5. FEJEZET: Projektív geometria{mchap:g_iii_proj}
Perspektivitás
Feladat: 5.1. {g_iii_proj_081226_dsha_i01}
Figyeljük meg Dürer ,,A művész kannát rajzol" című metszetét (
1. ábra)! A rajzoló ábrázolja a kanna alapját alkotó négyzetlapot, párhuzamosok lesznek-e annak oldalai a képén?
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_i01fela}
Feladat: 5.2. {g_iii_proj_081226_dsha_i02}[
116]
Az
1. ábrán egy focipálya fényképe látható. Szerkesszük meg a
a) pálya középvonalát;
b) az alapvonalakkal párhuzamos, azok távolságát harmadoló egyeneseket!
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_i02fela}
Feladat: 5.3. {g_iii_proj_081226_dsha_i04}
Nyissuk ki derékszögben a füzetünket (lásd az
1. ábrát) és az egyik oldalon található (vagy az oldal mellé helyezett) négyzethálót vetítsük át a tér egy pontjából a másik lapra (a mindkét lapot képzeljük teljes síknak).
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_i04fela}
a) Rajzoljuk meg a hálóvonalak képét!
b) Mely pontoknak nem lesz képe a füzetlap síkjában?
c) Párhuzamosak-e az eredetileg párhuzamos rácsvonalak képei?
Feladat: 5.4. {g_iii_proj_081226_dsha_i04albert}
(
Ábramagyarázat Leon Battista Alberti (1404-1472) ,,De pictura" című könyvéhez)
A festő a terem padlóját jeleníti meg vásznán. A padló negyzetrácsos elrendezésű parketta (,,pavimenti"). A vászon a padlóig ér, alja, az
1. ábrán az
AB szakasz, épp egybeesik az egyik parkettasor kezdetével, a parkettalapok szélei tehát
AB-vel párhuzamosak illetve merőlegesek rá. A festő a terem szimmetriatengelyében áll, egynem egy parkettalap oldalaira merőleges szimmetriasíkjában. A festőhöz legközelebbi parketta (a festő egyik szeméből vetített) képe a vásznon az
UVWZ szimmetrikus trapéz, melynek alapjai
UV=c>a=ZW, magassága pedig
m. A trapéz szárainak meghosszabbításai az
O pontban metszik egymást.
Fejezzük ki
a,
c és
m segítségével a
a) festő szemmagasságát;
b) festő és a vászon távolságát!
Az
1. ábrán megrajzoltuk a parkettalapok egymással párhuzamos átlóinak képét is.
Ezek egy
P pontban metszik egymást.
c) Mutassuk meg, hogy
OP és
AB párhuzamosak.
d) Bizonyítsuk be, hogy az
OP távolság megegyezik a festő és a vászon távolságával.
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_i04albertfela}
Feladat: 5.5. {g_iii_proj_081226_dsha_i05}
Tekintsük a térbeli koordinátarendszerben az
O origót, a
z=1 egyenletű
Σ síkot és az
x=1 egyenletű
Π síkot.
Vetítsük át a
Σ síkot
O-ból a
Π síkra.
a) A
Σ sík mely pontjainak nem lesz képe a vetítésnél?
b) A
Π sík mely pontjai nem állnak elő a
Σ sík egyik pontjának képeként sem?
Tekintsük a
Σ sík
P0
(0,0,1),
P1
(0,1,1),
P2
(0,2,1) pontjait és az azokon áthaladó egymással párhuzamos
e
‾
(1,0,0) irányvektorú
e0
,
e1
,
e2
egyeneseket valamint a
P0
,
P1
pontokon átmenő
f
‾
(1,1,0) irányvektorú
f0
,
f1
egyeneseket.
c) Határozzuk meg az
e1
∩
f0
,
e2
∩
f0
,
e2
∩
f1
metszéspontok és vetítésnél származó képeik koordinátáit!
d) Hol metszik egymást az
e0
,
e1
,
e2
egyenesek képei?
e) Hol metszik egymást az
f0
,
f1
egyenesek képei?
Feladat: 5.6. {g_iii_proj_081226_dsha_i03}
Adott egy konvex négyszög, egy négyzetalakú parkettákból álló padló egyetlen négyzetének képe egy festményen vagy fényképen (lásd pl Vermeer ,,Koncert" című festményének az
1. ábrán látható részletét). Szerkesszük tovább a képet, rajzoljuk meg a szomszédos parkettalapokat!
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_i03fela}
Feladat: 5.7. {g_iii_proj_081226_dsha_i10}
Adott egy négyszög.
a) Mutassuk meg, hogy átvetíthető egy másik síkba, hogy képe paralelogramma legyen!
b) Átvihető-e vetítések egymás utáni alkalmazásával négyzetbe?
c) Átvihető-e egyetlen megfelelő vetítéssel négyzetbe?
A kettősviszony fogalma (pontok és egyenesek)
Feladat: 5.8. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz01}
Ha
A,
B,
C három pont, amelyek egy egyenesen vannak, akkor hozzájuk rendelhető egy valós szám, a három pont osztóviszonya. Ehhez az egyenesen felveszünk egy irányítást és rajta a
PQ távolságot irányítottan értelmezzük: ha
P-től
Q az egyenes felvett irányításának megfelelő irányban van, akkor
PQ előjeles távolságot pozitívnak, egyébként negatívnak tekintjük. Az osztóviszonyt az
(ABC)=AC/CB hányados értéke adja meg.
a) Mutassuk meg, hogy az osztóviszony értéke nem változik meg, ha az egyenes irányítását megfordítjuk!
b) Adott az
A és a
B pont. Az
(ABC) osztóviszony értéke mely
C pontokra lesz negatív, illetve mikor lesz pozitív?
c) Az
A=B,
B=C,
C=A,
A=B=C speciális elrendeződések melyike esetén értelmezhető az osztóviszony és mennyi az értéke?
d) Adott az
A és a
B pont. Keressük meg az összes olyan
C pontot, amelyre
(ABC) értéke
1,
2,
-1,
-2!
e) Melyek azok a valós értékek, amelyet
(ABC) nem vesz fel? Van-e olyan érték amelyet, rögzített
A,
B esetén, több
C pontnál is felvesz?
f) Mutassuk meg, hogy
(ABC) értéke nem változik meg a sík hasonlósági transzformációinál!
g) Változhat-e
(ABC) értéke ha az egyenes a sík egy pontjából egy másik egyenesre vetítjük?
Feladat: 5.9. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz02}
Ha
A,
B,
C,
D négy pont, amelyek egy egyenesen vannak, akkor hozzájuk rendelhető egy szám, a négy pont
kettősviszonya, az osztóviszonyok hányadosa:
(ABCD)=(ABC)/(ABD)=
AC
CB
/
AD
DB
=
AC·DB
CB·AD
.
a) Adott az egymástól különböző
A, a
B és a
C pont. Az
(ABCD) kettősviszony értéke mely
D pontokra lesz negatív, illetve mikor lesz pozitív?
b) Ha az
A,
B,
C,
D pontok között azonosak is vannak, akkor mely esetekben hogyan értelmezhető a kettősviszonyuk?
c) Adott az
A, a
B és a
C pont. Szerkesszük meg az összes olyan
D pontot, amelyre
(ABCD) értéke
1,
2,
-1,
-2!
d) Melyek azok a valós értékek, amelyet
(ABCD) nem vesz fel? Van-e olyan érték amelyet, rögzített
A,
B,
C esetén, több
D pontnál is felvesz?
e) Mutassuk meg, hogy
(ABCD) értéke nem változik meg a sík hasonlósági transzformációinál!
Feladat: 5.10. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz03}
(
Egyenesek kettősviszonya)
Jelölje az
a és
b egyenesek szögét
(ab),
ezt irányítva értjük. A metszéspontjuk körül
a-t
(ab) szöggel
az óra járásával ellentétes irányba elforgatva éppen
b-t kapjuk. Az
(ab) szög csak modulo
180∘
definiált.
Ha
a,
b,
c,
d négy egyenes, melyek egy ponton haladnak át,
akkor kettősviszonyukat jelölje
(abcd). Ez egy szám, melyet így
definiálunk:
(abcd)=
sin(ac)
sin(cb)
:
sin(ad)
sin(db)
.
|
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz03_fela}
Mutassuk meg, hogy ha
A,
B,
C és
D egy egyenesen elhelyezkedő pontok és
O erre az egyenesre nem illeszkedő pont, akkor az
OA=a,
OB=b,
OC=c,
OD=d egyenesekre
(abcd)=(ABCD)!
Feladat: 5.11. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz03vetinv}
(
A kettősviszony invarianciája vetítésnél)
Mutassuk meg, hogy a vetítés megtartja a kettősviszonyt, azaz ha az egy egyenere illeszkedő
A,
B,
C,
D pontok képei az egyenesnek egy másik egyenesre való vetítésénél
A',
B',
C' és
D', akkor
(ABCD)=(A'B'C'D').
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz03vetinv_fela}
Feladat: 5.12. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz04}
A számegyenesen az
A pont a 0-nál, a
B az 1-nél, a
C a 3-nál van. Hol van a
D pont, ha
(ABCD)=4?
Feladat: 5.13. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz05}
Az
A,
B,
C,
D, pontok a számegyenesen rendre
-3,
1,
7,
10-nél vannak, a számegyenes ideális pontját jelölje
E. Mekkora a következő kettősviszonyok értéke:
a)
(ABCD);
b)
(DCBA);
c)
(ABCE)?
Feladat: 5.14. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz05elojel}
(
A kettősviszony előjele)
Határozzuk meg fejben az
(ABCD) kettősviszony előjelét, ha
A,
B,
C,
D rendre a számegyenes alább megadott pontjainak felelnek meg:
a)
1
4
5
10;
b)
(-1)
4
5
10;
c)
1
4
(-5)
10;
d)
1
4
10
5;
e)
1
4
5
3;
f)
1
4
2
3;
g)
1
4
2
(-3);
h)
1
4
(-2)
(-3).
Feladat: 5.15. {g_iii_proj_081226_ds_ketvisz05egy}
Adott egy sugársor három eleme
a,
b,
c.
Szerkesszük meg a sugársor
d elemét úgy hogy
(abcd) értéke
a) 2;
b) -2
legyen.
Feladat: 5.16. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz06}
a) Mutassuk meg vetítésekkel, hogy
(ABCD)=(BADC), azaz vetítések sorozatával vigyük át az
A,
B,
C,
D pontnégyest a
B,
A,
D,
C pontnégyesbe!
b) Ehhez hasonlóan igazoljuk, hogy
(ABCD)=(DCBA).
Feladat: 5.17. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz07}
Igazoljuk, hogy egy egyenes tetszőleges öt
pontjára teljesül, hogy
(ABCD)(ABDE)=(ABCE).
Feladat: 5.18. {g_iii_proj_081227_dsha_ketvisz22}
Adott egy egyenesen hét pont:
A,
B,
C,
D,
A',
B', és
C'. Szerkesszünk olyan
D' pontot, amelyre
(ABCD)=(A'B'C'D').
Feladat: 5.19. {g_iii_proj_081227_dsha_ketvisz23}
a) Mutassuk meg, hogy ha adott
λ valós szám és egy egyenes három pontja,
A,
B és
C, akkor az egyenesen egy és csakis egy olyan
D pont van, amelyre
(ABCD)=λ.
b) Igazoljuk, hogy ha fent
λ komplex szám és
A,
B,
C a komplex számsík pontjai, akkor is egyértelműen létezik a
D pont, melyre
(ABCD)=λ.
Feladat: 5.20. {g_iii_proj_090101_dsha_vetegyertelmu01}
a) Mutassuk meg, hogy ha adott egy egyenes három különböző pontja,
A,
B és
C, valamint három további, az előzőekkel esetleg egyező, de egymástól különböző pontja,
A',
B' és
C', akkor van vetítéseknek olyan
ϕ kompozíciója, amely az egyenest önmagára képezi és
ϕ(A)=A',
ϕ(B)=B',
ϕ(C)=C'.
b) Igazoljuk, hogy ha a fenti
ϕ transzformáció hatását tekintve egyértelmű, tehát az egyenes bármely
D pontjára a
ϕ(D) pont egyértelműen meghatározott.
Feladat: 5.21. {g_iii_proj_090101_dsha_ketvisz30}
a) Az alábbi
R∪{∞}→R∪{∞} függvények közül melyek tartják meg a valós számnégyesek kettősviszonyát (a függvényeket a végtelenben ottani határértékükkel értelmezzük)?
f(x)=x+3,
g(x)=
x2
,
h(x)=4x,
j(x)=
1
x
,
f(x)=
x3
-1.
b) A fenti függvények
C∪{∞}→C∪{∞} hozzárendeléseknek is felfoghatók. Melyek tartják meg közülük a komplex kettősviszonyt?
Feladat: 5.22. {g_iii_proj_090101_dsha_ketvisz30plusz}
Adjuk meg az összes olyan
R∪{∞}→R∪{∞} függvényt, amely megtartja a valós számnégyesek kettősviszonyát (a függvényeket a végtelenben ottani határértékükkel értelmezzük)!
Feladat: 5.23. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz08}
(
A kettősviszony permutációi)
Legyen
(ABCD)=x. Tekintsük az
A,
B,
C,
D betűk
24 permutációját. Mindegyik
π permutációhoz tartozik egy
(π(A)π(B)π(C)π(D)) kettősviszony. Ennek hányféle értéke van? Fejezzük ki a lehetséges értékeket
x-szel!
Feladat: 5.24. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz20}
(
Kettősviszony vektorokkal)
Adott az
e egyenes, rajta az
A,
B,
C,
D pontok, továbbá az
e-re nem illeszkedő
O pont. Tekintsük az
OA,
OB,
OC,
OD egyenesek
a
‾
,
b
‾
,
c
‾
,
d
‾
irányvektorait és legyen
{eq:2008nov17_projgeo_kettosviszonyvektorokkal01}
c
‾
=
α1
a
‾
+
β1
b
‾
,
d
‾
=
α2
a
‾
+
β2
b
‾
.
|
| (1) |
Fejezzük ki az
(ABCD)=
AC
CB
/
AD
DB
kettősviszonyt az
α1
,
β1
,
α2
,
β2
változókkal!
A kettősviszony fogalma (köri pontok, komplex számok)
Feladat: 5.25. {g_iii_proj_081226_dsha_invesketvisz}
(
Komplex osztóviszony és kettősviszony)
a)
A
z1
,
z2
,
z3
komplex számok
kettősviszonya a
(
z1
,
z2
,
z3
)=
z1
-
z3
z3
-
z2
|
komplex
szám.
Mutassuk meg, hogy három komplex szám osztóviszonya pontosan
akkor valós, ha a komplex számsíkon egy egyenesre illeszkednek!
b) Bizonyítsuk be, hogy az osztóviszony irányítástartó hasonlósági
transzformációkra invariáns!
c) A
z1
,
z2
,
z3
,
z4
komplex számok
kettősviszonya a
(
z1
,
z2
,
z3
,
z4
)=
(
z1
,
z2
,
z3
)
(
z1
,
z2
,
z4
)
=
z1
-
z3
z3
-
z2
:
z1
-
z4
z4
-
z2
|
komplex
szám. Igazoljuk, hogy négy komplex szám kettősviszonya és inverziónál származó képeik kettősviszonya egymás konjugáltja!
d) Mutassuk
meg, hogy négy komplex szám kettősviszony pontosan akkor valós, ha
a komplex számsíkon egy egyenesre vagy körre illeszkednek!
e) Mutassuk
meg, hogy négy komplex szám kettősviszony pontosan akkor negatív, ha
egy egyenesre vagy körre illeszkednek és azon az
AB pontpár elválasztja a
CD pontpárt!
Feladat: 5.26. {g_iii_proj_081226_ds_koriketvisz01}
(
Köri pontok kettősviszonya I.)
Legyen egy kör
6 pontja
A,
B,
C,
D,
P,
Q. Jelölje
PA,
PB,
PC,
PD egyenesét
a,
b,
c,
d.
Jelölje
QA,
QB,
QC,
QD egyenesét
a',
b',
c',
d'.
a) Igazoljuk, hogy
(abcd)=(a'b'c'd').
b) Mutassuk meg, hogy ez az összefüggés akkor is fennáll, ha
P megegyezik az
A,
B,
C,
D pontok egyikével, ha ilyenkor az egybeeső pontok összekötő egyenesének a kör adott pontbeli érintőjét tekintjük!
Feladat: 5.27. {g_iii_proj_081226_dsha_kompesvalketvisz01}
(
A komplex és a projektív kettősviszony azonossága)
Adott a
k körön az
A,
B,
C,
D és a
P. Mutassuk meg, hogy a
PA=a,
PB=b,
PC=c,
PD=d sugárnégyes
(abcd) kettősviszonya egyenlő az
A,
B,
C,
D pontnégyes, mint négy komplex szám, kettősviszonyával (lásd a
3.60. feladatot)!
Feladat: 5.28. {g_iii_proj_081226_ds_koriketvisz05}
A
k kört érintik az
a,
b,
c,
d,
p,
q
egyenesek. Jelölje
p egyenesnek az
a,
b,
c,
d
egyenesekkel való metszéspontjait rendre
A,
B,
C,
D.
Jelölje
q egyenesnek az
a,
b,
c,
d egyenesekkel való
metszéspontjait rendre
A',
B',
C',
D' (lásd az
1. ábrát). Igazoljuk, hogy
(ABCD)=(A'B'C'D').
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_ds_koriketvisz05fela}
Feladat: 5.29. {g_iii_proj_090220_dsha_steinertengely01}
(
Steiner-tengely)
Adott a
k kör hat pontja:
A,
B,
C és
A',
B',
C'. Az
A,
B,
C pontok különböznek egymástól és
A',
B',
C' is három különböző pont.
a) Mutassuk meg, hogy a
k körnek legfeljebb egy olyan önmagára való kettősviszonytartó leképezése van, amelynél
A,
B és
C képei rendre
A',
B' és
C'!
b) Mutassuk meg, hogy van ilyen önmagára való leképezése a körnek!
c) Az
1. ábrán
M és
N az
pontokon át húzott
βγ egyenes és a
k kör metszéspontjai. Mutassuk meg, hogy
M és
N az a)-b) feladatrészek szerint egyértelműen létező transzformáció fixpontjai!
1. ábra{fig:g_iii_proj_090220_dsha_steinertengely01}
Harmonikus elválasztás
Feladat: 5.30. {g_iii_proj_081226_dsha_ketvisz09}
(
Speciális elrendezések)
a) Mennyi lehet a számegyenes
A,
B,
C,
D pontjainak kettősviszonya, ha a pontok 24 permutációjánál a kettősviszony értékére hatnál kevesebb különböző értéket kapunk?
b) A komplex számsíkon komplex kettősviszonnyal számolva kaphatunk-e az a) részben feltett kérdésre más értéket is?
Feladat: 5.31. {g_iii_proj_081226_ds_harmonikus01}
Adott egy egyenesen négy pont
A,
B,
C,
D.
Lehetséges-e, hogy
(ABCD)=(ABDC)? Mekkora lehet
(ABCD)
értéke? Ilyen helyzetben azt is mondhatjuk, hogy
A és
B-re
vonatkozóan
C harmonikus társa
D.
Feladat: 5.32. {g_iii_proj_081226_ds_harmonikus02}
Igazoljuk, hogy ha
A és
B-re vonatkozóan
C
és
D harmonikus társak, akkor
C és
D-re vonatkozóan
A és
B is harmonikus társak.
Feladat: 5.33. {g_iii_proj_081226_ds_harmonikus03}
Adott egy egyenesen három pont
A,
B,
C.
Szerkesszük meg az egyenesen
D-t úgy, hogy
(ABCD) értéke
-1
legyen. Ez a szerkesztés elvégezhető csak vonalzóval is. Hogyan?
Feladat: 5.34. {g_iii_proj_081226_ds_harmonikus04}
Egy sugársor négy eleme
a,
b,
c,
d.
(abcd) értéke
-1. Hogyan helyezkedik el
a)
d, ha
c az
a és
b egyik szögfelezője?
b)
c és
d, ha
a és
b merőlegesek?
Feladat: 5.35. {g_iii_proj_081226_ds_harmonikus05}
Az
ABC háromszög
AB,
BC és
CA oldalain
vannak rendre a
C',
A',
B' pontok. Az
AA',
BB',
CC'
egyenesek egy sugársorhoz tartoznak. Az
A'B' egyenes
D-ben
metszi az
AB egyenest. Igazoljuk, hogy
(ABC'D) értéke
-1.
Feladat: 5.36. {g_iii_proj_090129_ha_harmonikus01}
Jelölje az
ABCD trapéz
AC,
BD átlóinak metszéspontját
U, az
AD,
BC szárak meghosszabbításának metszépontját
V, az
AB,
CD alapok felezőpontjait
F és
G. Mutassuk meg, hogy
a) az
U,
V,
F,
G pontok egy egyenesen vannak;
b)
(UVFG)=-1.
Feladat: 5.37. {g_iii_proj_081226_ds_harmonikus06}
A
k körhöz a
D külső pontból érintőket
húzunk. Az érintési pontok
S és
T. Egy
D-n áthaladó szelő
A és
B pontokban metszi
k-t
C-ben pedig
ST-t. Igazoljuk,
hogy
(ABCD) értéke
-1.
Feladat: 5.38. {g_iii_proj_081226_ds_harmonikus06inv}
Tekintsük a
k kört és a rá nem illeszkedő
O pontot. Az
O pontból a kört önmagára vetíthetjük, azaz tekintjük azt a
ϕ:k→k leképezést, amelyre
ϕ(P) az
OP egyenes és a
k kör
P-től különböző metszéspontja, illetve
ϕ(P)=P, ha
OP érinti
k-t (lásd az
1. ábrát).
a) Mutassuk meg, hogy
ϕ kettősviszonytartó leképezés!
b) Mutassuk meg, hogy ha
ϕ a
k körnek önmagára való kettősviszonytartó leképezése, amelynek a négyzete az identitás (azaz
P∈k esetén
ϕ(ϕ(P))=P, tehát
ϕ involúció), akkor létezik olyan
O pont a síkon, amely bármely
P∈k pont esetén illeszkedik a
P,
ϕ(P) pontok összekötő egyenesére, illetve a
k kör
P-beli érintőjére, ha
P=ϕ(P).
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_ds_harmonikus06invfela}
Kúpszeletek, kör vetítése
Feladat: 5.39. {g_iii_proj_090102_ha_qpsz01_apolloniusz01}[
13]
(
Kúpszeletek a pergéi Apollóniosz ,,Kónika" című könyvsorozatából)
Ha adott valamely
Σ síkban egy
k kör és a
Σ síkon kívül a térben egy
A pont, akkor az
A pontot tartalmazó és
k egy-egy pontján átmenő egyenesek uniójaként létrejövő ponthalmazt
körkúpnak nevezzük. A
k kör a kúp
vezérköre az
A pont pedig a kúp
csúcsa. A körkúp
egyenes körkúp vagy
forgáskúp, ha a kúp
A csúcsa illeszkedik a
k kör forgástengelyére, a
Σ síkra merőleges,
k középpontján áthaladó egyenesre. Ellenkező esetben a kúp
ferde.
Mutassuk meg, hogy a körkúp
A csúcsát nem tartalmazó síkmetszete kör, ellipszis, hiperbola vagy parabola.
Feladat: 5.40. {g_iii_proj_090102_ha_qpsz02_apolloniusz02korkor}
(
Különböző körmetszetek)
a) Mutassuk meg, hogy a ferde körkúpnak van olyan a vezérkör síkjával nem párhuzamos síkmeteszete, ami kör!
b) Igazoljuk, hogy ha a körkúpnak két nem párhuzamos síkban található síkmetszete kör, akkor ez a két kör egy gömbön van!
Feladat: 5.41. {g_iii_proj_090102_ha_qpsz03_apolloniusz03korkor}
(
Kör vetítése körbe I., egyenes a végtelenbe)
Adott egy
Σ sík
k köre és egy attól diszjunkt
t egyenese.
a) Mutassuk meg, hogy van olyan
A pont a térben, amelyre az
A csúcsú,
k vezérkörű kúpnak az
A pont és a
t egyenes
ΠA,t
síkjával párhuzamos síkmetszetei körök.
b) Határozzuk meg az ilyen tulajdonságú
A pontok halmazát a térben!
c) Mutassuk meg, hogy a
Σ sík átvetíthető egy másik síkba úgy, hogy
k képe kör legyen, és
t az új sík ideális egyenesébe képződjön!
Feladat: 5.42. {g_iii_proj_090226_ha_qpsz03_apolloniusz03korkor}
(
Kör vetítése körbe II., pont a középpontba)
Adott egy
Σ sík
k köre és a
k kör egy
P belső pontja.
Mutassuk meg, hogy a
Σ sík átvetíthető egy másik síkba úgy, hogy
k képe kör legyen,
P képe a
k képének középpontja legyen!
Feladat: 5.43. {g_iii_proj_090102_ha_kornemszerk01}
(
Kör középpontja csak vonalzóval nem szerkeszthető)
Adott a síkban egy körvonal. Igazoljuk, hogy euklideszi szerkesztési módszerekkel, de körző használata nélkül nem szerkeszthető meg a kör középpontja!
Vetítések és a kettősviszony alkalmazása
Feladat: 5.44. {g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk01}
(
A teljes négyoldal tétele)
Négy egyenesről, amelyek közül semelyik három sem megy át ugyanazon a ponton, azt mondjuk, hogy
teljes négyoldalt alkot. A négy egyenes metszéspontjai, összesen hat pont, a négyoldal
csúcspontjai. A csúcspontokat egymással összekötve három új egyenest kapunk, ezek a négyoldal
átlói. Az átlókon két-két csúcspont található és az eredeti oldalak még két-két pontot, a négyoldal
átlóspontjait metszenek ki az átlókból. Mutassuk meg, hogy a teljes négyoldal átlóin a csúcsok az átlóspontokat harmonikusan választják el!
Tehát ha
e1
,
e2
,
e3
,
e4
egyenesek és
ei
∩
ej
=
Pij
,
P12
P34
∩
P14
P23
=U, ??s
P12
P34
∩
P13
P24
=V ⇒ (
P12
P34
UV)=(-1).
|
Feladat: 5.45. {g_iii_proj_090129_dsha_ketviszalk01}
(
A teljes négyszög tétele)
Négy pontról, amelyek közül semelyik három sincs egy egyenesen, azt mondjuk, hogy
teljes négyszöget alkot. Mutassuk meg, hogy ha az
E1
,
E2
,
E3
,
E4
pontok teljes négyszöget alkotnak és
Ei
Ej
=
pij
,
(
p12
∩
p34
)(
p14
∩
p23
)=v, és
(
p12
∩
p34
)(
p13
∩
p24
)=v. akkor
(
p12
p34
uv)=(-1).
Feladat: 5.46. {g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk02}
Tekintsük az
e egyenest, rajta az
A,
B pontokat, egy
e-től különböző
f egyenest és egy
O1
pontot, amely
e-re és
f-re sem illeszkedik.
Vetítsük át
e-t
f-re
O1
-en át, legyen
A és
B képe
A' és
B'. Tekintsük az
A'B,
B'A egyenesek
O2
metszésponját és vetítsük vissza
f-et
e-re
O2
-n át (lásd az
1. ábrát). A két vetítés
π kompozíciója az
e egyenest önmagára képezi. Mutassuk meg, hogy ha
P az
e tetszőleges pontja, akkor
π(π(P))=P.
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk02fela}
Feladat: 5.47. {g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk03}
Vetítések egy
φ kompozíciója az
e egyenest önmagára képezi és az
A∈e pontra
φ(A)≠A, de
φ(φ(A))=A. mutassuk meg, hogy az
e egyenes tetszőleges
X pontjára
φ(φ(X))=X.
Feladat: 5.48. {g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk04}[
13]
(
Desargues II. tétele)
Adott az
a egyenes és rajta öt különböző pont:
A12
,
A13
,
A14
,
A23
,
A24
(az egyik, bármelyik, lehet ideális is).
a) Szerkesszünk a síkon négy pontot,
P1
-et,
P2
-t,
P3
-at,
P4
-et, úgy hogy a közöttük futó egyenesek
a-ból az adott pontokat messék ki:
a∩
P1
P2
=
a12
,
a∩
P1
P2
=
a13
,
a∩
P1
P4
=
a14
,
a∩
P2
P3
=
a23
,
a∩
P2
P4
=
a24
.
b) Mutassuk meg, hogy a
P1
P2
P3
P4
négyszög sokféleképpen felvehető az a) feladatrésznek megfelelően, pl
P1
és
P2
tetszőlegesen előre felvehető, csak arra kell ügyelni, hogy ne essenek egybe, egyik se illeszkedjen
a-ra, de a
P1
P2
egyenes átmenjen
A12
-n.
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk04fela}
c) Bizonyítsuk be, hogy az
A12
,
A13
,
A14
,
A23
,
A24
pontok meghatározzák az
A34
pontot, tehát a b), c) feladatrészekben kapott bármelyik
P1
P2
P3
P4
négyszögnél az
a∩
P3
P4
pont mindig ugyanaz a pont (lásd az
1. ábrát) vagy
P3
P4
mindig párhuzamos
a-val.
Feladat: 5.49. {g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk05pappos}[
13]
(
Papposz feladata)
Adott az
a egyenes és rajta három különböző pont:
A12
,
A13
,
A23
valamint két egyenes
a14
és
a24
.
a) Mutassuk meg, hogy végtelen sokféleképpen megválaszthatók a sík
P1
,
P2
,
P3
,
P4
pontjai úgy, hogy teljesüljenek az alábbi feltételek:
{eq:papposinvolucioalt_081123fela}
P1
P4
=
a14
,
P2
P4
=
a24
,
Aij
∈
Pi
Pj
(1≤i<j≤4).
|
| (1) |
b) Mutassuk meg, hogy a)-ban a lehetséges
P3
pontok egy egyenesen helyezkednek el!
Feladat: 5.50. {g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk05desargues}
(
Desargues I. tétele)
Azt mondjuk, hogy az
A1
B1
C1
és az
A2
B2
C2
háromszög
pontra nézve perspektív, ha az
A1
A2
,
B1
B2
,
C1
C2
egyenesek egy ponton mennek át.
Azt mondjuk, hogy az
A1
B1
C1
,
A2
B2
C2
háromszögek
egyenesre nézve perspektívek, ha az
A1
B1
∩
A2
B2
,
B1
C1
∩
B2
C2
,
C1
A1
∩
C2
A2
pontok egyenesre illeszkednek (lásd az
1. ábrát).
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk05desarguesfela}
Mutassuk meg, hogy két háromszög pontosan akkor perspektív pontra nézve, ha perspektív egyenesre nézve!
Feladat: 5.51. {g_iii_proj_090220_dsha_vegyes_ketviszalk_haromegyenes}
Adott három egyenes,
a,
b és
c, melyek egy közös
O ponton mennek át. Adott még három pont is:
α,
β és
γ. Szerkesztendő
ABC háromszög, melynek
A,
B,
C csúcsai rendre illeszkednek az
a,
b,
c egyenesekre, míg az
α,
β,
γ pontok rendre illeszkednek a háromszög
BC,
CA,
AB oldalegyeneseire.
1. ábra{fig:g_iii_proj_090220_dsha_vegyes_ketviszalk_haromegyenesfela}
Feladat: 5.52. {g_iii_proj_081231_dsha_vegyes_ketviszalk_memo2008i03}
(
MEMO 2008)
Az
ABC egyenlő szárú háromszögben
AC=BC. A háromszög beírt köre az
AB oldalt
D-ben,
BC-t
E-ben érinti.
Egy
AE-től különböző, de
A-n átmenő egyenes a beírt kört az
F,
G pontokban metszi. Az
AB egyenes
EF-et és
EG-t rendre
K-ban és
L-ben metszi. Igazoljuk, hogy
DK=DL.
Feladat: 5.53. {g_iii_proj_081226_ds_vegyes_ketviszalk06}
(
Pillangó tétel)
Egy kör
AB húrjának
felezőpontja
F. Az egyik
AB íven van két további pont
C és
D. A
CF és
DF egyenesek második metszéspontja a körrel
rendre
E és
G.
DE és
GC húrok az
AB húrt rendre
X és
Y-ban metszik. Igazoljuk, hogy
XF=YF (lásd az
1. ábrát).
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk06fela}
Feladat: 5.54. {g_iii_proj_081226_ds_vegyes_ketviszalk07}
(
Pascal tétel)
Egy kör hat pontja
A1
,
A2
,
A3
,
A4
,
A5
,
A6
. Igazoljuk, hogy az
A1
A2
∩
A4
A5
,
A2
A3
∩
A5
A6
,
A3
A4
∩
A6
A1
|
metszéspontok egy egyenesen vannak (lásd az
1. ábrát)!
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk07fela}
Feladat: 5.55. {g_iii_proj_081226_ds_vegyes_ketviszalk08}
(
Pappos-Pascal tétel)
Adott a síkon két egyenes
a és
b. Az
a egyenes három pontja
A1
,
A2
,
A3
, a
b egyenes három
pontja
B1
,
B2
,
B3
. Igazoljuk, hogy az
C12
=
A1
B2
∩
A2
B1
,
C23
=
A2
B3
∩
A3
B2
,
C31
=
A3
B1
∩
A1
B3
|
metszéspontok egy egyenesen vannak(lásd az
1. ábrát)!
1. ábra{fig:g_iii_proj_081226_dsha_ketviszalk08fela}
Polaritás
Feladat: 5.56. {g_iii_proj_090104_ha_polaritas01}
Adjunk meg a valós projektív sík pontjai és egyenesei közötti olyan bijekciót, amelynél egy pont és egy egyenes pontosan akkor illeszkedik egymásra, ha bijektív megfelelőik illeszkednek egymásra!
Feladat: 5.57. {g_iii_proj_090104_ha_polaritas02}
Adott az
e és
f egyenes valamint a rájuk nem illeszkedő
P pont. Jelölje a
P-n átmenő
p egyenesen a
p∩e,
p∩f metszéspontokat
E és
F, és legyen
P harmonikus társa az
E,
F párra
H. Határozzuk meg a
H pontok mértani helyét, ha
p felveszi összes lehetséges helyzetét!
Feladat: 5.58. {g_iii_proj_090104_ha_polaritas03a}
Adott a
p egyenes és a
k kör. Legyen
P a
p egyenes tetszőleges, de
k külsejében elhelyezkedő pontja, és jelölje a
P-ből a
k-hoz húzott érintők érintési pontját
UP
és
VP
. Vizsgáljuk az
UP
VP
egyenesek rendszerét, ha
P befutja a
p egyenest!
Feladat: 5.59. {g_iii_proj_090104_ha_polaritas03b}
Adott a
k kör és a rá nem illeszkedő
P pont. Legyen
p tetszőleges egyenes
P-n át, amely az
Up
,
Vp
pontokban metszi
k-t és legyen
k-nak az
Up
,
Vp
pontokban húzott érintőinek metszéspontja
H. Határozzuk meg a
H pontok mértani helyét, ha
p felveszi összes lehetséges helyzetét!
Feladat: 5.60. {g_iii_proj_090104_ha_polaritas04}
Adott a
k kör (nemelfajuló kúpszelet) és a rá nem illeszkedő
P pont. Jelölje a
P-n átmenő
p egyenes és
k metszéspontjait
E és
F, és legyen
P harmonikus társa az
E,
F párra
H. Határozzuk meg a
H pontok mértani helyét, ha
p felveszi összes lehetséges helyzetét!
Feladat: 5.61. {g_iii_proj_081226_dsha_alg01}
Bergengóciában az
u
‾
(
u1
;
u2
;
u3
),
v
‾
(
v1
;
v2
;
v3
) vektorok szorzatának a
<
u
‾
,
v
‾
>M
=
u1
v1
+
u2
v2
-
u3
v3
|
valós értékű kifejezést tekintik.
Igaz-e, hogy az
<
u
‾
,
v
‾
>M
szorzat
a) kommutatív?
b) asszociatív?
c) a vektorösszeadással disztributív
<
u
‾
,
v
‾
+
w
‾
>M
=<
u
‾
,
v
‾
>M
+<
u
‾
,
w
‾
>M
?
d) a skalárral való szorzással felcserélhető
<
u
‾
,λ
v
‾
>M
=λ<
u
‾
,
v
‾
>M
?
e) Melyek azok a vektorok, amelyek önmagukra merőlegesek, azaz
<
u
‾
,
u
‾
>M
=0?
f) Hogy helyezkednek el egy adott vektorra merőleges vektorok, azaz adott
v
‾
esetén hol helyezdkednek el azok az
u
‾
vektorok, melyekre
<
u
‾
,
v
‾
>M
=0?
g) Igaz-e a paralelogramma tétel:
<
u
‾
+
v
‾
,
u
‾
+
v
‾
>M
+<
u
‾
-
v
‾
,
u
‾
-
v
‾
>M
=2<
u
‾
,
u
‾
>M
+2<
u
‾
,
u
‾
>M
?
|
Véges struktúrák
Feladat: 5.62. {g_iii_proj_081226_dsha_vegesgeo01}[
79]
A salakmotor-versenyek kedvelői jól tudják, hogy ha egy pályán egyszerre 4 versenyző fér el, és összesen 16 versenyző akarja összemérni az erejét egymással, akkor ,,szerencsére" éppen be lehet őket osztani négyes futamokba úgy, hogy mindenki mindenkivel egyszer találkozzon.
Próbáljunk meg elkészíteni ilyen futam-beosztást!
Feladat: 5.63. {g_iii_proj_081226_dsha_vegesgeo02}[
116]
Egy város autóbuszjáratairól a következőket tudjuk:
- Mindegyik járaton 3 megálló van.
- Mindegyik járatról át lehet szállni bármelyik másikra, de csak egy megállónál.
- Bármelyik megállóból eljuthatunk bármelyik másik megállóba, de csak egy járattal.
Hány autóbuszjárat van ebben a városban?
Feladat: 5.64. {g_iii_proj_081226_dsha_vegesgeo03}
a)[
79] Válasszunk ki minél többet egy szabályos
13-szög csúcsai közül úgy, hogy a közöttük fellépő távolságok mind különbözőek legyenek (teljesen szabálytalan részsokszög)!
b) Kiválasztható-e a szabályos 13 csúcsai közül három-három, hogy az így adódó két háromszög összesen hat oldala mind különböző hosszúságú legyen?
Feladat: 5.65. {g_iii_proj_081226_dsha_vegesgeo_affinsik01}
(
Véges affin sík)
A
(H,E) párt, ahol
H tetszőleges halmaz és
E a
H részhalmazainak egy rendszere,
affin síknak nevezzük, ha teljesülnek az alábbi axiómák (
H elemeit
pontoknak, a pontok
E-ben található részhalmazait
egyeneseknek nevezzük, két egyenest
párhuzamosnak nevezünk, ha nincs közös pontjuk) :
A1: Bármely két ponthoz pontosan egy olyan egyenes található, amelyben mindkét pont benne van;
A2: Bármely ponton át bármely azt nem tartalmazó egyeneshez pontosan egy vele párhuzamos egyenes húzható;
A3: Van három nem egy egyenesen lévő pont.
Tegyük fel, hogy
(H,E) affin sík és van olyan egyenese, amelyen véges sok,
n, pont van.
a) Mutassuk meg, hogy minden egyenese
n pont van!
b) Hány egyenes megy át egy ponton?
c) Határozzuk meg a pontok és az egyenesek számát!
Feladat: 5.66. {g_iii_proj_081226_dsha_vegesgeo_projsik01}
(
Véges projektív sík)
A
(H,E) párt, ahol
H tetszőleges halmaz és
E a
H részhalmazainak egy rendszere,
projektív síknak nevezzük, ha teljesülnek az alábbi axiómák (
H elemeit
pontoknak, a pontok
E-ben található részhalmazait
egyeneseknek nevezzük) :
P1: Bármely két ponthoz pontosan egy olyan egyenes található, amelyben mindkét pont benne van;
P2: Bármely két egyenesnek pontosan egy közös pontja van.
P3: Bármely egyenesnek legalább három pontja van;
P4: Bármely pontot legalább három egyenes tartalmaz.
Tegyük fel, hogy
(H,E) projektív sík és van olyan egyenese, amelyen véges sok pont,
(n+1) pont van.
a) Mutassuk meg, hogy minden egyenesen
(n+1) pont van és minden ponton át
(n+1) egyenes halad.
b) Határozzuk meg a pontok és az egyenesek számát!
Feladat: 5.67. {g_iii_proj_081226_dsha_vegesgeo06blokkrendszer}
(
Blokkrendszer)
Egy
(v,k,λ)-blokkrendszer egy
V alaphalmazból (elemei a pontok) és annak részhalmazainak egy
B részhalmazából (elemei a blokkok) álló (
V,B) halmazrendszer, ha
VB1.
|V|=v,
VB2. Minden blokk
k elemű,
VB3. minden két különböző pontból álló pár pontosan
λ blokkban van egyszerre benne.
a) Fejezzük ki
v,
k és
λ segítségével a blokkok
|B|=b számát!
b) Fejezzük ki
v,
k és
λ segítségével egy adott pontot tartalmazó blokkok
r számát!
(Ez miért független a ponttól?)
c) Mutassuk meg, hogy ha létezik
(
n2
+n+1,n+1,1) blokkrendszer (
n≥2), akkor az projektív sík!
d) Mutassuk meg, hogy ha létezik
(v,k,1) blokkrendszer (
v>k≥3), akkor
v≥
k2
-k+1 és egyenlőség esetén a blokkrendszer projektív sík!
e) Igaz-e, hogy ha létezik
(
n2
,n,1) blokkrendszer (
n≥2), akkor az affin sík?
f) Próbáljuk meg eldönteni, hogy mely
2<k<v≤31 esetén van
(v,k,1) blokkrendszer!
Feladat: 5.68. {g_iii_proj_090104_dsha_vegesgeo07blokkrendszer}
Mutassuk meg, hogy léteznek olyan
(13,3,1) blokkrendszerek (lásd az
5.67. feladatot), amelyek egymással nem izomorfak (tehát az alaphalmaznak nincs olyan bijektív leképezése önmagára, amely az egyik blokkrendszert a másikba viszi).
Feladat: 5.69. {g_iii_proj_090104_dsha_vegesgeo08blokkrendszer}
Mutassuk meg, hogy pontosan akkor van
(v,3,1) blokkrendszer (lásd az
5.67. feladatot), ha
v≡1mod6 vagy
v≡3mod6.
Vegyes feladatok
Feladat: 5.70. {g_iii_proj_081226_ds_vegyes_ketviszalk10}
ABCD konvex négyszög. Az
A csúcson át
párhuzamost húzunk
BD-vel, ez lesz az
e egyenes. A
B
csúcson át párhuzamost húzunk
AC-vel, ez lesz az
f egyenes.
Legyen
e és
f metszéspontja
E. Igazoljuk, hogy
EC
ugyanolyan arányban osztja
BD-t, mint
ED
AC-t.
Feladat: 5.71. {g_iii_proj_081226_ds_vegyes_ketviszalk11}
Egy körhöz a külső
A pontból érintőket húzunk,
az érintési pontok
B és
C. A
B ponton keresztül párhuzamost
húzunk
AC-vel, ez
D-ben metszi a kört.
DA a kört
E-ben
metszi.
BE és
AC metszéspontja
F. Mutassuk meg, hogy
F
felezi
AC-t.
Feladat: 5.72. {g_iii_proj_081226_ds_vegyes_ketviszalk12}
Az
ABCD
trapéz párhuzamos oldalai
AB és
CD,
AC=BC.
AB
felezőpontja
F. Az
F-en át húzott egyenes
AD-t
P-ben a
DB átló
B-n túli meghosszabbítását
Q-ban metszi. Igazoljuk,
ACP∠=QCB∠.
Feladat: 5.73. {g_iii_proj_081226_ds_vegyes_ketviszalk13}
Az
ABC
háromszögben
AB=AC. A háromszög oldalaira kifele rajzoljuk az
azonos körüljárású, egymáshoz hasonló
ABC',
BCA',
CAB'
háromszögeket.
AB:BC:CA=AC':BA':CB'=BC':CA':AB'. Bizonyítsuk
be, hogy
AA',
BC' és
CB' egy ponton mennek át.
Feladat: 5.74. {g_iii_proj_081226_ds_vegyes_ketviszalk14}
Az
ABC
háromszög beírt köre a megfelelő oldalakat rendre az
A',
B',
C' pontokban érinti. Az
A' pont merőleges vetülete a
B'C'
egyenesre
T. Igazoljuk, hogy
BTA'∠=A'TC∠ .
Feladat: 5.75. {g_iii_proj_081226_ds_vegyes_ketviszalk15}
Az
ABC háromszög szögfelezője
A'-ben metszi
a
BC oldalt. Legyen
X egy tetszőleges belső pontja az
AA'
szakasznak.
BX∩AC=B' ,
CX∩AB=C' ,
A'B'∩CC'=P ,
A'C'∩BB'=Q . Igazoljuk, hogy
PAC∠=QAB∠
Feladat: 5.76. {g_iii_proj_090104_ha_vegyes_konfig01}[
7]
A
síkbeli konfiguráció olyan
p számú pont és
g számú egyenes rendszere, amelyek egy síkban fekszenek oly módon, hogy a rendszer bármely pontja a rendszernek
γ számú egyenesére illeszkedik és ugyanígy a rendszer bármely egyenese a rendszer
π számú pontján megy át. Az ilyen konfigurációt a
(
pγ
gπ
) jellel jelöljük.
a) Mutassuk meg, hogy minden konfigurációra érvényes a
pγ=gπ összefüggés!
A
(
pγ
pγ
) konfigurációt a
(
pγ
) jellel rövidítjük.Az alábbi konfigurációk közül melyek léteznek?
b)
(
32
);
c)
(
62
43
);
d)
(
72
);
e)
(
73
);
f)
(
83
);
g)
(
93
).
Feladat: 5.77. {g_iii_proj_090104_ha_masodfel_egyenes01}
Adott a (projektív) térben az egymással páronként kitérő
e1
,
e2
és
e3
egyenes.
a) Van-e a tér minden pontján át olyan egyenes, amely mind a három adott egyenest metszi?
b) Mutassuk meg, hogy az
e1
,
e2
,
e3
egyenesek bármelyikének bármelyik pontján át pontosan egy olyan egyenes van, amely metszi a másik két egyenest!
c) Tekintsük azt a
ϕ:
e2
→
e3
leképezést, amelynél
ϕ(P)=Q ⟺ PQ metszi
e1
-et
.
|
Igazoljuk, hogy
ϕ kettősviszonytartó bijektív leképezés.
A továbbiakban b) pontban szerkesztett összes egyenes által súrolt
F felületet vizsgáljuk.
d) Legyenek
f,
g
h és
j olyan egyenesek, amelyek az
e1
,
e2
,
e3
egyenesek mindegyikét metszik, a megfelelő metszéspontokat jelölje
F1
,
F2
,
F3
,
G1
,
G2
,
G3
és
H1
,
H2
,
H3
illetve
J1
,
J2
,
J3
. Mutassuk meg, hogy
(
F1
G1
H1
J1
)=(
F2
G2
H2
J2
)=(
F3
G3
H3
J3
).
|
e) Legyen
λ tetszőleges valós szám és jelölje
Fλ
,
Gλ
,
Hλ
az
f,
g, illetve
h egyenesnek azt a pontját, amelyre
(
F1
F2
F3
Fλ
)=(
G1
G2
G3
Gλ
)=(
H1
H2
H3
Hλ
)=λ.
|
Igazoljuk, hogy a
Fλ
,
Gλ
,
Hλ
egy egyenesre illeszkednek.
f) Mutassuk meg, hogy
F bármely pontján két olyan egyenes halad át, amelynek minden pontja
F-hez tartozik és a
F-hez tartozó egyenesek két csoportba oszthatók úgy, hogy két egyenes pontosan akkormesse egymást, ha különböző csoportba tartoznak.