9. FEJEZET: Egyenlőtlenségek{mchap:g_ii_egyenlotlenseg}
A geometriai egyenlőtlenségek előtt érdemes megismerkedni az Algebra II. kötet Egyenlőtlenségek fejezetének (A.II.2) feladataival.
Ebbe a témakörbe tartozó feladatok még a Geometria II. kötetben:
3.54.-
3.58.,
6.44.-
6.54.
Bevezető feladatok
Feladat: 9.1. {ineq_100712SL24}
Igazoljuk, hogy egy háromszögben két oldal négyzetösszege attól függően nagyobb a harmadik oldal négyzeténél, egyenlő vele, vagy kisebb annál, hogy a két oldal által közrezárt szög hegyes-, derék- vagy tompaszög.
Feladat: 9.2. {ineq_100712SL19}
Adott a síkon két pont,
A és
B, valamint egy, az
AB egyenessel párhuzamos
e egyenes. A
P pont az
e egyenesen fut. Melyik helyzetben lesz az
APB∠ szög a legnagyobb?
Háromszögegyenlőtlenség és súlyvonalak
Feladat: 9.3. {ineq_100712SL02}
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög súlyvonalainak összege kisebb a kerület másfélszeresénél!
Feladat: 9.4. {ineq_100712SL03}
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög súlyvonalainak összege nagyobb a kerület felénél!
Feladat: 9.5. {ineq_100712SL07}
Tükrözzük az
ABC háromszög
S súlypontját a három oldalfelező pontra. Így sorban az
SA
,
SB
,
SC
pontokat kapjuk (Értelemszerűen
SA
a
BC oldalra vett tükörkép stb.)
Igazoljuk, hogy az
SA
SB,
SA
SC,
SB
SA,
SB
SC,
SC
SA és
SC
SB háromszögek egybevágók, oldalaik hossza az
ABC háromszög súlyvonalai hosszának kétharmada, súlyvonalainak hossza pedig egyenlő az
ABC háromszög oldalhosszainak felével.
Feladat: 9.6. {ineq_100712SL04}
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög súlyvonalainak összege kisebb a kerületnél és nagyobb a háromszög kerületének háromnegyedénél!
Feladat: 9.7. {ineq_100712SL05}
Van-e olyan egynél kisebb konstans, amelyre igaz, hogy a háromszög súlyvonalai
minden háromszögben kisebbek a kerület
c-szeresénél?
A háromszög kerülete és területe
Feladat: 9.8. {ineq_100712SL14}
Adottak az
a,
b,
c pozitív szakaszhosszak. Igazoljuk, hogy pontosan akkor szerkeszthető olyan háromszög, amelynek ezek az oldalhosszai, ha teljesül az alábbi egyenlőtlenség:
2
a2
b2
+2
a2
c2
+2
b2
c2
>
a4
+
b4
+
c4
.
Feladat: 9.9. {ineq_100712SL15}
Az
a,
b,
c pozitív számokra teljesül az alábbi egyenlőtlenség:
2
a2
b2
+2
a2
c2
+2
b2
c2
>
a4
+
b4
+
c4
.
Igazoljuk, hogy akkor teljesül rájuk az alábbi egyenlőtlenség is:
2ab+2ac+2bc>
a2
+
b2
+
c2
.
Feladat: 9.10. {ineq_100712SL06}
Bizonyítsuk be, hogy az
a,
b,
c oldalhosszúságú háromszögekre igaz, hogy
8(s-a)(s-b)(s-c)≤abc, ahol
s a háromszög félkerületét jelöli.
Feladat: 9.11. {ineq_100712SL08}
Bizonyítsuk be, hogy
T≤
s2
/33, ahol
T a háromszög területét,
s a háromszög félkerületét jelöli.
Milyen háromszögekre áll fenn egyenlőség?
Feladat: 9.12. {ineq_100712SL09}
Adott területű háromszögek közül melyik háromszög kerülete a legkisebb?
Feladat: 9.13. {ineq_100712SL10}
Adott kerületű háromszögek közül melyik háromszög területe a legnagyobb?
A háromszög beírt köre
Feladat: 9.14. {ineq_100712SL11}
Igazoljuk, hogy minden háromszögben
r≤s/27. Itt
s a háromszög félkerületét,
r a beírt körének sugarát jelöli.
Milyen háromszögekben van egyenlőség?
Feladat: 9.15. {ineq_100712SL12}
Adott kerületű háromszögek közül melyikben legnagyobb a beírt kör sugara?
Feladat: 9.16. {ineq_100712SL13}
Adott kör köré írt háromszögek közül melyik kerülete a legkisebb?
Speciális adatok a háromszögben
Feladat: 9.17. {ineq_100712SL16}
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszögben az
A-hoz tartozó súlyvonal hossza legfeljebb
R+
d1
, ahol
R a köréírt kör sugara,
d1
a köréírt kör középpontjának távolsága a
BC oldaltól.
Mikor áll fenn egyenlőség?
Feladat: 9.18. {ineq_100712SL17}
* Az
ABC háromszögben
A-nál nem tompaszög van. Igazoljuk, hogy az
A-ból induló súlyvonal legfeljebb akkora, mint a
b és
c oldalhoz írt kör sugarainak átlaga.
Igazoljuk, hogy hegyes- és derékszögű háromszögben a három súlyvonal hosszának összege legfeljebb akkora, mint a három hozzáírt kör sugarának összege.
Mikor áll fenn egyenlőség?
Feladat: 9.19. {ineq_100712SL18}
* Igazoljuk, hogy hegyes- és derékszögű háromszögben a három súlyvonal hosszának összege legfeljebb
4R+r, ahol
R a köréírt kör sugara,
r a beírt kör sugara. Egyenlőség szabályos háromszögnél van.
Feladat: 9.20. {ineq_100712SL01}
Sugáregyenlőtlenség
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög beírt körének sugara nem nagyobb a köréírt kör sugarának felénél.
Milyen háromszögekben áll fenn egyenlőség?
Négyzetösszegek
Feladat: 9.21. {ineq_100712SL21}
Adott a síkon két pont,
A és
B, valamint egy, az
AB egyenessel párhuzamos
e egyenes. A
P pont az
e egyenesen fut. Melyik helyzetben lesz az
A és
B pontoktól vett távolságának négyzetösszege minimális?
Feladat: 9.22. {izogkonj_egylot_100718SL06}
Adott a sík két pontja,
A és
B, valamint egy
e egyenes, amely nem azonos az
AB egyenessel. Szerkesszük meg az
e egyenesnek azt a
P pontját, amelyre az
AP2
+
BP2
összeg minimális.
Feladat: 9.23. {ineq_100712SL20}
Adott a síkon két pont,
A és
B, valamint egy, az
AB egyenessel párhuzamos
e egyenes. A
P pont az
e egyenesen fut. Melyik helyzetben lesz az
A és
B pontoktól vett távolságának szorzata minimális?
Feladat: 9.24. {ineq_100712SL25}
Jelölje
R a háromszög köréírt körének sugarát. Igazoljuk, hogy a háromszög oldalainak négyzetösszege kisebb
8
R2
-nél, ha a háromszög tompaszögű és egyenlő vele, ha a háromszög derékszögű.
Megjegyzés. Az is igaz, hogy a háromszög pontosan akkor hegyesszögű, ha az oldalak négyzetösszege nagyobb
8
R2
-nél, de ennek bizonyításához erősebb eszközre van szükség, l. a
17.31. feladatot.
Feladat: 9.25. {ineq_100712SL22}
Igazoljuk, hogy minden háromszögben
a2
+
b2
+
c2
≤9
R2
,
ahol
a,
b és
c a háromszög oldalainak hossza,
R a köréírt kör sugara.
Az egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.
Konvexitás
Feladat: 9.26. {g_ii_kerulet_100621_SL_01}
Bizonyítsuk be, hogy ha a
PQR háromszög csúcsai az
ABC háromszög belsejében vagy határán vannak, és a
PQR háromszög nem azonos az
ABC háromszöggel, akkor az utóbbi kerülete nagyobb az előbbiénél.
Feladat: 9.27. {g_ii_kerulet_100621_SL_01a}
Bizonyítsuk be, hogy ha a
K konvex sokszög pontjai egy
L sokszög belsejében, vagy határán vannak, akkor a
K sokszög kerülete legfeljebb akkora, mint az
L sokszögé és egyenlő csak akkor lehet vele, ha
K=L.
Vegyes feladatok
Feladat: 9.28. {m0692kv198203_100718ha}[
81]
Az
ABC háromszög
AB,
BC,
CA
oldalának egy-egy negyedelőpontja a
C1
, az
A1
, illetve a
B1
pont:
|
AC1
|
|
C1
B|
=
|
BA1
|
|
A1
C|
=
|
CB1
|
|
B1
A|
=
1
3
.
|
Mutassuk meg, hogy az
A1
B1
C1
háromszög
K1
kerülete és az
ABC háromszög
K kerületére teljesülnek az alábbi
egyenlőtlenségek:
Feladat: 9.29. {tvmad07010101_100718ha}
a) Adott szabályos háromszögben
határozzuk meg azon
M pontok halmazát, melyeknek a háromszög
oldalaitól mért távolságaiból mint szakaszokból háromszög
szerkeszthető!
b) Adott szabályos tetraéderben határozzuk meg azon
M
pontok mértani helyét, melyeknek a tetraéder lapjaitól mért
távolságaiból mint szakaszokból négyszög szerkeszthető!
Feladat: 9.30. {tvmad07010107_100718ha}
Bizonyítsuk be, hogy egy szimmetrikus
trapéz három csúcsától a sík egy tetszőleges pontjáig mért
távolságok összege nagyobb, mint a negyedik csúcs távolsága a
ponttól!
Feladat: 9.31. {m0852kv198406_100718ha}[
81]
Bizonyítsuk be, hogy ha
a,
b és
c egy
háromszög oldalai, akkor
{eq:m0852kv198406fel01}|
a-b
a+b
+
b-c
b+c
+
c-a
c+a
|
|
| (1) |
kisebb, mint
a) 1;
b)
1
8
.
Feladat: 9.32. {ineq_100716SL01}
Igazoljuk, hogy a súlyvonalak négyzetösszege minden háromszögben legfeljebb
27
R2
/4, ahol
R a köréírt kör sugara.
Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.
Feladat: 9.33. {ineq_100716SL03}
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög
c oldalához tartozó súlyvonal hossza attól függően nagyobb
c/2-nél, egyenlő vele, vagy kisebb
c/2-nél, hogy
c-vel szemben hegyes-, derék- vagy tompaszög van.
Feladat: 9.34. {ineq_100716SL04}
Tegyük fel, hogy a háromszög
c oldalával szemben nem hegyesszög van. Igazoljuk, hogy ekkor a háromszög három súlyvonalának összege legfeljebb
(0,5+2,5)c.
Mikor áll fenn egyenlőség?
Feladat: 9.35. {ineq_100716SL02}
Igazoljuk, hogy a súlyvonalak hosszának összege minden háromszögben legfeljebb
9R/2, ahol
R a köréírt kör sugara.
Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.
Feladat: 9.36. {ineq_100716SL05}
Igazoljuk, hogy a súlyvonalak hosszának összege minden háromszögben legalább
9r, ahol
r a beírt kör sugara.
Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.
Feladat: 9.37. {ineq_100716SL06}
Igazoljuk, hogy a magasságvonalak hosszának összege minden háromszögben legalább
9r, ahol
r a beírt kör sugara.
Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.
Feladat: 9.38. {ineq_100716SL07}
Igazoljuk, hogy a magasságvonalak hosszának összege minden háromszögben legfeljebb
4,5R, ahol
R a köréírt kör sugara.
Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.
Feladat: 9.39. {ineq_100716SL08}
Igazoljuk, hogy a szokásos jelölésekkel
27
r3
≤
ma
mb
mc
≤
sa
sb
sc
≤27
R3
/8 minden háromszögben.