel az
A(4;2) pontot. Az
A pont
y tengelyre vonatkozó tükörképe legyen
B, a
B pont
x tengelyre vonatkozó tükörképe pedig
C. Ezután változtassuk az
A pont helyzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el)!
a) Hogyan változik a
B pont két koordinátája?
b) Hogyan változik a
C pont két koordinátája?
c) Milyen sejtést fogalmazhatunk meg
C koordinátáinak a változása alapján?
d) Próbáljuk igazolni a sejtést!
Feladat: 2.11. {f_i_geotraf_ogy_071023_13}
A derékszögű koordináta-rendszerben vegyük fel az
A(-4;2) és
C(3;0) pontokat. Az
A pontot tükrözzük az origóra, így kapjuk a
B pontot; majd a
B-t tükrözzük
C-re, ekkor keletkezik a
D pont. Ezután változtassuk az
A pont helyzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el)!
a) Hogyan változik a
D pont két koordinátája?
b) Milyen sejtést fogalmazhatunk meg
D koordinátáinak a változása alapján?
c) Ezután változtassuk a
C pont helyzetét az x tengelyen. Hogyan változik a
D pont két koordinátája? Ez alapján milyen újabb sejtést fogalmazhatunk meg?
Feladat: 2.12. {f_i_geotraf_ogy_071023_14}
A derékszögű koordináta-rendszerben vegyük fel a
P(-3;5) pontot, és az ábra szerinti
a és
b egyeneseket. (Az
a egyenes merőleges az
y tengelyre, és átmegy az
A(0;2) ponton; a
b egyenes merőleges az
x tengelyre, és a
B(1;0) ponton halad át.) Az
a és
b egyenesek metszéspontja a
C pont. A
P pontot az
a egyenesre tükrözve kapjuk a
Q pontot; majd
Q-t tükrözve
b-re, keletkezik az
R pont. Ezután változtassuk a
P pont helyzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el)!
a) Határozzuk meg
Q és
R kezdeti koordinátáit! (Tehát amikor
P koordinátái
(-3;5).)
b) Hogyan változik
P mozgatásakor az
R pont két koordinátája?
c) Milyen sejtést fogalmazhatunk meg
R koordinátáinak a változása alapján?
d) Ezután változtassuk az
a egyenes helyzetét, például az
A pont mozgatásával az
x tengelyen. Hogyan változnak a
Q,
R pontok koordinátái?
e) Végül változtassuk a
b egyenes helyzetét, például a
B pont mozgatásával az
y tengelyen. Hogyan változnak ekkor a
Q,
R pontok koordinátái?
f) Fogalmazzunk meg sejtéseket a fenti mozgatások alapján, s próbálkozzunk meg ezek igazolásával!
Feladat: 2.13. {f_i_geotraf_ogy_071023_15}
A derékszögű koordináta-rendszerben vegyük fel az
A(-4;2) és
B(3;0) pontokat. Alkalmazzunk
λ=-0,5 arányú origó centrumú középpontos hasonlóságot (ekkor az
A pont képe
C), majd
λ=-2 arányú
B centrumú középpontos hasonlóságot (ekkor
C képe
D). Ezután változtassuk az
A pont helyzetét (ezt mi a Geogebra program segítségével végezzük el)!
a) Határozzuk meg a
C és
D pontok kezdeti koordinátáit! (Tehát amikor
A koordinátái
(-4;2).)
b) Hogyan változnak
A mozgatásakor
C és
D koordinátái?
c) Ezután változtassuk a
B pont helyzetét az
x tengelyen. Hogyan változnak a
C,
D pontok koordinátái?
d) Fogalmazzunk meg sejtéseket a fenti mozgatások s
D koordinátáinak a változása alapján, és próbálkozzunk meg ezek igazolásával!
Feladat: 2.14. {f_i_geotraf_ogy_071023_16}
Adott két pont,
A(8;3) és
B(-4;7). Határozzuk meg az
AB szakasz
a) hosszát;
b)
F felezőpontjának koordinátáit;
c) az
A végpontjához közelebbi
H harmadoló pontjának a koordinátáit!
d) Oldjuk meg az a-c) feladatokat
A és
B helyett az
A'(-4;-6) és
B'(8;1) pontokkal is!
Feladat: 2.15. {f_i_geotraf_ogy_071023_18}
Hajtsuk végre az
1. ábrán látható
ABCD négyzettel az alábbi geometriai transzformációkat, s adjuk meg a keletkezett csúcsok koordinátáit.
1. ábra{fig:f_i_geotraf_ogy_071023_18fel}
A transzformációk:
a) Tengelyes tükrözés az
x tengelyre;
b) középpontos tükrözés az origóra;
c) középpontos tükrözés a
(2;3) pontra;
d) eltolás a
(-1;-3) vektorral;
e)
λ=
1
2
arányú merőleges affinitás, melynek tengelye az
x tengely;
f)
λ=-2 arányú merőleges affinitás, melynek tengelye az
y tengely;
g) forgatás
90∘
-kal az origó körül;
h) forgatás
-
90∘
-kal a
(2;3) pont körül.
i) Oldjuk meg az a-h) feladatokat
ABCD helyett az
EFGH négyzettel, melynek csúcsai:
E(-3;2),
F(3;4),
G(5;-2),
H(-1;-4).
Feladat: 2.16. {f_i_geotraf_ogy_071023_20}
Adott az
O(3;4) középpontú kör, melynek sugara
5 egység hosszú. Hajtsuk végre a körrel az alábbi geometriai transzformációkat, s határozzuk meg a keletkezett körök középpontjának a koordinátáit, valamint a körök sugarainak a hosszát!
A transzformációk:
a) Tengelyes tükrözés az
y tengelyre;
b) középpontos tükrözés az origóra;
c) középpontos tükrözés a
(2;3) pontra;
d) eltolás az
(1;-6) vektorral;
e)
λ=
1
2
arányú merőleges affinitás, melynek tengelye az
y tengely;
f)
λ=-3 arányú merőleges affinitás, melynek tengeyle az
x tengely;
g) forgatás
90∘
-kal az origó körül;
h) forgatás
-
90∘
-kal a
(-2;-3) pont körül.
Feladat: 2.17. {f_i_geotraf_ogy_071023_21}
Határozzuk meg a derékszögű koordináta-rendszerben azon
P(x;y) pontok halmazát, amelyek koordinátáira teljesülnek az alábbiak:
a)
x=1;
b)
y≤-4;
c)
x·y≥0;
d)
x2
+
y2
=0;
e)
x+y=0;
f)
x2
-
y2
=0;
g)
x>0 és
x+y=1;
h)
|x+y|≤2;
i)
|x|+|y|=4;
j)
|x|=1 vagy
|y|=1.
Tükrözzük a ponthalmazokat először az
x, majd az
y tengelyre, végül az origóra (ez három különböző feladat). Az így kapott ponthalmazokat (alakzatokat, görbéket) adjuk meg egyenlettel vagy egyenlőtlenség segítségével!