5. FEJEZET: Kerületi szögek I.{mchap:g_ii_kerkoz}
A fejezet témájával kapcsolatban lásd még a a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötet[50]
hasonló című fejezetének példáit.
Ismétlés: Thalesz tétele
Feladat: 5.1. {g_ii_kerkoz_elozetes_thalesz_100625_ha_01a}
Vegyük fel a síkon az egymástól különböző
A és
O pontot. Vegyünk fel egy
A ponton átmenő
a egyenest és szerkesszük meg
a-nak az
O pont körüli
90∘
-os elforgatottjával vett
a∩
O
90∘
(a) metszéspontját!
a) Szerkesszük meg tíz különböző
A-n átmenő egyenesre ezt a metszéspontot és vizsgáljuk az így kapott tíz pont elhelyezkedését!
b) Dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal rajzoljuk meg az így kapható pontok mértani helyét
(tehát
A,
O rögzített, míg
a befutja az összes
A-n átmenő egyenest)!
Feladat: 5.2. {g_ii_kerkoz_elozetes_thalesz_ketder_100630_ha_05}
Dr Agy megrajzolta a
k,
l körök
P metszéspontján át (lásd az
1. ábrát) a körök
PK,
PL átmérőit. Ábráján az
e=KL egyenes
k-t még
Ek
pontban,
l-t még
El
-ben metszette.
1. ábra{fig:g_ii_kerkoz_elozetes_thalesz_ketder_100630_ha_05fel01}
a) Igazoljuk, hogy az
1. ábrán
PEk
K∠=
PEl
L∠=
90∘
!
b) A
PEk
El
háromszögnek két derékszöge is van. Lehetséges ez?
Feladat: 5.3. {g_ii_kerkoz_3kor_100705_HA_06b_geoI}
a) Mutassuk meg, hogy a hegyesszögű háromszög belső pontjából az oldalakra állított merőleges szakaszok a háromszöget három húrnégyszögre bontják!
b) Hogyan módosítsuk tartalmasan az állítást, hogy tompaszögű háromszögre, illetve a háromszög külséjében választott pontra is teljesüljön?
Feladat: 5.4. {g_ii_kerkoz_3kor_081112_HA_06}
Jelölje az
ABC háromszög magasságpontját
M, a magasságvonalak talppontjait
TA
,
TB
,
TC
.
Az említett hét pont (
A,B,C,M,
TA
,
TB
,
TC
) közül hányféleképpen választható ki négy, amelyek egy körön vannak az
ABC háromszög tetszőleges választása esetén?
Előzetes vizsgálatok
Feladat: 5.5. {g_ii_mindenharomszogaszab_100630_ha_20}
Minden háromszög szabályos
Dr Agy megszerkesztette az
ABC háromszög
BC oldalának
e felezőmerőlegesét valamint a háromszög
A-nál fekvő szögének
f szögfelezőjét. Ezek metszéspontját ábráján
P jelöli, míg
P-ből az
AC,
AB oldalakra állított merőlegesek talppontját
TB
illetve
TC
(lásd az
1. ábrát).
1. ábra{fig:g_ii_mindenharomszogaszab_100630_ha_20fel01}
Dr Agy így gondolkodik:
1. A
P pont a
BC szakasz felezőmerőlegesén van, így
BP=CP.
2. A
P pont a
BAC szög szögfelezőjén van, és a szögfelező pontjai a száraktól egyforma távolságra vannak, így
PTC
=
PTB
.
3. Ha két derékszögű háromszögben egyenlők az átfogók és az egyik befogó is, akkor a két háromszög másik befogója is egyenlő egymással.
4. A
PTC
B,
PTB
C háromszögek
TC
-ben illetve
TB
-ben derékszögűek, így az előbbi 1., 2. és 3. állítások miatt
BTC
=
CTB
.
5. A
PTC
A,
PTB
A háromszögek
TC
-ben illetve
TB
-ben derékszögűek,
PA oldaluk közös, így az előbbi 2. és 3. állítások miatt
ATC
=
ATB
.
6. A 4., 5. állításokból következik, hogy
AB=AC. Valóban
AB=
ATC
+
TC
B,
AC=
ATB
+
TB
C és ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, akkor egyenlőket kapunk.
7. Ehhez hasonlóan bármely háromszög bármelyik két oldaláról igazolható, hogy egyenlő hosszúságúak, tehát minden háromszög szabályos.
Tehát minden háromszög szabályos? Van-e hiba Dr Agy gondolatmenetében? Ha igen, hol?
Feladat: 5.6. {g_ii_kerkoz_elozetes_ivfelezes_100623_ha_00}
Igazoljuk, hogy ha a
k kör
A,
B,
C,
D pontjai úgy helyezkednek el, hogy a
k kör
BC
^
irányított íve egyenlő a kör
DA
^
irányított ívével, akkor az
AB,
CD egyenesek párhuzamosak!
Feladat: 5.7. {g_ii_kerkoz_elozetes_ivfelezes_100623_ha_01}
Dolgozzunk dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal!
Vegyünk fel egy kört (
k) és rajta három pontot (
A,
B,
C). Szerkesszük meg a kör
A pontot nem tartalmazó
BC ívének felezőpontját (
HA
).
a) Tükrözzük a
B pontot az
AHA
szakasz felezőmerőlegesére (
B'). Vizsgáljuk az ábrát, tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg sejtést a
HA
B'AC négyszöggel kapcsolatban, próbáljuk meg igazolni!
b) Vizsgáljuk a
BAHA
∢,
HA
AC∢ szögek nagyságát!
Feladat: 5.8. {g_ii_kerkoz_elozetes_60fok_100624_ha_02b}
Vegyük fel a
P pontot az
ABCD négyzet
k körülírt körének rövidebbik
BC
^
ívén és határozzuk meg a
a)
APC∢
b)
APD∢
c)
BPA∢
d)
BPC∢
szöget!
Feladat: 5.9. {g_ii_kerkoz_elozetes_ivfelezes_100623_ha_02a}
Vegyük fel a síkon az egymástól különböző
A és
O pontot. Vegyünk fel egy
A ponton átmenő
a egyenest és szerkesszük meg
a-nak az
O pont körüli
+
60∘
-os elforgatottjával vett
a∩
O
60∘
(a) metszéspontját!
a) Szerkesszük meg tíz különböző
A-n átmenő egyenesre ezt a metszéspontot és vizsgáljuk az így kapott tíz pont elhelyezkedését!
b) Dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal rajzoljuk meg az így kapható pontok mértani helyét
(tehát
A,
O rögzített, míg
a befutja az összes
A-n átmenő egyenest)!
Feladat: 5.10. {g_ii_kerkoz_elozetes_ivfelezes_100623_ha_02}
Vegyük fel a sík egy
A pontját és rögzítsünk egy
τ elforgatást, tehát vegyünk fel egy
A-tól különböző
O forgási középpontot és egy
ϕ irányított szöget.
Tekintsünk egy
A ponton átmenő
a egyenesnek az elforgatásnál származó képével alkotott
P=a∩τ(a) metszéspontját. Szerkesszünk meg körzővel és vonalzóval
10 ilyen
P pontot, vagy rajzoltassuk ki a
P-k mértani helyét dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal (tehát
A,
O,
ϕ rögzített, míg
a befutja az összes
A-n átmenő egyenest)!
Próbáljuk úgy szerkeszteni a rajzot, hogy a
ϕ szöget is változtathassuk, vizsgálhassuk a mértani hely változását
ϕ értékének változása közben.
Készítsünk színes ábrát, ahol a különböző
ϕ értékekhez tartozó mértani helyek különbözős színben láthatók!
Feladat: 5.11. {g_ii_kerkoz_elozetes_ivfelezes_100623_ha_03}
Vegyük fel a sík két pontját,
A-t és
B-t és rögzítsünk egy
ϕ irányított szöget.
Keressük azokat a
P pontokat, amelyekre az
APB∢ irányított szög
ϕ-vel egyezik meg.
Szerkesszünk meg körzővel és vonalzóval
10 ilyen
P pontot, vagy rajzoltassuk ki a
P-k mértani helyét dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal!
Feladat: 5.12. {g_ii_kerkoz_elozetes_hurnegyszog_100623_ha_05}
Igazoljuk, hogy ha egy négyszög csúcsai egy körön vannak (húrnégyszög), akkor két szemköztes belső szögének összege egyenlő a másik két szemközti szögének összegével.
Tételek
Feladat: 5.13. {g_ii_kerkoz_tetel01iranyitott_100623_ha_01}
Legyen adva a síkon az egymástól különböző
A és
B pont továbbá egy
γ∈(
0∘
,
180∘
) szög. Jelölje
O azt a pontot, amely körüli
2γ szögű elforgatás
A-t
B-be képezi és legyen
k az
O középpontú
A-t és
B-t tartalmazó kör.
a) Azon
C pontok mértani helye, amelyekből az
AB irányított szakasz
γ szögben látszik, tehát
{eq:g_ii_kerkoz_tetel01iranyitott_100623_kerszogtetel01_081207ha}ACB∢≡γ (mod
180∘
),
|
| (1) |
a
k kör
A-tól és
B-től különböző pontjainak halmaza.
b) Ha
A=C (ill.
B=C) esetén
AC (ill.
BC) egyenesen a
k kör
A-beli (ill.
B-beli) érintőjét értjük, akkor
a (
1) összefüggés ezekben az esetekben is teljesül.
Definíció
A tételben szereplő
k kört az
AB szakasz
γ szögű látókörének nevezzük.
Ha a
ACB≡γ (mod
180∘
) akkor azt mondjuk, hogy az
AB szakasz
γ szögben látszik a
C pontból.
Feladat: 5.14. {g_ii_kerkoz_tetel01iranyitott_100623_ha_02}
Mutassuk meg, hogy ha egy (irányított) szakasz két adott pontból egyenlő (irányított) szögben látszik (mod
180∘
), akkor ez a két pont a szakasz két végpontjával egy körön helyezkedik el!
Formálisan: Ha
A és
B különböző pontok és az
eA
,
fA
,
eB
,
fB
egyenesekre
A=
eA
∩
fA
, B=
eB
∩
fB
,
|
és
eA
eB
∢≡
fA
fB
∢≡/≡
0∘
(mod
180∘
),
|
akkor az
pontok egy körön vannak.
Feladat: 5.15. {g_ii_kerkoz_tetel04hurnegyszog_100623_ha_04}
Mutassuk meg, hogy egy négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha szemköztes szögeinek összege
180∘
.
Feladat: 5.16. {g_ii_kerkoz_tetel04hurnegyszog_100627_ha_05}
Egyenlő hosszú húrok kerületi szöge is egyenlő
Mutassuk meg, hogy ha
AB és
CD a
k kör egyenlő hosszúságú húrjai és a
k kör
P,
Q pontjai úgy helyezkednek el, hogy a
k kör
P a a kör tetszőleges pontjai (de
P≠A,
P≠B,
Q≠C,
Q≠D, akkor
APB∠=CQD∠ vagy
APB∠=
180∘
-CQD∠.
Feladat: 5.17. {ineq_100712SL23}
Tekintsük az
AB szakasz fölötti,
α szöghöz tartozó látókörívek egyikét és az
AB egyenesnek e látókörívvel azonos félsíkjában egy tetszőleges
P pontot, amely nincs az
AB egyenesen. Az
APB∠ szög
- egyenlő
α-val, ha
P a látóköríven van,
- kisebb
α-nál, ha
P a látóköríven kívül van,
- nagyobb
α-nál, ha
P a látókörív belsejében van.
Feladat: 5.18. {g_ii_kerstogtetel_ir_100904ha01}
Adott két pont,
A és
B. Mi azon
C pontok mértani helye a síkon, amelyekre az
AC,
BC irányított egyenesek
irányított szöge
a)
180∘
b)
0∘
c)
90∘
ha mod
360∘
számolunk?
d) Általában mi lesz egy adott
γ szöghöz tartozó mértani hely, ha mod
360∘
számolunk?
Az ívhez tartozó kerületi szög fogalmával kapcsolatban lásd az 5.35. feladatot.
Egyszerűbb szerkesztési feladatok
Feladat: 5.19. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_01}
a) Szerkesszünk
3 cm sugarú körbe olyan húrt, amelyhez a kör egyik ívén
30∘
-os kerületi szög tartozik!
b) Milyen messze van ez a húr a kör középpontjától?
c) Adott a
4 cm hosszú
AB szakasz. Szerkesszük meg azon
P pontok halmazát, amelyre
APB∠=
30∘
(most az irányatatlan szög nagyságát - tehát az irányított szög abszolút értékét - írtuk elő).
Feladat: 5.20. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_01b}
a) Szerkesszünk
3 cm sugarú körbe olyan húrt, amelyhez a kör egyik ívén
120∘
-os kerületi szög tartozik!
b) Milyen messze van ez a húr a kör középpontjától?
c) Adott a
4 cm hosszú
AB szakasz. Szerkesszük meg azon
P pontok halmazát, amelyre
APB∠=
120∘
.
Feladat: 5.21. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_01c}
a) Szerkesszük meg azon pontok mértani helyét, ahonnan egy adott szakasz előre adott szögben látszik!
b) Adott az
A és a
B pont, valamint a
γ irányított szög. Szerkesszük meg azon
P pontok mértani helyét, amelyekre
APB∢≡γ (mod
180∘
).
Feladat: 5.22. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_02}
Szerkesztendő háromszög az alábbi adatokból:
a.1.)
a=3 cm,
α=
15∘
,
ma
=8 cm;
a.2.)
a=8 cm,
α=
135∘
,
ma
=1,5 cm;
b.1.)
a=3 cm,
α=
30∘
,
sa
=4 cm.
b.2.)
a=8 cm,
α=
120∘
,
sa
=3 cm.
c) Adjuk meg a szerkesztési eljárást és diszkutáljuk az a), b) feladatokat az általános esetben!
Feladat: 5.23. {100905SL01}
Szerkesztendő a háromszög, ha ismerjük az egyik csúcsánál fekvő szögét és az ebből a csúcsból induló magasság és súlyvonal hosszát.
Feladat: 5.24. {100905SL02}
Szerkesztendő a háromszög, ha ismerjük az egyik csúcsánál fekvő szögét, az ebből a csúcsból induló súlyvonal hosszát, továbbá a közrefogó két oldal hosszának összegét.
Feladat: 5.25. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_03amin}
Szerkesszünk adott négyzet belsejében olyan pontot, amelyből két szomszédos oldal egyike
90∘
-os, másika
120∘
-os szögben látszik!
Feladat: 5.26. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_03}
Szerkesztendő az
5 cm oldalú
ABCD négyzet
CD oldalegyenesén olyan
P pont, amelyre az
APB∠ nagysága
a)
30∘
b)
45∘
a)
60∘
.
Feladat: 5.27. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_04}
Adott az
AB szakasz, az
e egyenes és a
γ irányított szög. Szerkesztendő az
e egyenesen olyan
P pont, amelyre
APB∢≡γ (mod
180∘
).
Feladat: 5.28. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_05}
Szerkesztendő paralelogramma, melyben az átlók hossza
5 és
10 cm, egyik belső szöge pedig
a)
135∘
b)
60∘
.
Feladat: 5.29. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_06}
Szerkesztendő négyszög, ha adott két átlója, két szomszédos oldala és a másik két oldal alkotta szög.
Feladat: 5.30. {g_ii_kerkoz_egyszerk_100625_ha_10}
a) Az
ABC szabályos háromszög körülírt körének szerkesszük meg olyan
AB-vel párhuzamos húrját, amelyhez a körülírt körben
45∘
-os kerületi szög tartozik!
b) Szerkesszünk adott körbe adott egyenessel párhuzamos húrt, amelyhez adott kerületi szög tartozik!
Néhány nehezebb szerkesztés a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetből[50], ahol a nehézséget az okozza, hogy megfelelő transzformáció alkalmazására is szükség van: 375., 381., 484.,
Egyszerű számítási feladatok
Feladat: 5.31. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_01}
Az
ABC háromszög
AB oldalának hossza
10 egység, míg a
BCA∠ nagysága
a)
30∘
b)
45∘
c)
60∘
d)
90∘
e)
120∘
f)
135∘
g)
150∘
.
Milyen messze van a háromszög körülírt körének középpontja az
AB oldal egyenesétől? Határozzuk meg a háromszög körülírt körének sugarát is!
Feladat: 5.32. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_02}
Határozzuk meg az
ABC háromszög
C csúcsnál fekvő belső szögének nagyságát, ha a vele szemközti oldal hosszának és a körülírt kör sugarának
c
R
aránya
a)
2
b)
3
c)
2
d)
1!
Feladat: 5.33. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_04}
Igaz-e, hogy adott körben
a) kétszer akkora húrhoz kétszer akkora kerületi szög
b) kétszer akkora kerületi szöghöz kétszer akkora húr
tartozik?
Feladat: 5.34. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_03}
Az egységnyi hosszúságú szakasz
α szögű látókörének sugarát jelölje
Rα
, a húr és a kör középpontjának távolságát
dα
.
Pl
R
90∘
=
1
2
,
d
90∘
=0.
Határozzuk meg
a)
R
45∘
d
45∘
b)
R22,
5∘
d22,
5∘
értékeit illetve
c) fejezzük ki
R
α
2
és
d
α
2
értékét
Rα
és
dα
segítségével!
Feladat: 5.35. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_05_ivkerdef}
Ha adott az
O középpontú
k kör és annak egy
i íve (lásd az
1. ábrát), akkor az
i ív
A,
B végpontjait a
k kör
i-hez nem tartozó
C pontjával összekötő szakaszok
ACB∠ szögét az
i ív kerületi szögének nevezzük. Míg adott körben adott húrhoz kétféle kerületi szög tartozhat, addig adott körben az ívhez tartozó kerületi szög nagysága egyértelmű. Az ívhez tartozó középponti szög annak az
AOB szögnek a nagysága, amely tartalmazza az
i ívet. Ha tehát az
i ív nagyobb egy félkörnél, akkor ez a középponti szög nagyobb
180∘
-nél.
1. ábra{fig:g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_05_ivkerdef_fela}
Igaz-e, hogy adott körben
a) kétszer akkora ívhez kétszer akkora kerületi szög
b) kétszer akkora kerületi szöghöz kétszer akkora ív
tartozik?
Mutassuk meg, hogy
c) bármely ív középponti szöge kétszer akkora, mint az ív kerületi szöge!
Feladat: 5.36. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_06}
Határozzuk meg az egységsugarú kör
a)
11
6
π
b)
7
6
π
c)
π
d)
5
6
π
e)
1
6
π
hosszúságú ívéhez tartozó kerületi szögét!
Feladat: 5.37. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_07}[
50]
Egy háromszög két oldala a köréírt körből
128∘
-os illetve
70∘
-os köríveket metsz le. Mekkorák a háromszög szögei?
Feladat: 5.38. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_08}[
50]
A kört egy húrja két ívre vágja. Az egyik ív pontjaiból a húr
132∘
-os szögben látszik. Mekkora szögben látszik a húr a másik ív pontjaiból?
Feladat: 5.39. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_09}[
50]
Egy pontból a körhöz húzott két érintő egymással
65∘
-os szöget zár be. Mekkora szögben látszik az érintési pontokat összekötő húr a kör pontjaiból?
Feladat: 5.40. {g_ii_kerkoz_egyszam_100626HA_10}
Az
ABC háromszög szögei:
ABC∠=
68∘
,
BCA∠=
83∘
,
CAB∠=
29∘
. A háromszög körülírt középpontja
O, a
B,
C csúcsokhoz tartozó magasságok talppontja rendre
TB
és
TC
, míg a
BC oldal felezőpontja
FA
. Határozzuk meg az alábbi szögek nagyságát!
a)
AOC∠
b)
FA
OC∠
c)
BTB
TC
∠
d)
TB
ATC
∠.
Feladat: 5.41. {g_ii_kerkoz_egyszam_100702ha_geoI1033}[
50]
Az
1. ábrán a vastagon húzott ívek kerületi szögeit ismerjük. Számítsuk ki ezek segítségével az
α szög nagyságát!
1. ábra{fig:g_ii_kerkoz_egyszam_100702ha_geoI1033fel01}
Gyakorló feladatok
Feladat: 5.42. {hur4sz_100903SL01}
Két konvex négyszög megfelelő oldalai párhuzamosak és az egyik húrnégyszög. Következik-e ebből, hogy a másik is az?
Feladat: 5.43. {hur4sz_100903SL02}
Két húrnégyszög köré írt körének sugara megegyezik és megegyeznek a megfelelő szögeik is. Következik-e ebből, hogy egybevágók?
Feladat: 5.44. {hur4sz_100903SL03}
Két húrnégyszög köré írt körének sugara megegyezik és megegyeznek a megfelelő szögeik is. Milyen további adataik egyenlőségére következtethetünk ebből?
Ajánljuk a Geometriai feladatok gyűjteménye alábbi példáit:
,,Tájékozódás": 992., 993.,
,,Legjobb szög": (996., 997.,) 998., 999., 1000.
Speciális húrnégyszögek: 1051.-1055.,
Általános talppontok és húrnégyszögek 1063., 1065.-1066.
Húrnégyszög szerkesztések: 1067. - 1069.
Szerkesztések: 1002.-1012., 1038. - 1041., 1044.-1045.
Izogonális pont: 1016.-1019.
Érintkező körök: 1020.-1021., 1034.-1036. illetve lásd az idevágó feladatokat a
8. fejezetben!