13. FEJEZET: Parabola, ellipszis, hiperbola{mchap:g_ii_bola}
Feladat: 13.1. {g_ii_bola_060120_HA_01}
a) Használjunk dinamikus geometriai szoftvert (pl.
Euklidest vagy Cabrit) az alábbi feladat megoldásához!
Adott a
d egyenes továbbá a
T és
F pontok úgy, hogy
T
illeszkedik
d-re,
F pedig nem illeszkedik rá. Szerkesszük meg
annak a körnek a középpontját, amely átmegy
F-en és
T-ben
érinti
d-t (
10.1.
feladat)!
b) Rajzoltassuk ki a középpontok mértani helyét, ha
T
befutja a
d egyenest!
c) Rajzoltassuk ki az
FT szakasz felezőmerőlegeseit, ha
T a
d egyenesen fut!
Feladat: 13.2. {g_ii_bola_060120_HA_02}
a) Használjunk dinamikus geometriai szoftvert (pl.
Euklidest vagy Cabrit) az alábbi feladat megoldásához!
Adott a
d kör továbbá a
T és
F pontok úgy, hogy
T
illeszkedik
d-re,
F pedig nem illeszkedik rá. Szerkesszük meg
annak a körnek a középpontját, amely átmegy
F-en és
T-ben
érinti
d-t (
10.1.
feladat)!
b) Rajzoltassuk ki a középpontok mértani helyét, ha
T
befutja a
d kört!
c) Rajzoltassuk ki az
FT szakasz felezőmerőlegeseit, ha
T a
d körön fut!
d) Mozgassuk az
F pontot (a
d körön kívülre és
belülre is) miközben a b) és (vagy) a c) feladatrész megoldása is
látszik az ábrán!
Feladat: 13.3. {g_ii_bola_060120_HA_02b}
a) Adott egy ellipszis az
F1
fókuszával és az
F2
(fókusz)pont körüli
d vezérkörével. Mutassuk meg, hogy a
P
pont akkor és csakis akkor illeszkedik az ellipszisre, ha
ahol
2a a
d vezérkör sugara.
b) Adott a síkon az
F1
és az
F2
pont, továbbá az
a nemnegatív szám. Tekintsük azon
P pontok mértani helyét a
síkon, amelyekre
F1
P+
PF2
=2a. Mutassuk meg, hogy
2a>
F1
F2
esetén ez a mértani hely egy ellipszis! Mi a kérdezett mértani
hely
2a=
F1
F2
, illetve
2a<
F1
F2
esetén?
Feladat: 13.4. {g_ii_bola_060120_HA_03}
Adott egy parabola az
F fókuszpontjával és a
d
vezéregyenesével. Legyen
T a vezéregyenes tetszőleges pontja.
Mutassuk meg, hogy az
FT szakasz felezőmerőlegese geometriai
értelemben érinti a parabolát, azaz
a) pontosan egy közös pontja van a parabolával;
b) összes többi pontja a parabola külső pontja, azaz
közelebb van a vezéregyeneshez, mint a fókuszponthoz.
Feladat: 13.5. {g_ii_bola_060120_HA_03b}
Adott egy ellipszis az
F1
fókuszpontjával és az
F2
(fókusz)pont körüli
d vezérkörével. Legyen
T a vezérkör
tetszőleges pontja. Mutassuk meg, hogy az
FT szakasz
felezőmerőlegese geometriai értelemben érinti az ellipszist, azaz
a) pontosan egy közös pontja van az ellipszissel;
b) összes többi pontja az ellipszis külső pontja, azaz
közelebb van a vezérkörhöz, mint a fókuszponthoz.
Feladat: 13.6. {g_ii_bola_060120_HA_04}
Adott egy parabola az
F fókuszpontjával és a
d
vezéregyenesével és adott még egy
e egyenes is. Szerkesszük meg
az
e egyenes és a parabola közös pontjait! Az
e egyenes
elhelyezkedésétől függően hány közös pontja van a parabolával?
Feladat: 13.7. {g_ii_bola_060120_HA_04b}
Adott egy parabola az
F fókuszpontjával és a
d
vezéregyenesével. Mutassuk meg, hogy az
e egyenes pontosan akkor
érinti a parabolát, ha az
F pont
e-re vonatkozó tükörképe
illeszkedik
d-re!
Feladat: 13.8. {g_ii_bola_060120_HA_04ell}
Adott egy ellipszis az
F1
fókuszpontjával és az
F2
fókuszpont körüli
d vezérkörével és adott még egy
e egyenes
is. Szerkesszük meg az
e egyenes és az ellipszis közös pontjait!
Az
e egyenes elhelyezkedésétől függően hány közös pontja van az
ellipszissel?
Feladat: 13.9. {g_ii_bola_060120_HA_04c}
Adott egy ellipszis az
F1
fókuszpontjával és az
F2
fókuszpont körüli
d vezérkörével. Mutassuk meg, hogy az
e
egyenes pontosan akkor érinti az ellipszist, ha az
F1
pont
e-re vonatkozó tükörképe illeszkedik
d-re!
Feladat: 13.10. {g_ii_bola_060120_HA_05}
a) Mutassuk meg, hogy a parabola bármely pontján át
pontosan egy geometriai értelmű érintő húzható a parabolához.
b) Igazoljuk, hogy a parabola bármely külső pontján át
pontosan két geometriai értelmű érintő húzható a parabolához, azaz
pontosan két olyen egyenes, amelynek egy közös pontja van a
parabolával és az összes többi pontja külső pont.
Feladat: 13.11. {g_ii_bola_060120_HA_06}
Adott a
d kör és rajta kívül az
F pont. A
d körön felvett
T ponthoz szeretnénk olyan
kT
kört rajzolni, amely
T-ben
érinti
d-t és átmegy az
F ponton is.
a) A
d kör mely
T pontjaihoz nincs ilyen kör?
b) A
d kör mely
T pontjaihoz tartozik olyan
kT
kör, amely a belsejében tartalmazza a
d kört?
Feladat: 13.12. {g_ii_bola_060120_HA_07}
Mi azon pontok mértani helye a síkban, ahonnan egy adott parabola
derékszögben látszik (azaz a pontból a parabolához húzott két
érintő szöge derékszög)?