12. FEJEZET: A sík hasonlósági transzformációi{mchap:g_ii_hastraf}
Hasonlósági transzformáció: A sík olyan önmagára való
leképezése, amely megtartja a szakaszok hosszának arányát.
Kutatás
Feladat: 12.1. {g_ii_hastraf_kutatas_2metszokor_szabhar100705_01ha}[
93]
Jelölje a
k,
l körök egyik metszéspontját
A. Forgassuk az
A ponton átmenő
a egyenest
A körül és képezzük a
k,
l körökkel vett második metszéspontjait, a
K∈k,
L∈l pontokat.
Vizsgáljuk a
KL szakaszra állított
KLP szabályos háromszöget, tegyünk megfigyeléseket, fogalmazzunk meg sejtéseket!
Osztályozás
Feladat: 12.2. {g_ii_hastraf_2pont100702_01ha}
Adott a síkon a
P1
,
Q1
és a
P2
,
Q2
pontpár. Keressük mindazokat a hasonlósági transzformációkat, amelyek a
P1
pontot
P2
-be, a
Q1
pontot
Q2
-be képezik.
Tegyük fel, hogy egy ilyen transzformációról még azt is tudjuk, hogy
a) irányítástartó;
b) irányításváltó.
Mutassuk meg, hogy a két pont és a képe valamint az irányítástartás ill. váltás ténye már tetszőleges
X pont képét egyértelműen meghatározza a síkon!
c) Igazoljuk, hogy létezik is ilyen transzformáció mind az a), mind a b) esetben.
Forgatva nyújtás - négy háromszög tétele
Ide kapcsolódnak a korábbi 6.7.-6.13. feladatok. Reiman István: Fejezetek az elemi geometriából[56] című könyvének 2.8. a Nyújtva forgatás fejezete tárgyalja ezt a témát.
Feladat: 12.3. {g_ii_forgnyujtfel_ismkerszog07020201_01ha}
Adott két kör, melyek egymást
két különböző pontban metszi. Mutassuk meg, hogy a két kör egyik
közös pontján át húzott szelő, a másik közös pontból állandó
szögben látszik (az
1. ábrán a
PAQ∠ független a
PQ
szelő választásától).
1. ábra{fig:g_ii_forgnyujtfel_ismkerszog07020201_01ha_fela}
Feladat: 12.4. {g_ii_forgnyujtfel_ismkerszog07020202_02ha}
Hol vannak az
1. ábrán az egymáshoz hasonló, azonos körüljárású
P1
AQ1
,
P2
AQ2
háromszögek köréírt körének metszéspontjai?
1. ábra{fig:g_ii_forgnyujtfel_ismkerszog07020202_02ha_fela}
Feladat: 12.5. {g_ii_forgnyujtfel_ismkerszog07020203_03ha}
Adottak az
P1
,
Q1
,
P2
,
Q2
pontok. Mutassuk meg, hogy ha a
P1
Q1
Q2
P2
négyszög nem
paralelogramma, akkor létezik olyan
A pont, amely körüli
megfelelő szögű és arányú forgatva nyújtás a
P1
pontot
Q1
-be, a
P2
pontot
Q2
-be képezi.
Feladat: 12.6. {g_ii_forgnyujtfel_ismkerszog07020203gepterem_04ha}
Adott négy egyenes. Ha
bármelyiket elhagyjuk, akkor képezhetjük a maradék három egyenes
alkotta háromszög körülírt körét. Mutassuk meg, hogy az így kapott
négy körnek van egy közös pontja.
Feladat: 12.7. {g_ii_forgnyujtfel_altossz_100705ha_01}[
93]
Tegyük fel, hogy az
F alakzat irányítását nem változtatva önmagához hasonlóan változik, miközben valamely
O pontja (amely a hasonlóságnál mindig önmagának felel meg) helyben marad. Mutassuk meg, hogy ha
a) az alakzat egy
A pontja valamely
γ görbét ír le, akkor az alakzat bármely másik - nem fix - pontja egy
γ-hoz hasonló görbét ír le!
b) az alakzat egy
a egyenese a változás minden pillanatában átmegy a sík egy rögzített pontján, akkor az alakzat bármely egyenese minden helyzetében átmegy egy rögzített ponton!
Ptolemaiosz tétele
Feladat: 12.8. {g_ii_ptol01_ha100821}
Mutassuk meg, hogy a szabályos háromszög köré írt kör egy pontját a csúcsokkal összekötő három szakasz közül az egyik egyenlő a másik kettő összegével (az
1. ábrán
PA=PB+PC)!
1. ábra{fig:g_ii_ptol01_ha100821_fela}
Feladat: 12.9. {g_ii_ptol02_ha100821}
Az
ABC egyenlő szárú derékszögű háromszög (
AC=CB,
AC⊥CB) körülírt körének
a) rövidebbik
BC
^
ívén
b)
C-t nem tartalmazó
AB
^
ívén
helyezkedik el a
P pont (lásd az
1. ábrát). Milyen összefüggés írható fel a
PA,
PB,
PC szakaszok hossza között?
1. ábra{fig:g_ii_ptol02_ha100821_fela}
Feladat: 12.10. {g_ii_ptol03_ha100821}
Az
ABC háromszög szögei
a)
α=β=γ=
60∘
;
b)
α=β=
45∘
, γ=
90∘
.
Írjuk fel a
PA,
PB,
PC szakaszhosszak olyan kifejezését, amely pontosan akkor zérus, ha
P a háromszög körülírt körén van!
Feladat: 12.11. {g_ii_ptol04_ha100821}
Az
ABC háromszög szögei
a)
α=β=γ=
60∘
;
b)
α=β=
45∘
, γ=
90∘
.
Írjuk fel a
PA2
=x,
PB2
=y,
PC2
=z kifejezések olyan
polinomját, amely pontosan akkor zérus, ha
P a háromszög körülírt körén van!
Feladat: 12.12. {g_ii_ptol11_egylot_ha100821}
Mutassuk meg, hogy ha az
ABC háromszög szabályos és
P tetszőleges pont a síkon, akkor
PC+PB≥PA!
Melyek azok a
P pontok, amelyekre a fenti egyenlőtlenségben az egyenlőség teljesül?
Feladat: 12.13. {g_ii_ptol12_egylot_ha100821}
Az
ABC háromszög egyenlő szárú és derékszögű (
AC=CB,
AC⊥CB).
A
12.12. feladat mintájára írjunk fel a
PA,
PB,
PC szakaszok hosszára vonatkozó olyan egyenlőtlenséget, amely a sík minden
P pontjára teljesül és az egyenlőség pontosan akkor áll, ha
P az
ABC háromszög körülírt körének
a)
BC
^
;
b)
CA
^
;
c)
AB
^
ívén helyezkedik el!
Feladat: 12.14. {g_ii_ptol20_ha100821}
(
Ptolemaiosz tétel) Mutassuk meg, hogy a sík bármely
A,
B,
C,
D pontnégyesére fennáll az
egyenlőtlenség és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a négy pont egy körön (vagy egyenesen) helyezkedik el és azon az
AC pontpár elválasztja a
BD pontpárt!
A témához kapcsolódó hasznos kiegészítő anyag Kubatov Antal ,,Ptolemaios-tétel, Casey-tétel, feladatok"[185] című írása a Fazekas Matematika Portálján.
Forgatva nyújtások kompozíciója
Feladat: 12.15. {g_ii_haskomp_ha_01_m802kv198308es198903p54}[
167]
Az
ABC háromszög oldalaira
kifelé az alább megadott szögekkel rendelkező
ABM,
BCN,
CAP
háromszögeket szerkesztettük:
CAP∠=CBN∠=
45∘
ACP∠=BCN∠=
30∘
ABM∠=BAM∠=
15∘
.
|
Mit állíthatunk a
PMN
háromszögről? Fogalmazzunk meg sejtést és igazoljuk állításunkat!
Feladat: 12.16. {g_ii_haskomp_ha_02_gotmangeotrafiifel04}[
167]
Az
ABC háromszög oldalaira kifelé
az alább megadott szögekkel rendelkező
ABM,
BCN,
CAP
háromszögeket szerkesztettük:
BAM∠=CAP∠=
15∘
ABM∠=CBN∠=
30∘
ACP∠=BCN∠=
45∘
.
|
Határozzuk meg a
PMN háromszög
szögeit!
Feladat: 12.17. {g_ii_haskomp_ha_03_gotmangeotrafiifel05}[
167]
Az
ABC háromszög oldalaira kifelé
szerkesztettük az
AMB,
BNC,
AKC szabályos háromszögeket.
Mutassuk meg, hogy a
CM szakasz merőleges a
BNC,
AKC
háromszögek középpontjait összekötő
PQ szakaszra és e két
szakasz aránya:
CM
PQ
=3.
Feladat: 12.18. {g_ii_haskomp_ha_04_gotmangeotrafiifel06}[
167]
Az
ABCD konvex négyszög oldalaira
kifelé szabályos háromszögeket szerkesztettünk. Mutassuk meg, hogy
két szemközti oldalra emelt szabályos háromszögnek a négyszög
csúcsaitól különböző csúcsát összekötő szakasz merőleges a másik
két oldalra emelt szabályos háromszög középpontját összekötő
szakaszra! Határozzuk meg e két szakasz hosszának arányát!
Feladat: 12.19. {g_ii_haskomp_ha_05_gotmangeotrafiifel07}[
167]
Az
ABC háromszög
AB oldalán az
ACE∠=γ,
BCF∠=γ összefüggéseknek
megfelelően vettük fel az
E,
F pontokat. Az
A-ból illetve
B-ből az
CE illetve
CF egyenesre bocsátott merőleges
talppontja
M illetve
N, a
K pont pedig az
AB szakasz
felezőpontja. Mutassuk meg, hogy
KM=KN és
KMN∠=γ.
Feladat: 12.20. {g_ii_haskomp_ha_06_gotmangeotrafiifel09}[
167]
Adott a konvex
ABNCM ötszög.
Tudjuk, hogy
BCN és
ACM olyan derékszögű háromszögek, amelyek
átfogója
BC illetve
AC és amelyekben
BCN∠=ACM∠. Az
AB oldal
K felezőpontján át húzott
KM,
KN egyenesek a
BC
illetve az
AC egyenest a
P illetve a
Q pontban metszik.
Mutassuk meg, hogy a
C,
M,
N,
P,
Q pontok mind egy körön
vannak.
Feladat: 12.21. {g_ii_haskomp_ha_07_gotmangeotrafiifel10}[
167]
Az
ABC háromszög oldalaira kifelé
az alább megadott szögekkel rendelkező
ABM,
BCN,
CAP
háromszögeket szerkesztettük:
CBN∠=CAP∠=α ACP∠=ABM∠=β BAM∠=BCN∠=γ,
|
ahol
α+β+γ=
90∘
. Határozzuk meg a
PMN háromszög
szögeit!
Feladat: 12.22. {g_ii_haskomp_ha_08_gotmangeotrafiifel11}[
167]
Az
ABC háromszög
BC,
AC
oldalaira kifelé szerkesztett
BCM,
ACN háromszögekre
BMC∠=ANC∠=
90∘
,
CM
BM
=
1
3
,
CN
AN
=
1
2
. Az
AB oldalon felvett
K pontra
AK
BK
=
2
3
. Határozzuk meg
MKN∠ nagyságát!
Vegyes feladatok
Feladat: 12.23. {g_ii_forgnyujtfel_imo2004fel5}
A 2004. évi Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 5. feladata
Az
ABCD konvex négyszög
BD átlója az
ABC és a
CDA
szöget sem felezi. A
P pont az
ABCD négyszög belsejében úgy
helyezkedik el, hogy
PBC∠=DBA∠
és
PDC∠=BDA∠.
|
Mutassuk meg, hogy az
ABCD négyszög pontosan akkor
húrnégyszög, ha
AP=CP.