16. FEJEZET: Speciális témák{mchap:g_ii_spec}
Origami
Feladat: 16.1. {g_ii_origami_20060608_a4a3_01}
Az A4 és A3 méretű papírlapokról a következők tudhatók:
1. Egy A3-as lapot félbetépve két A4-es méretű lapot kapunk.
2. Az A4-es lap felnagyítható A3-assá.
a) Határozzuk meg az A4-es (és A3-as) lap oldalainak
arányát!
b) Egy A4-es lapot az
A csúcsán átmenő
AE egyenes
mentén behajtjuk és azt tapasztaljuk, hogy
B csúcsa épp a
CD
oldalra kerül (lásd az
1.
ábrát, ahol
B'∈CD!). Igaz-e, hogy a
CB'E háromszög egyenlő
szárú?
1. ábra{fig:g_ii_origami_20060608_a4a3_01}
Feladat: 16.2. {g_ii_origami_20060608_a4a3_02}
Egy A4-es lap egyik hosszú oldalának felezőpontja
F, a vele
szemközti oldal
CD.
a) Hány olyan egyenes van, amelyen áthajtva
F-et épp a
CD oldalra kerül?
b) Készítsünk el sok ilyen hajtásvonalat. Mit rajzolnak
ki ezek?
Feladat: 16.3. {g_ii_origami_20060608_02}[
43]
Egy négyzetalakú papírlapot (az
1.
ábrán
ABCD) először félbehajtunk, hogy megjelenjen az
IJ
felezővonal, majd visszahajtjuk és egy
A-ból induló megfelelő
egyenes (
AC) mentén úgy hajtjuk, hogy
B rákerüljön a
felezővonalra (
B'∈IJ). Az ábrán több szög nagysága
60∘
-nak tűnik.
Válasszuk ki az egyiket és igazoljuk, hogy valóban
60∘
-os!
1. ábra{fig:g_ii_origami_20060608_02}
Feladat: 16.4. {g_ii_origami_20060608_01}[
110]
Az
1. ábrán egy négyzet alakú
papírlap (
ABCD) látható, amelyet egy egyenes mentén (
EF)
behajtunk. A hajtásvonalat úgy sikerült megválasztani, hogy az
egyik csúcs (
C) és egy szemközti oldalvonalra került (
C'∈AB).
a) Igazoljuk, hogy a
C'
D'
egyenes
érinti azt a
C középpontú kört, amely átmegy
B-n és
D-n.
b) Igazoljuk, hogy a
GAC'
háromszög kerülete
egyenlő az
ABCD négyzet kerületének felével.
c) Bizonyítsuk be, hogy
AG=
C'
B+
GD'
.
d) Mutassuk meg, hogy a
C'
BE,
GD'
F
háromszögek kerületének összege megegyezik a
GAC'
háromszög kerületével.
e) Mutassuk meg, hogy a
GD'
F háromszög
kerülete egyenlő az
AC' szakasz hosszával.
f) Igazoljuk, hogy a
GAC'
háromszög beírt
körének sugara egyenlő a
GD'
szakasz hosszával.
1. ábra{fig:g_ii_origami_20060608_01}
Feladat: 16.5. {g_ii_origami_20060608_10}[
110]
Szögharmadolás
A téglalap alakú papírlap sarkában elhelyezett
BAE∠ -et
szeretnénk megharmadolni (lásd
az
1. ábrát).
Ismételt hajtásokkal létrehozzuk az
AD-vel párhuzamos
FG,
HI
hajtásvonalakat. Ezután úgy hajtunk, hogy
A rákerüljön
FG-re
(
A'∈FG, miközben
H épp
AE-re kerül
H'∈AE. Mutassuk
meg, hogy
AA' harmadolja a
CAD∠ szöget!
1. ábra{fig:g_ii_origami_20060608_10}
Feladat: 16.6. {g_ii_origami_20060608_11}[
110]
Kockakettőzés
Adott egy négyzet alakú papírlap (
ABCD), amin már be van
rajzolva két harmadolóvonal (Az
1.
ábrán
EF és
GH,
AF=FH=HD,
BE=EG=GC). Hajtsuk be a
papírlapot űgy, hogy
A a
BC oldalra essen (
A'
∈BC, mikötben
F a
GH egyenesre kerül (
F'
∈GH.
Határozzuk meg a
CA'
A'
B
arány értékét!
1. ábra{fig:g_ii_origami_20060608_11}
Feladat: 16.7. {g_ii_origami_20060608_20}[
110]
Hányszor lehet félbehajtani egy papírt?
Legalább milyen hosszú kell legyen egy papírcsík, ha
n-szer
szeretnénk félbehajtani? A hajtásokat mindig a csík hosszanti
irányára merőlegesen végezzük. A papír vastagsága legyen
d.
Ahhoz, hogy a papír ne szakadjon el, az kell, hogy sehol se
nyúljon meg, legfeljebb összenyomódhat! Ezen feltételezés alapján
az első hajtás során például
dπ hosszúságú papírdarab
fordítódik a hajtás részre, mert ekkora a hajtásnál keletkező
félkör ívének külső sugara.
a) Adjuk meg a papírcsík minimális
L(d,n) hosszát zárt
alakban!
b) Mi a helyzet akkor, ha négyzet alakú papírból indulunk
ki és váltogatjuk a hajtás irányát? Ezesetben mekkora
W=W(d,n)
oldalhosszúságú négyzetre van szükség, hogy
n-szer félbe tudjuk
hajtani?
c) Mekkora papírdarabra van szükség az egyik illetve a
másik esetben, ha 12-szer szeretnénk félbehajtani a papírt?
Melyiknek raálisabb a megvalósítása?
Kutatási feladatok
Feladat: 16.8. {g_ii_speckut_4feuerbach_100708ha_01}
Vegyünk fel négy pontot és vizsgáljuk az általuk meghatározott négy háromszög négy Feuerbach körét!
Feladat: 16.9. {g_ii_speckut_izogkonj_100708ha_02}
Vegyük fel az
ABC háromszöget, szerkesszük meg annak
fa
,
fb
,
fc
belső szögfelezőit és tekintsünk egy
P pontot. Tükrözzük az
AP egyenest
fa
-ra,
BP-t
fb
-re,
CP-t
fc
-re. Vizsgáljuk az így kapott egyeneshármast!
A háromszög két Brocard pontja
Feladat: 16.10. {erintoszog_100629SL01}
Adott az
ABC háromszög. Tekintsük
- azt a
k1
kört, amely átmegy
A-n és a
BC oldalt
B-ben érinti,
- azt a
k2
kört, amely átmegy
B-n és a
CA oldalt
C-ben érinti,
- azt a
k3
kört, amely átmegy
C-n és az
AB oldalt
A-ban érinti.
Bizonyítsuk be, hogy e három kör egy ponton megy keresztül.
Feladat: 16.11. {erintoszog_100629SL02}
Bizonyítsuk be, hogy pontosan egy olyan
Q pont van az
ABC háromszög belsejében, amelyre igaz, hogy
ACQ∠=CBQ∠=BAQ∠.
Bizonyítsuk be, hogy pontosan egy olyan
R pont van az
ABC háromszög belsejében, amelyre igaz, hogy
CAR∠=BCR∠=ABR∠.
Definíció. E két pontot a háromszög két
Brocard-pontjának nevezik.
Feladat: 16.12. {erintoszog_100629SL03}
Tekintsük a háromszög két Brocard-pontját, tehát a
16.11. feladatban szereplő
Q és
R pontot. Bizonyítsuk be, hogy a hozzájuk tartozó
ACQ∠ és
BCR∠ szög egyenlő. Röviden: a két Brocard-ponthoz tartozó Brocard-szög egyenlő.
Feladat: 16.13. {erintoszog_100629SL07}
Vetítsük merőlegesen a háromszög három oldalára valamelyik Brocard-pontot (a
16.11. feladatban szereplő valamelyik pontot). Bizonyítsuk be, hogy az így kapott három pont az eredeti háromszöghöz hasonló háromszöget határoz meg.
Feladat: 16.14. {erintoszog_100629SL04}
Legyen a hegyesszögű
ABC háromszög belsejében felvett
Q pont merőleges vetülete az
AB,
BC,
CA oldalon rendre
Z,
X és
Y. Tudjuk, hogy az
XYZ háromszög hasonló a
BCA háromszöghöz a csúcsok ilyen sorrendjében. Bizonyítsuk be, hogy
Q azonos a
16.10. feladatban szereplő ponttal.
Feladat: 16.15. {erintoszog_100629SL05}
Bizonyítsuk be, hogy ha
Q a háromszög egyik Brocard-pontja és
X,
Y és
Z a három oldalra eső merőleges vetülete, akkor
Q az
XYZ háromszögnek is Brocard-pontja.
Az izogonális konjugált
Feladat: 16.16. {megegybizonyitas_100703SL}
A
11.12. feladat megoldásában a következő állítást bizonyítottuk be:
Adott a
P pont az
ABC háromszög belsejében. Tükrözzük az
A-ból induló belső (vagy külső) szögfelezőre az
AP egyenest, a
B-ből induló belső szögfelezőre a
BP egyenest, végül a
C-ből induló belső szögfelezőre a
CP egyenest. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott három egyenes is egy ponton meg keresztül.
Mi a helyzet, ha
P nem a háromszög belsejében van?
Megjegyzés. A három ,,új" egyenes metszéspontját a
P pont
izogonális konjugáltjának nevezzük.
Feladat: 16.17. {izogkonj_100703SL01}
Mi az izogonális konjugáltja (l. a
16.16. feladatot) a következő pontoknak:
a) A háromszögbe írható kör középpontja,
b) a háromszög valamelyik oldalához hozzá írható kör középpontja,
c) a háromszög köré írható kör középpontja,
d) a háromszög magasságpontja?
Feladat: 16.18. {izogkonj_100706SL1}
Legyen
P az
ABC háromszög egy belső pontja és tekintsük a
P pont talpponti háromszögét (l. a
16.19. feladatot). Állítsunk merőlegest az
AB és
AC oldalon levő talppontokat összekötő szakaszra az
A csúcsból, így kapjuk az
a' egyenest. Hasonlóan kapjuk a
b' és a
c' egyenest. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy ponton megy keresztül.
Az általános talpponti háromszög
Feladat: 16.19. {g_ii_talppont_060120_HA_04}
Egy pontnak (
P) valamely háromszög (
ABC) oldalegyeneseire való merőleges vetületei (
AP
∈BC,
PAP
⊥BC,
BP
∈CA,
PBP
⊥CA,
CP
∈AB,
PCP
⊥AB) alkotta háromszöget (
AP
BP
CP
) a pontnak az adott háromszögre vonatkozó
általános talpponti háromszögének nevezzük.
Fejezzük ki a minél
egyszerűbben a
AP
BP
CP
általános talpponti háromszög
oldalainak hosszát az
ABC háromszög
a,
b,
c oldalainak, körülírt köre
R sugarának valamint
a
PAP
=x,
PBP
=y,
PCP
=z távolságoknak a felhasználásával!
Feladat: 16.20. {g_ii_talppont_060120_HA_03}[
156]
Tekintsük az
ABC háromszöget és annak tetszőleges
P belső
pontját. Legyen
A1
B1
C1
a
P pontnak az
ABC háromszögre vonatkozó általános talpponti háromszöge (lásd a
16.19. feladatot), míg
A2
B2
C2
a
P-nek az
A1
B1
C1
háromszögre vonatkozó általános talpponti háromszöge, végül
A3
B3
C3
a
P-nek az
A2
B2
C2
háromszögre vonatkozó általános talpponti háromszöge. Mutassuk meg, hogy
az
ABC,
A3
B3
C3
háromszögek hasonlóak!
Feladat: 16.21. {g_ii_talppont_100811_HA_5}
Jelölje a
P pontnak az
ABC háromszög
AB,
AC oldalegyeneseire vonatkozó tükörképét
PC
illetve
PB
. Vizsgáljuk a
PB
PC
egyenesek rendszerét, ha
P egy olyan körön mozog, amely koncentrikus az
ABC háromszög körülírt körével!
Feladat: 16.22. {g_ii_talppont_100811_HA_7}
*
Jelölje a
P pontnak az
ABC háromszög
AB,
AC oldalegyeneseire vonatkozó tükörképét
PC
illetve
PB
, az
A csúcsnak a
PB
PC
egyenesre vonatkozó tükörképét
A', az
ABC háromszög körülírt körének középpontját
O, magasságpontját
M.
Milyen kapcsolat van a
PO,
AO=R,
AM,
A'M szakaszok hossza között?
Feladat: 16.23. {g_ii_talppont_100811_HA_10}
*
Fejezzük ki az
P pont
ABC háromszögre vonatkozó általános talpponti háromszögének területét az
ABC háromszög
t területével, körülírt körének
R sugarával és a
P pontnak e kör
O középpontjától való
OP=ρ távolságával!
A Lemoine-Grebe pont
Feladat: 16.24. {izogkonj_100703SL02}
Bizonyítandó, hogy a háromszög három szimediánja (lásd a
11.11. feladatot) egy ponton megy keresztül.
Definíció. Az így kapott pontot a háromszög
Lemoine-Grebe pontjának nevezzük.
Feladat: 16.25. {izogkonj_100703SL05}
Az
ABC háromszög köréírt körének
B pontban és
C pontban húzott érintője az
S pontban metszik egymást. Bizonyítandó, hogy ez az
S pont rajta van az
A-ból induló szimediánon.
Feladat: 16.26. {izogkonj_100703SL03}
Bizonyítsuk be, hogy az
ABC háromszög
BC oldalához antiparalel
XY szakaszt a
T pontja pontosan akkor felezi, ha rajta van az
A-ból induló szimediánon.
Feladat: 16.27. {izogkonj_100703SL04}
Jelölje
L az
ABC háromszög Lemoine-Grebe pontját (l. a
16.24. feladatot). Húzzuk meg az
L ponton keresztül menő három antiparalelt a három oldallal. Bizonyítsuk be, hogy e három szakasz hat végpontja egy körön van. Mi a kör középpontja?
Feladat: 16.28. {izogkonj_100703SL07}
* Az
ABC háromszög Lemoine-Grebe féle pontján át húzzunk párhuzamost a három oldallal. Bizonyítsuk be, hogy ennek a három egyenesnek az oldalakkal vett hat metszéspontja egy körön van.
Feladat: 16.29. {izogkonj_100703SL08}
Bizonyítsuk be, hogy mindhárom oldal fölé írható olyan téglalap (lásd a
8.3. feladatot), amelynek a Lemoine-Grebe pont a középpontja.
Feladat: 16.30. {izogkonj_100703SL12}
Jelölje
L az
ABC háromszög Lemoine-Grebe pontját (l. a
16.24. feladatot). Tekintsük az
L ponton átmenő három antiparalel szakaszt. Ezek végpontjai a
16.27. feladat szerint húrhatszöget alkotnak. Bizonyítsuk be, hogy e húrhatszög minden második csúcsát kiválasztva egy olyan háromszöget kapunk, amely hasonló az eredeti
ABC háromszöghöz.
Feladat: 16.31. {izogkonj_100703SL13}
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög Lemoine-Grebe pontjának az oldalaktól vett távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint a megfelelő oldalak. Vagyis ha
da
és
db
jelöli az
a illetve a
b oldaltól vett távolságot, akkor
da
:
db
=a:b.
Feladat: 16.32. {izogkonj_100703SL13a}
Bizonyítsuk be, hogy a
C csúcshoz tartozó szimedián bármely pontjának az oldalaktól vett távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint a közrefogó két oldal.
Feladat: 16.33. {izogkonj_100703SL13b}
Bizonyítsuk be, hogy a
C csúcshoz tartozó szimedián a szemközti oldalt a közrefogó oldalak négyzetének arányában osztja.
Feladat: 16.34. {izogkonj_100708SL01}
Bizonyítsuk be, hogy egy tetszőleges
P pontnak az
ABC háromszög oldalaitól vett távolságai négyzetösszege pontosan akkor minimális, ha e távolságok aránya megegyezik az oldalak arányával.
Következik-e ebből, hogy e távolságok négyzetösszege a háromszög Lemoine-Grebe pontjára minimális?
Feladat: 16.35. {izogkonj_100703SL09}
Adott az
ABC háromszög. Bizonyítsuk be, hogy csak a Lemoine-Grebe pontra igaz, hogy egyszerre középpontja mindhárom oldal fölé írható téglalapnak.
Feladat: 16.36. {izogkonj_100703SL10}
Tekintsük az
ABC háromszög valamelyik oldalfelező pontját az oldalhoz tartozó magasság felezőpontjával összekötő három szakaszt. Bizonyítsuk be, hogy e három szakasz egy ponton megy át.
Feladat: 16.37. {izogkonj_100703SL11}
* Bizonyítsuk be, hogy a háromszög Lemoine-Grebe pontja súlypontja a hozzá tartozó általános talpponti háromszögnek (lásd a
16.19. feladatot).
Feladat: 16.38. {izogkonj_100703SL14}
Adott egy
XYZ háromszög. Tükrözzük ezt a háromszöget az
S súlypontjára. A tükörképet jelöljük
X'Y'Z'-vel. Állítsunk merőlegest
XX' egyenesre
X-ben és
X'-ben,
YY' egyenesre
Y-ban és
Y'-ben, végül
ZZ' egyenesre
Z-ben és
Z'-ben. Bizonyítsuk be, hogy e hat egyenes által meghatározott hatszög csúcsai köré egy
S középpontú kör írható, továbbá hogy a hatszög szemközti csúcsai téglalapot alkotnak.
Feladat: 16.39. {izogkonj_100703SL15}
Bizonyítsuk be, hogy az
ABC háromszög síkjának pontjai közül csak a Lemoine-Grebe pontra igaz, hogy súlypontja a saját talpponti háromszögének.
Feladat: 16.40. {izogkonj_100717SL01}
A következő feladatoknál szükségünk lesz az alábbi definícióra:
Definíció. Adott egy
ABC háromszög. A háromszög síkjában levő
P pontnak a háromszög oldalegyeneseitől vett
előjeles távolságát úgy számoljuk, hogy a
P pont távolsága egy oldaltól pontosan akkor pozitív, ha az oldal a
P pontot nem választja el az oldallal szemközti csúcstól.
Tehát a háromszög belsejében mindhárom oldaltól vett távolság pozitív; például az
A-ból induló
AB-vel és
AC-vel ellentétes irányú félegyenesek által határolt szögtartományban e két oldaltól vett távolság negatív, a
BC-től vett távolság pedig pozitív.
Bizonyítsuk be, hogy azok a pontok, amelyeknek az
AB és
AC oldalegyeneseitől vett előjeles távolságának aránya egy adott valós szám, egy olyan,
A-ra illeszkedő egyenes, amely ,,lukas" az
A pontban.
Feladat: 16.41. {izogkonj_100721SL01}
A sík valamely
P pontjának az
BC és
AC oldalegyenesektől vett előjeles távolsága úgy aránylik egymáshoz, mint
x:y és az
CP egyenes az
AB oldalegyenest az
U pontban metszi. Mennyi az
AU:UB arány?
Feladat: 16.42. {izogkonj_100717SL07}
Adott az
ABC háromszög és három valós szám,
x,
y,
z, egyikük sem nulla.
a) Tekintsük azt az
A-n átmenő egyenest, amely pontjainak a
b és
c oldaltól vett előjeles távolsága úgy aránylik egymáshoz, mint
y:z, azt a
B-n átmenő egyenest, amely pontjainak az
a és
c oldaltól vett távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint
x:z, végül azt a
C-n átmenő egyenest, amely pontjainak az
a és
b oldaltól vett távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint
x:y. Bizonyítsuk be, hogy e három egyenes vagy egy ponton megy keresztül, vagy mindhárom párhuzamos egymással.
Megjegyzés. Előbbi esetben a közös pontra igaz, hogy a három oldalegyenestől (a szokott sorrendben) vett előjeles távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint
x:y:z.
Ha a sík minden irányához hozzárendelünk egy-egy ,,ideális pontot" (l. a
16.16. feladat megoldását is), akkor ezt a konvenciót használva azt mondhatjuk, hogy az utóbbi esetben a három egyenes közös irányához tartozó ,,ideális pont" a három egyenes közös pontja, és erre teljesül az állításunk.
A továbbiakban egy adott
ABC háromszög esetén e háromszög síkjának minden, a háromszög oldalegyenesein levő pontoktól különböző - valódi és ,,ideális" - pontjához hozzárendeljük az oldalaktól vett előjeles távolságainak arányhármasát. (Az
x:y:z és a
λx:λy:λz arány
λ≠0 esetén természetesen azonos.) Ha a háromszög oldalegyeneseinek pontjait kizárjuk, akkor minden ilyen arányhármas értelmes.
Ez abból következik, hogy ha egy - valós vagy ideális - pont nincs egyik oldalegyenesen sem, akkor a feladat elején definiált három egyenes egyike sem azonos valamelyik oldalegyenessel.
Másrészt ha
xyz≠0, akkor az
x:y:z arányhármashoz a fenti egyenesek közös pontját rendelve minden ilyen arányhármashoz rendeltünk egy pontot, éspedig olyan pontot, amelyik nem illeszkedik egyik oldalegyenesre sem.
b) Bizonyítsuk be, hogy különböző arányhármasokhoz különböző pontok tartoznak.
c) Bizonyítsuk be, hogy ha
x,
y és
z is pozitív, akkor az
x:y:z arányhármashoz valódi pont, a háromszög egy belső pontja tartozik.
Hogy melyik arányhármasokhoz tartozik ,,ideális pont", azt a
16.55. feladat alapján fogjuk jobban látni.
Feladat: 16.43. {izogkonj_100717SL02}
Adott egy
ABC háromszög. Határozzuk meg, hogy a síkjának melyik pontját jellemzik az alábbi arányhármasok:
a)
1:1:1,
b)
1:1:-1,
c)
-1:-1:1,
d)
1/a:1/b:1/c.
Feladat: 16.44. {izogkonj_100717SL03}
Adott egy
ABC háromszög. Határozzuk meg, hogy a síkjának melyik pontját jellemzi az
a:b:c=sinα:sinβ:sinγ arányhármas.
Feladat: 16.45. {izogkonj_100717SL03a}
Adott egy
ABC háromszög. Határozzuk meg, hogy a síkjának melyik pontját jellemzi a
cosα:cosβ:cosγ arányhármas.
Feladat: 16.46. {izogkonj_100717SL03b}
Adjuk meg a háromszög szögeinek ismeretében, hogy milyen arányhármas tartozik a háromszög magasságpontjához.
Feladat: 16.47. {izogkonj_100717SL04}
Adott egy
ABC háromszög. Határozzuk meg, hogy a síkjának melyik pontját jellemzi
a) az
1/a:1/b:-1/c arányhármas és
b)* az
a:b:-c arányhármas.
Feladat: 16.48. {izogkonj_100718SL07}
Bizonyítsuk be, hogy a
P pont akkor és csak akkor az
ABC háromszög köréírt körének egy, háromszög csúcsaitól különböző pontja, ha valamely
ϕ konvex, nullától,
α-tól és
α+γ-tól különböző szögre igaz, hogy
P-hez
-sinϕsin(α-ϕ):sin(β+ϕ)sinϕ:sin(β+ϕ)sin(α-ϕ) arányhármas tartozik.
Feladat: 16.49. {izogkonj_100708SL02}
Bizonyítsuk be, hogy az egyetlen olyan pont, amelynek az oldalaktól vett távolságai négyzetösszege minimális, a háromszög Lemoine-Grebe pontja.
Feladat: 16.50. {izogkonj_100717SL06}
Az
ABC háromszög síkjának egy, nem a kerületen levő
P pontjához az
x:y:z (előjeles) távolságarányhármas tartozik. Milyen arányhármas tartozik az izogonális konjugáltjához?
Feladat: 16.51. {izogkonj_100717SL08}
Adjunk a
16.50. feladat gondolatmenete alapján új bizonyítást az izogonális konjugált létezését kimondó
16.16. feladat állítására!
Feladat: 16.52. {izogkonj_100718SL03}
Igaz-e, hogy egy - nem a háromszög oldalegyeneseire illeszkedő - pont izogonális konjugáltjának izogonális konjugáltja maga a pont?
Feladat: 16.53. {izogkonj_100717SL09}
Adjunk a
16.50. feladat alapján új bizonyítást arra, hogy a Lemoine-Grebe ponthoz az
a:b:c arányhármas tartozik, azaz hogy a Lemoine-Grebe pontnak az oldalaktól vett távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint a megfelelő oldalak (l. a
16.31. feladatot).
Feladat: 16.54. {izogkonj_100718SL04}
Adjunk új bizonyítást . feladat állítására a
16.50. feladat alapján!
Feladat: 16.55. {izogkonj_100717SL10}
Adott az
ABC háromszög. Bizonyítsuk be, hogy az
x:y:z arányhármashoz (
xyz≠0) pontosan akkor tartozik ideális pont, ha van olyan
0-tól,
α-tól és
α+γ-tól különböző konvex
ϕ szög, amelyre ez az arányhármas egyenlő a
-sin(β+ϕ):sin(α-ϕ):sinϕ arányhármassal.
Feladat: 16.56. {izogkonj_100718SL05}
Egy
PQR háromszöget akkor nevezünk az
ABC háromszögbe írt háromszögnek, ha a
P,
Q,
R pont rendre a
BC,
CA,
AB oldalra illeszkedik.
Legyen
ABC hegyesszögű háromszög és
PQR egy olyan, a háromszögbe írt háromszög, amely oldalainak négyzetösszege minimális. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a
PQR háromszög a Lemoine-Grebe pont talpponti háromszöge.
Megjegyzés. További, a Lemoine-Grebe pont tulajdonságaira vonatkozó tételeket találunk Surányi László
A háromszög kevésbé ismert nevezetes pontjairól c. cikkében[
150].
Feladat: 16.57. {izogkonj_100724SL05}
Igazoljuk, hogy a
ABC háromszög
A-ból induló szimediánját a Lemoine-Grebe pont
b2
+
c2
:
a2
arányban osztja (
a,
b,
c a megfelelő oldalak hosszát jelöli).
A sík vizsgálata az egyenesről
Feladat: 16.58. {sikazegyenesrol_haroldatanafa_100703ha15}
Adott az
e egyenes és rajta négy pont:
A,
I,
NA
,
HA
.
Szerkesztendő háromszög, melynek
A-ból induló szögfelezője az adott egyenes, rajta
I,
NA
,
HA
rendre a beírt kör középpontja, a
BC oldal metszéspontja és a háromszög körülírt körének (
A-tól különböző) pontja
Feladat: 16.59. {sikazegyenesrol_haroldatanafa_100703ha10}
Adott az
e egyenes és rajta négy pont:
B,
TA
,
NA
,
FA
.
Szerkesztendő háromszög, melynek
BC oldalegyenes az adott egyenes, rajta
TA
,
NA
,
FA
rendre illeszkedik az
A csúcsból induló magasságvonalra, szögfelezőre és súlyvonalra.
Feladat: 16.60. {sikazegyenesrol_negyzetvetulet_100701ha01}
Adott az
e egyenes és rajta négy pont:
EA
,
EB
,
EC
és
ED
.
a) A négy pont mely elhelyezkedése esetén létezik a síkon olyan
ABCD négyzet, amely csúcsainak
e egyenesre való merőleges vetületei a megadott pontok (a betűzésnek megfelelően)?
b) Fejezzük ki a négyzet területét a megadott pontok közti távolságok függvényeként!
Feladat: 16.61. {sikazegyenesrol_szabharvetulet_100701ha02}
Adott az
e egyenes és rajta három pont:
EA
,
EB
és
EC
.
a) A három pont mely elhelyezkedése esetén létezik a síkon olyan
ABC szabályos háromszög, amely csúcsainak
e egyenesre való merőleges vetületei a megadott pontok (a betűzésnek megfelelően)?
b) Fejezzük ki a szabályos háromszög területét a megadott pontok közti távolságok függvényeként!
Feladat: 16.62. {sikazegyenesrol_szabharmetsz_100701ha03}
Adott az
e egyenes és rajta három pont:
EAB
,
EBC
és
ECA
.
a) Szerkesztendő
ABC szabályos háromszög, melynek
AB,
BC,
CA oldalegyenesei rendre a megadott pontokban metszik az
e egyenest.
b) Kifejezhető-e a szabályos háromszög területe a megadott pontok közti távolságok függvényeként?
Feladat: 16.63. {sikazegyenesrol_szabharmetsz_100701ha04}
Adott az
e egyenes és rajta három pont:
EAB
,
EBC
és
ECA
.
Tekintsük mindazon adott körüljárású
ABC szabályos háromszögeket, melyek
AB,
BC,
CA oldalegyenesei rendre a megadott pontokban metszik az
e egyenest.
a) Mutassuk meg, hogy van egy olyan
P pont a síkon, amelyen ezen háromszögek körülírt körei mind átmennek!
b) Tekintsük az
e egyenest számegyenesnek, amelyen az
EAB
,
EBC
,
ECA
pontoknak rendre a
c,
a,
b számok felelnek meg. Fejezzük ki ezekkel a
P pont
e egyenesre való
EP
merőleges vetületének megfelelő
p számot!
Feladat: 16.64. {sikazegyenesrol_negyzetmetsz_100701ha05}
Adott az
e egyenes és rajta négy pont:
EAB
,
EBC
,
ECD
és
EDA
.
a) Szerkesztendő
ABCD négyzet, melynek
AB,
BC,
CD,
DA oldalegyenesei rendre a megadott pontokban metszik az
e egyenest.
b) Fejezzük ki a négyzet területét a megadott pontok közti távolságok függvényeként!
A csúsztatva tükrözés geometriája
A körre vonatkozó összefüggések, pl a kerületi szögek tétele természetes módon kapcsolódnak a forgatás tulajdonságaihoz (lásd pl az 5.10., 5.11., 5.13. feladatokat). A csúsztatva tükrözés vizsgálatából is hasonló érdekes összefüggések vezethetők le, amelyek azonban nem a körre vonatkoznak.
Feladat: 16.65. {csusztuk_geoszog_100708ha_01}
Legyen
τ valamely rögzített
t tengelyre való tükrözés és az azzal párhuzamos
v
‾
vektorral való eltolásból álló csúsztatva tükrözés.
Rögzítsünk egy tetszőleges
A pontot a síkon. Tekintsük minden
A-ra illeszkedő
a egyenes esetén az
a,
τ(a) egyenesek
Pa
metszéspontját!
Határozzuk meg a
Pa
pontok halmazát a síkon!
Feladat: 16.66. {derhip_szerk_100708ha_01}
Adott egy derékszögű hiperbola középpontja és két - a középpontra nem szimmetrikusan elhelyezkedő - pontja. Szerkesszük meg a hiperbola aszimptotáit!
Feladat: 16.67. {csusztuk_geoszog_merthely_100708ha_02}
Adott a síkon két pont,
A és
B, valamint egy szög:
ϕ. Határozzuk meg azon
P pontok mértani helyét a síkon, amelyekre a
PAB∢,
PBA∢ irányított szögek
a) különbsége;
b) összege
egyenlő
2ϕ-vel!
Feladat: 16.68. {csusztuk_geoszog_merthely_100708ha_10}
Adott a síkon három pont:
A,
Q és
Q'. Mi azon
P pontok mértani helye a síkon, amelyekre
a)
AQP∢≡AQ'P∢ (mod
180∘
);
b)
AQP∢≡PQ'A∢ (mod
180∘
)?
Feladat: 16.69. {csusztuk_geoszog_merthely_100708ha_03}
Adott a síkon két pont,
A és
B. Határozzuk meg azon
C pontok mértani helyét a síkon, amelyekre az
ABC háromszög
C-nél levő szögének egyik szögfelezője
a) átmegy az
AB szakasz felezőmerőlegesének egy előre rögzített pontján;
b) párhuzamos egy előre rögzített egyenessel.
Feladat: 16.70. {csusztuk_geoszog_merthely_100708ha_04}
Adott a síkon három pont:
A,
Q és
Q'. Mi azon
P pontok mértani helye a síkon, amelyekre az
AQP háromszög körülírt körének
AP egyenesre tükrözött képe átmegy
Q'-n?
Feladat: 16.71. {csusztuk_geoszog_merthely_100708ha_04vari}
Adott a síkon három pont:
A,
Q és
Q'. Mi azon
P pontok mértani helye a síkon, amelyekre az
AQP,
AQ'P háromszögek körülírt köre egyenlő sugarú?
Feladat: 16.72. {csusztuk_geoszog_merthely_100708ha_25}
Adott a síkon három pont:
A,
B és
C. Egy derékszögű hiperbola mind a három ponton átmegy.
a) Hol lehet a
C pontnak a hiperbola középpontjára tükrözött képe?
b) Hol lehet a hiperbola szimmetriaközéppontja?
Feladat: 16.73. {csusztuk_geoszog_merthely_100709ha_30}
Mutassuk meg, hogy ha egy derékszögű hiperbola átmegy egy háromszög három csúcsán, akkor a magasságpontján is átmegy!
Feladat: 16.74. {csusztuk_geoszog_100708ha_03}
Adott a síkon az
ABC háromszög. Tekintsük azokat az
ABC-vel egybevágó
A'B'C' háromszögeket, amelyekre
CA∩C'A'=A,
CB∩C'B'=B és amelyekre
a) az
ABC,
A'B'C' háromszögek körüljárása megegyezik;
b) az
ABC,
A'B'C' háromszögek körüljárása ellentétes.
Határozzuk meg a
C' pontok mértani helyét a síkon!
Feladat: 16.75. {csusztuk_geoszog_100708ha_04}
Ha
M' az
ABC háromszög körülírt körének tetszőleges pontja, akkor van olyan
A'B'C' háromszög, amely rendelkezik az alábbi négy tulajdonsággal:
- egybevágó
ABC-vel,
- ellenkező körüljárású, mint
ABC,
- magasságpontja
M',
-
A∈A'M',
B∈B'M',
C∈C'M'.
Feladat: 16.76. {csusztuk_geoszog_100708ha_05}
Az
ABC háromszög magasságpontja
M. Adott a háromszög körülírt körén egy
M' pont. Mutassuk meg, hogy van olyan derékszögű hiperbola (vagy merőleges egyenespár), amelynek szimmetriaközéppontja az
MM' szakasz
M felezőpontja és amelyre illeszkednek az
A,
B,
C,
M,
M' pontok!
Feladat: 16.77. {csusztuk_geoszog_100708ha_10}
Szerkesztendő a sík négy előre adott pontjára illeszkedő derékszögű hiperbola két aszimptotája.