4. FEJEZET: Egybevágósági transzformációk kompozíciója{mchap:g_ii_egybkomp}
Egybevágósági transzformáció: A sík olyan önmagára való
leképezése, amelynél bármely két pont távolsága megegyezik a
képeik távolságával.
Egybevágósági transzformáció pl a tengelyes tükrözés, az elforgatás és az eltolás is. Van-e más?
Két egybevágósági transzformáció egymás utáni elvégzéséből származó transzformáció (a két transzformáció
kompozíciója) is egybevágóság. Juthatunk-e ilymódon újfajta transzformációhoz?
A sík egy önmagára való leképezését
irányítástartónak nevezzük, ha bármelyik háromszög körüljárása megegyezik képének körüljárásával. A transzformáció
irányításváltó, ha bármelyik háromszög és képe egymással ellentétes körüljárású. A tengelyes tükrözés irányításváltó. Páratlan sok tengelyes tükrözés kompozíciója irányításváltó, míg páros soké irányítástartó.
A sík irányítástartó egybevágóságait
mozgás-nak is szokás nevezni.
A témához tartozó alapvető segédanyag [
56][27-45. o.].
Kísérletezés
Az alábbi feladatokhoz használhatunk dinamikus geometriai szerkesztőprogramot.
Feladat: 4.1. {g_ii_egybkomp_kiserlet_100713ha_01}
Adott a
k kör és annak
t1
,
t2
átmérőegyenesei.
Tekintsük a kör
P pontját, legyen
P' a
P pont
t1
-re tükrözött képe és
P" a
P' pont
t2
-re tükrözött képe.
Rajzoljuk ki a
PP" egyenesek rendszerét, tegyünk megfigyelést,fogalmazzunk meg sejtést, próbáljuk meg igazolni!
Feladat: 4.2. {g_i_centtukkomp_090714ha_02}
Vegyük fel az egymást
30∘
-ban metsző
t1
,
t2
egyeneseket és az
ABC háromszöget, amelynek mindegyik oldala különböző.
a) Szerkesszük meg az
ABC háromszög
t1
-re vonatkozó
A1
B1
C1
tükörképét, majd annak a
t2
egyenesre vonatkozó
A2
B2
C2
tükörképét! Milyen ismert transzformációval kapható meg az
A2
B2
C2
háromszög az
ABC háromszögből?
b) Végezzük el a szerkesztést úgy is, hogy előbb tükrözünk
t2
-re és azután
t1
-re! Így milyen transzformáció viszi az eredeti háromszöget a legvégén kapott háromszögbe?
Feladat: 4.3. {g_i_centtukkomp_090714ha_03}
Milyen transzformációval helyettesíthető két egymást metsző tengelyre való tükrözések egymás után elvégzéséből származó transzformáció?
Feladat: 4.4. {g_i_centtukkomp_090714ha_04}
Vegyük fel az egymással párhuzamos, egymástól
2 cm távolságra lévő
t1
,
t2
egyeneseket és az
ABC háromszöget, amelynek mindegyik oldala különböző.
a) Szerkesszük meg az
ABC háromszög
t1
-re vonatkozó
A1
B1
C1
tükörképét, majd annak a
t2
egyenesre vonatkozó
A2
B2
C2
tükörképét! Milyen ismert transzformációval kapható meg az
A2
B2
C2
háromszög az
ABC háromszögből?
b) Végezzük el a szerkesztést úgy is, hogy előbb tükrözünk
t2
-re és azután
t1
-re! Így milyen transzformáció viszi az eredeti háromszöget a legvégén kapott háromszögbe?
Feladat: 4.5. {g_i_centtukkomp_090714ha_05}
Milyen transzformációval helyettesíthető két egymással párhuzamos tengelyre való tükrözések egymás után elvégzéséből származó transzformáció?
Feladat: 4.6. {g_i_centtukkomp_090714ha_06}
Milyen transzformációval helyettesíthető három egymást metsző tengelyre való tükrözések egymás után elvégzéséből származó transzformáció?
Feladat: 4.7. {g_i_centtukkomp_090714ha_07}
Milyen transzformációval helyettesíthető három egymással párhuzamos tengelyre való tükrözések egymás után elvégzéséből származó transzformáció?
Feladat: 4.8. {g_i_szimtuk_090701ha_01}
Adottak az egy ponton átmenő
fa
,
fb
,
fc
egyenesek. Szerkesszünk olyan
ABC háromszöget, amely
A-nál,
B-nél,
C-nél fekvő belső szögének belső szögfelezője rendre
fa
,
fb
,
fc
! Hány ilyen
háromszög van?
Feladat: 4.9. {g_i_szimtuk_090701ha_03}
Adottak az egy ponton átmenő
fa
,
fb
,
fc
egyenesek. Szerkesszünk olyan
ABC háromszöget, amelyben a
BC,
CA,
AB oldal felezőmerőlegese rendre
fa
,
fb
,
fc
! Hány ilyen háromszög van?
Egybevágósági transzformációk tükrözésekből
Feladat: 4.10. {g_ii_egybkomp_alap00_ha_01}
Adott a síkon az
A és a
B, valamint az
A' és a
B' pont, melyekre
|
AB
‾
|=|
A'B'
‾
|. Mutassuk meg, hogy pontosan két olyan
egybevágósági transzformáció van, amelyik az
A pontot
A'-be, a
B pontot pedig
B'-be képezi és igazoljuk, hogy az egyik transzformáció irányítástartó, a másik pedig irányításváltó!
Feladat: 4.11. {g_ii_egybkomp_alap00_ha_02}
Mutassuk meg, hogy a sík minden
irányítástartó egybevágósága (azaz mozgása) előáll két tengelyes tükrözés, minden
irányításváltó pedig három tengelyes tükrözés kompozíciójaként.
Feladat: 4.12. {g_ii_egybkomp_alap00_090606ha_05}
Adott a síkon két háromszög,
ABC és
A'B'C', melyek megfelelő oldalai egyenlőek:
AB=A'B',
BC=B'C',
CA=C'A'.
Mutassuk meg, hogy egy és csakis egy olyan egybevágósági transzformáció van, amelynél az
A,
B és
C csúcs képe rendre
A',
B' és
C'.
Feladat: 4.13. {g_ii_egybkomp_alap00_ha_03}
Igazoljuk, hogy a sík irányítástartó egybevágósága háromféle lehet:
- identitás - a két tengely egybeesik;
- eltolás - a két tengely párhuzamos;
- elforgatás - a két tengely metszi egymást.
Középpontos tükrözés
Feladat: 4.14. {g_ii_egybkomp_kptuk_100712ha_01}
Van-e olyan alakzat, amely pontosan két középpontra szimmetrikus középpontosan?
Feladat: 4.15. {g_ii_egybkomp_kptuk_100928ha_01}
Adottak egy
a) háromszög
a) négyszög
oldalfelezőpontjai. Szerkesszük meg a háromszöget (négyszöget)!
Feladat: 4.16. {g_ii_egybkomp_kptuk_100928ha_02}
Adottak egy
a) háromszög
b) négyszög
c) ötszög
oldalfelezőpontjai. Szerkesszük meg a sokszöget!
Feladat: 4.17. {g_ii_egybkomp_kptuk_100928ha_10}
Mutassuk meg, hogy két középpontos tükrözés kompozíciója eltolás!
Feladat: 4.18. {g_ii_egybkomp_kptuk_100928ha_15}
Mely esetekben lesz három középpontos tükrözés kompozíciója is középpontos tükrözés?
Csúsztatva tükrözés
Feladat: 4.19. {g_ii_egybkomp_csusztukdef_100707ha_01}
Definíció: Ha adott egy
v
→
vektor és egy azzal párhuzamos
t egyenes, akkor a
t tengelyre vonatkozó tükrözés és a
v
→
vektorral való eltolás kompozícióját, tehát az ezek egymás utáni elvégzéséből álló transzformációt,
csúsztatva tükrözésnek nevezzük. A
t tengely és a
v
→
vektor a csúsztatva tükrözés tengelye illetve vektora.
Számít-e az eltolás és a tükrözés sorrendje? Másik transzformációt kapunk, ha fordított sorrendben végezzük el a tükrözést és a tengelyével párhuzamos eltolást?
Feladat: 4.20. {g_ii_egybkomp_csusztukdef_100707ha_02}
A sík
a,
b és
c egyenesei közül az első kettő párhuzamos egymással, míg
c merőleges rájuk.
Az alábbi összetett transzformációk közül hány különböző van?
a∘b∘c, a∘c∘b, b∘a∘c, b∘c∘a, c∘a∘b, c∘b∘a
|
Feladat: 4.21. {g_ii_egybkomp_csusztukdef_100707ha_03}
Adjuk meg mindazokat a csúsztatva tükrözéseket, amelyek önmagába képezik a végtelen négyzetrácsot!
Feladat: 4.22. {g_ii_egybkomp_csusztuktulok_100707ha_04}
Határozzuk meg a csúsztatva tükrözés
a) fixpontjait
b) fixegyeneseit!
Feladat: 4.23. {g_ii_egybkomp_csusztuktulok_100707ha_05}
Mutassuk meg, hogy csúsztatva tükrözésnél bármely pontot a képével összekötő szakasz felezőpontja illeszkedik a csúsztatva tükrözés tengelyére!
Feladat: 4.24. {g_ii_egybkomp_csusztukdef_100708ha_20}
Adott a síkon két pont és két egyenes:
A,
A',
a és
a', az
A pont illeszkedik az
a egyenesre, az
A' pont pedig az
a' egyenesre. Adjuk meg mindazokat a csúsztatva tükrözéseket, amelyek az
A pontot az
A'-pontba az
a egyenest pedig az
a' egyenesre képezik!
Feladat: 4.25. {g_ii_egybkomp_alap10_100705_10}
Három tengelyes tükrözés kompozíciója
- tengelyes tükrözés, ha a három tengely egy közös ponton megy át, vagy mind párhuzamosak egymással;
- csúsztatva tükrözés, ha a három tengely nem megy át egy közös pontos és nem is mind párhuzamos egymással.
Feladat: 4.26. {g_ii_egybkomp_alap00_090606ha_06}
Mutassuk meg, hogy ha egy irányításváltó egybevágóság nem tengelyes tükrözés, akkor csúsztatva tükrözés.
Feladat: 4.27. {g_ii_egybkomp_csusztuktulokalk_100707ha_06}
Hjelmsev tétele
Igazoljuk, hogy ha
ABC és
A'B'C' ellenkező körüljárású egybevágó háromszögek, akkor az
AA',
BB',
CC' szakaszok felezőpontjai egy egyenesen vannak!
Feladat: 4.28. {g_ii_egybkomp_alap10_100705ha_15}
Mutassuk meg, hogy az
a,
b,
c egyenesekre pontosan akkor teljesül, hogy egy ponton mennek át vagy párhuzamosak, ha
az
(a·b·c
)2
transzformáció (ahol az egyenesre vonatkozó tükrözést ugyanazzal a betűvel jelöltük, mint magát az egyenest) az identitás, azaz
a∘b∘c∘a∘b∘c=id.
|
Feladat: 4.29. {g_ii_egybkomp_csusztuk_oldfelszogfelalap10_100707ha_10}
Mutassuk meg a tengelyes tükrözések és kompozíciók tulajdonságai segítségével, hogy a háromszög
a) oldalfelező merőlegesei
b) szögfelezői
egy ponton mennek át (vagy párhuzamosak)!
Feladat: 4.30. {g_ii_egybkomp_alap10_100705ha_20_vig21old12fel}[
6]
Az
ABC háromszög oldalegyenesei
AB=c,
BC=a,
CA=b, a magasságok talppontjai
TC
∈AM,
TA
∈BC,
TB
∈CA. Tekintsük az
a,
b,
c egyenesekre vonatkozó tükrözések
a∘b∘c kompozícióját - először
c-re, majd
b-re, végül
a-ra tükrözünk.
a) Mutassuk meg, hogy az a transzformáció olyan csúsztatva tükrözés, amelynek tengelye a talpponti háromszög
TC
TA
oldala!
b) Fejezzük ki a csúsztatva tükrözés eltolásvektorának hosszát a
TA
TB
TC
talpponti háromszög oldalaival!
Feladat: 4.31. {komalF2545ev1986szam3old110Crux}
A konvex
ABCD négyszög
AB és
CD oldalai egyenl? hosszúak, az átlóit felez?
E és
F pontok különböz?k. Bizonyítsuk be, hogy az
EF egyenes az
AB és
CD oldalakkal egyenl? szögeket zár be!
Forgatások kompozíciója feladatokban
Feladat: 4.32. {g_ii_egybkomp_ha_01_m802kv198308spec}[
167]
Az
ABC háromszög
AB,
BC oldalaira,
mint átfogókra, kifelé állítottuk az
ABP,
BCQ egyenlő szárú
derékszögű háromszögeket. Határozzuk meg a
PKQ∠ szög
nagyságát, ahol
K az
AC szakasz felezőpontja.
Feladat: 4.33. {egybkomp_cikcakegy36_01ha}
Az
a,
b egyenesek szöge
36∘
. Egy
A0
∈a,
B0
∈b pontpárból (
A0
B0
=σ) kiindulva képezzük az
Ak
∈a,
Bk
∈b sorozatot az
Bk-1
Ak
=
Ak
Bk
Ak
≠
Ak-1
,
Bk
≠
Bk-1
|
szabályok szerint. Igazoljuk, hogy a sorozat periódikus. Mi a periódusa?
Feladat: 4.34. {egybkomp_erintonegyszogalt_100716_01ha}
Ismeretes, hogy egy konvex négyszögbe pontosan
akkor írható kör, ha a szemköztes oldalak hosszának összege
egyenlő:
Általánosítsuk a formulát! Adott a síkon négy egyenes, melyek
közül semelyik három sem megy át egy ponton. Mi annak a feltétele,
hogy legyen olyan kör, amely mind a négy egyenest érinti? Adjuk meg ennek feltételét a négyszög oldalai hosszának segítségével!
Feladat: 4.35. {ft070419adkorok_ha100718}
Az
ABC háromszög
AB oldalán adott a
D pont. Jelölje
P az
ACD,
BCD háromszögekbe írt körök
AB-tól különböző közös külső érintőjének a
CD szakasszal való
metszéspontját. Igazoljuk, hogy a
CP szakasz hossza független a
D pont választásától!
Feladat: 4.36. {ft070419adkorok_ha100718b}
Az
ABC háromszög
AB oldalán adott a
D pont. Jelölje
T az
ABC háromszögbe írt kör és az
AB
oldal érintési pontját. Mutassuk meg, hogy
T illeszkedik az
ACD,
BCD háromszögekbe írt köröknek egy
AB-tól különböző
közös érintőjére is!
Szimmetriák
Korábban volt a témában: .
Feladat: 4.37. {g_ii_szimtuk_090712ha01_11}
A
t0
,
t4
,
t8
,
t12
,
t16
egyenesek egymást az
O pontban metszik és az
1. ábrán látható módon helyezkednek el, a szomszédos egyenesek szöge mind a négy szomszéd-pár esetén éppen
4∘
. Igaz-e, hogy ha egy alakzat tükrös
a)
t0
-ra és
t8
-ra, akkor
t16
-ra is tükrös?
b)
t0
-ra és
t16
-ra, akkor
t8
-ra is tükrös?
c)
t0
-ra és
t8
-ra, akkor
t4
-re is tükrös?
1. ábra{fig:g_i_szimtuk_01ha_11fel}
Bizonyítsunk, illetve mutassunk ellenpéldát!
Feladat: 4.38. {g_ii_traf_onreszegy_100713ha_100}
Van-e olyan alakzat, amely egybevágó önmaga egy valódi részhalmazával?