1. FEJEZET: Geometriai szerkeszthetőség{mchap:g_iii_szerkhet}
A geometriai szerkeszthetőségről
Ismeretes, hogy régóta (lásd ,,már az ókori görögök is") gondolkodtak azon, hogy ha adott egy kocka, hogyan lehetne megkétszerezni a térfogatát, azaz megszerkeszteni egy olyan kocka élét, amelynek térfogata kétszerese az eredetinek. Van olyan elképzelés is, hogy a kérdés egy ,,produktív félreértés" következménye: a szentély, amelyhez jóslatért fordultak, egy kocka alakú oltár kétszeresre nagyítására szólított föl, de ezen az alapél kétszeresre nagyítását értette.
De térjünk vissza a ,,produktívan félreértett" feladathoz. A fenti formájában még korántsem egyértelmű: nem mondja meg, hogy milyen eszközöket használhatunk a szerkesztéshez. Ennek megfelelően az immár megnehezített geometriai feladat megoldására a legkülönbözőbb segédeszközöket találták ki.
Első dolgunk tehát annak a tisztázása, hogy milyen eszközöket és azokkal milyen lépéseket engedünk meg a szerkesztés folyamán. Végig síkbeli szerkesztésekkel foglalkozunk. ,,Euklideszi" szerkesztésnek azokat a szerkesztéseket nevezzük, amelyekhez csak egy egyélű vonalzót és körzőt használunk. (A vonalzó egyélű, ebből következik, hogy párhuzamosok szerkesztéséhez nem illeszthető össze egy másikkal a szokott módon. De ismeretes általános iskolai tanulmányainkból, hogy az euklideszi síkon az így leszűkített eszközökkel is szerkeszthető adott egyenessel párhuzamos egyenes adott ponton keresztül.)
Tisztáznunk kell még, hogy mit tekintünk megengedett lépésnek:
1) Felvehetünk a síkon egy tetszőleges pontot.
2) Két pontra illeszthetünk egy egyenest.
3) Egy adott szakaszt ,,körzőnyílásba vehetünk", azaz egy már megszerkesztett pont körül egy már megszerkesztett szakaszhosszúsággal mint sugárral kört húzhatunk.
Ezen kívül megszerkeszthetjük
4a) két egyenes,
4b) egy egyenes és egy kör,
4c) két kör
metszéspontját. Euklideszi szerkesztésnek azokat az eljárásokat nevezzzük, amelyek
véges sok ilyen lépésből állnak.
Tekintsük most a ,,kockakettőzési" feladatot. Ebben az esetben adott még egy szakasz is. Ennek hosszát nyugodtan vehetjük egységnek. A kérdés most az, hogy szerkeszthető-e véges sok, a fent leírt lépéssel egy
23 hosszúságú szakasz.
A válasz nyitja az, hogy a
geometriai kérdést
algebria kérdéssé alakítjuk át. (Itt érdemes megjegyezni, hogy általában is sokszor segít az, ha egy problémát arról a nyelvről, amelyen megfogalmazódott, ,,lefordítunk" egy másik nyelvre, ahogyan itt az eredetileg geometriai problémát algebrai problémára fordítjuk le.)
Első, még nem egészen pontos megfogalmazással: azt fogjuk megvizsgálni, hogy milyen algebrai műveleteket kell elvégeznünk ahhoz, hogy egy-egy szerkesztési művelet eredményét algebrailag leírhassuk. A pontosabb megfogalmazáshoz szükségünk lesz a
számtest definíciójára. Ez a fent említett ,,fordítás" kulcspontja, ez a definíció teszi lehetővé, hogy algebrai problémaként ,,nézzünk rá" a szerkeszthetőség kérdésére.
Definíció. A valós számok egy részhalmazát
számtestnek nevezzük, ha tartalmazza az
1-et, továbbá zárt az összeadásra, kivonásra, szorzásra és a nulla kivételével az osztásra.
Ilyen számtest például a racionális számok halmaza. Valójában könnyen belátható, hogy ez a legszűkebb számtest, amely tartalmazza az
1-et. Ugyanis korlátlanul lehet benne összeadni, kivonni és bármely nullától különböző számmal osztani, ezért minden számtest, amely tartalmazza az
1-et, tartalmazza az összes racionális számot. (Megjegyzendő, hogy ha a számtest a nullán kívül is tartalmaz elemet, akkor tartalmazza az
1-et is, hiszen tartalmazza ennek a számnak önmagával vett hányadosát is.)
Ezek után már egy fokkal pontosabban fogalmazhatunk. Azt fogjuk megvizsgálni, hogy melyik az a legszűkebb számtest, amelyet egy-egy szerkesztési lépéssel ,,elértünk". Ezen a következőt értjük. Először is felveszünk egy koordinátarendszert, amelynek egysége az adott kocka élének hossza. A későbbiekben azt nézzük, hogy az éppen megszerkesztett alakzatot (vagy pontot) milyen számtestből vett számokkal tudjuk jellemezni. Egy pontot a koordinátáival, egy egyenest vagy kört az egyenletével, egy szakaszt a hosszával jellemzünk. Mindig a lehető legszűkebb számtestre gondolunk, amelynek elemeivel az illető alakzat jellemezhető. A
2x+38=0 egyenletü egyenes például ilyen alakban is jellemezhető:
x+6y=0, tehát ennek megszerkesztésével még nem léptünk ki a racionális számok
Q testéből.
A kiindulásnál tehát adott egy egységnyi hosszúságú szakasz. Ezzel a racionális számok számtestét ,,értük el". Nézzük most az 1) lépést: felveszünk egy tetszőleges pontot a síkon. Mivel a felvett pont tetszőleges, a szerkesztésnek ,,működnie" kell akkor is, ha ennek a pontnak a koordinátái racionális számok. Ez a későbbiekben is igaz, amikor ezt a lépést használjuk. (Itt kihasználjuk, hogy a sík bármely kis részén van olyan pont, amelynek mindkét koordinátája racionális.) Ezzel a lépéssel tehát nem bővül a szerkesztéssel elérhető számtest.
Nem bővül a számtest a 2) lépésnél sem: ha két pontot összekötünk egy egyenessel, a kapott egyenes egyenlete felírható úgy, hogy a két pont koordinátáival csak alapműveleteket végzünk: összeadást, kivonást és szorzást (valójában még osztani sem kell).
A 3) lépéshez szükségünk van egy már megszerkesztett szakasz hosszának a kiszámítására. Szerencsére egy kör egyenletének a felírásához csak a hossz négyzetére van szükség, így most sem lépünk túl az alapműveleteken. Most egy olyan kör egyenletét kell felírnunk, amelyik középpontjának mindkét koordinátája a már ,,elért" számtestbe tartozik, és ugyanez igaz a sugár hosszára is. Itt sem lépünk túl az alapműveleteken.
4a)-nál két egyenes metszéspontjának a koordinátáit kell kiszámítanunk, a két egyenes egyenletének ismeretében. Ez ismét csak a négy alapműveletet követeli meg.
Marad még 4b) és 4c). Az itt megszerkesztett metszéspont koordinátáit mindkét esetben úgy számíthatjuk ki, hogy a két alakzat egyenletében szereplő számokkal alapműveleteket végzünk, majd egy ezekből kapott másodfokú egyenletet oldunk meg. (L. ) Ez az első olyan pont, ahol túllépünk az alapműveleteken és szükségünk van négyzetgyökvonásra is. Fontos megjegyeznünk, hogy olyan számból vonunk négyzetgyököt, amely a ,,már elért" számtestben van.
Mivel a szerkesztés eredményeként egy szakasz hosszát akarjuk megkapni, ezért szükségünk van egy szakaszhossz kiszámolására is. Ehhez ismét egy, a már elért számtestből vett számból kell négyzetgyököt vonnunk.
Ezért bevezetjük a következő
Jelölést: Ha
T egy számtest,
t e számtest egy pozitív eleme, akkor azt a legszűkebb számtestet, amely tartalmazza
T-t és
t négyzetgyökét,
T(t)-vel jelöljük. Ilyenkor azt mondjuk, hogy
T-t
bővítettük
t-vel, a
T(t) számtestet pedig a
T számtest
t-vel való
bővítésének nevezzük. Az ilyen testbővítéseket röviden
másodfokú testbővítésnek fogjuk nevezni.
Megjegyezzük, hogy nem engedtük meg, hogy
t negatív szám legyen. Ezt a megkötést azért tettük, mert az ilyen bővítésekkel nem fogunk foglalkozni. Valójában a negatív
t-k esetében is másodfokú bővítésről van szó, így például a komplex számok teste a valós számok testének az
i képzetes egységgel való másodfokú bővítése.
általában is használni fogjuk a
T(u) jelölést, ez azt a legszűkebb számtestet jelenti, amely tartalmazza
T minden elemét és
u-t is. Ilyenkor általában megköveteljük, hogy
u ne legyen benne
T-ben. és még általánosabban
T(
u1
,...,
uk
) jelöli azt a legszűkebb számtestet, amely tartalmazza
T minden elemét, tovább tartalmazza az összes felsorolt
ui
-t.
összefoglalva eddigi eredményeinket a következőt kapjuk:
Tétel. Ha azt a legszűkebb
T számtestet nézzük, amelyből vett számokkal egy adott szerkesztéssel megszerkesztett alakzat (pont, egyenes, kör vagy szakasz) jellemezhető, ezt a számtestet a racionális számtestből véges sok másodfokú bővítéssel kapjuk. Tehát
T-t egy olyan
Q=
Q1
,
Q2
,...,
Qm
=T sorozat utolsó elemeként kapjuk, ahol minden
Qi
-t (
i>1-re) úgy kapunk, hogy
Qi-1
-t bővítjük egy pozitív
ti-1
elemének a négyzetgyökével. (Belátható, hogy
T=Q(
t1
,...,
tm-1
), de erre nincs szükségünk.)
Nem nehéz belátni, hogy ha egy
T számtest elemeit (mint szakaszhosszakat) meg tudjuk szerkeszteni, akkor e test minden pozitív elemének a négyzetgyökét is meg tudjuk szerkeszteni (mint szakaszhosszt) és az
1.2 feladat d) részének megoldása mutatja, hogy a
T(t) test bármely elemét meg tudjuk szerkeszteni. Igaz tehát a következő
Tétel: Egy
t hosszúságú szakasz az egységből pontosan akkor szerkeszthető, ha
t eleme egy olyan számtestnek, amelyet a racionális számok testéből véges sok másodfokú bővítéssel kapunk.
Első lépésként célszerű tehát azt tisztáznunk, hogy hogyan kapjuk
T elemeiből
T(t)-t (ahol
t a
T számtest pozitív eleme).
Amit tudni kell a másodfokú testbővítésekről
Feladat: 1.1. {g_iii_131109SL01}
Kutató munka:
Jellemezni akarjuk
Q(2), tehát a
2-t tartalmazó legszűkebb számtest elemeit, a lehető legegyszerűbb módon. Ennek a számtestnek nyilván tartalmaznia kell az
a+b2 alakú számot, ahol
a és
b racionális. Másrészt tartalmaznia kell két ilyen szám hányadosát is, tehát az összes
a+b2
c+d2
alakú számot is, ahol
a,
b,
c,
d racionális számok, és
c és
d közül legalább az egyik nem nulla.
a) Igaz-e, hogy az ilyen alakú számok már kiadják a keresett számtest minden elemét. Azaz igaz-e, hogy az ilyen alakú számok zártak a négy alapműveletre (a nullával való osztás kivételével)?
b) Hogyan lehet a legegyszerűbben leírni
Q(2) elemeit?
Feladat: 1.2. {g_iii_131109SL02}
Kutató munka:
a) Jellemezzük
Q(
1
2
) elemeit az
1.1 feladatban látotthoz hasonló módon!
b) Jellemezzük lehetőleg egyszerűen
Q(3) elemeit!
c) Jellemezzük lehetőleg egyszerűen
Q(t) elemeit, ahol
t egy pozitív racionális szám.
d) Legyen
T tetszőleges számtest, legyen
t egy pozitív eleme, amelynek négyzetgyöke nincs benne
T-ben. Jellemezzük lehetőleg egyszerűen a
T(t) számtest elemeit!
Feladat: 1.3. {g_iii_131109SL03}
Kutató munka:
a) Eleme-e
5
Q(2)-nek?
b) Létezik-e olyan
u szám, amelyre igaz, hogy
Q(2,3)=Q(u)? Vagyis: bővítjük a racionális számok számtestét
2-vel és
3-mal. Megkapható-e az így kapott számtest
Q-ból egyetlen elemmel való bővítéssel is?
c) Jellemezzük a b) részben szereplő számtest elemeit a lehető legegyszerűbben!
Az
1.3 feladat kérdése tovább általánosítható, de erre itt most nincs szükségünk. Meg kell azonban említenünk még a következőt. Valójában egy
T test másodfokú bővítésének neveznek minden olyan
u számmal való bővítését, amely gyöke egy olyan másodfokú polinomnak, amelynek együtthatói
T-ből valók. Az eddigiek során lényegében beláttuk, hogy a mi látszatra szűkebb definíciónk - legalábbis valós számmal való bővítés esetén - ugyanerre a fogalomra vezet.
Az érdekesség kedvéért még megemlítjük a következőt feladatot:
Feladat: 1.4. {g_iii_131021SL01}
Bizonyítsuk be, hogy
Q minden másodfokú bővítése megkapható
Q(n) alakban, ahol
n egy négyzetmentes egész szám.
(Négyzetmentesnek azokat a számokat hívjuk, amelyek prímtényezős felbontásában minden prímszám első hatványon szerepel, azaz amelyek nem oszthatóak egynél nagyobb négyzetszámmal.)
Gyöktelenítések
Feladat: 1.5. {g_iii_131025SL01}
Bizonyítsuk be, hogy ha
u=a+b2+c3+d6 alakú (ahol
a,b,c,d racionális), akkor az
u nevezőjű törtek gyökteleníthetőek, vagyis az
1
u
tört bővíthető úgy, hogy egy ugyanilyen alakú számot kapjunk. (Vagy még másképp fogalmazva: az
u nevezőjű törtek bővíthetők úgy, hogy a számlálóban ugyanilyen alakú szám van, a nevező pedig racionális.)
Feladat: 1.6. {g_iii_131021SL05}
Gyöktelenítsük az alábbi kifejezéseket:
a)
1
2+3+7
b)
1
2+11+15+19
.
Feladat: 1.7. {g_iii_131021SL03}
Gyöktelenítsük az alábbi kifejezéseket:
a)
1
1,5+2+36-1,68+7
b)
1
2-3-0,512+221-37
c)
1
45+321-235+12+57+1
Feladat: 1.8. {g_iii_131021SL04}
Gyöktelenítsük az alábbi kifejezést:
1
3+2+3-7-11
.
Feladat: 1.9. {g_iii_131021SL02}
Bizonyítsuk be, hogy ha
u=
q1
a1
+
q2
a2
+...+
qn
an
alakú, ahol az
ai
és
qi
számok racionális számok, akkor az
1
u
tört ,,gyökteleníthető", vagyis bővítéssel ugyanilyen alakúra hozható.
érdekes feladatok másodfokú testbővítésekről
Feladat: 1.10. {g_iii_131108SL02}
Kutató munka:
Milyen pozitív egész
n kitevőkre lesz egész szám az
(1+2
)n
+(1-2
)n
kifejezés?
Feladat: 1.11. {g_iii_131108SL05}
Bizonyítsuk be, hogy az
a+b2 alakú számok ,,mindenütt sűrűen" helyezkednek el a számegyenesen, azaz igaz a következő: bármely
(c,d) nem-üres nyílt intervallumban van
a+b2 alakú szám, ahol
a és
b egész számok.
Feladat: 1.12. {g_iii_131108SL04}
Kutató munka:
Mit mondhatunk általában az
a+b2 alakú számok pozitív egész kitevős hatványairól, ahol
a és
b egész számok?
Mit mondhatunk az
a-b2 alakú számok pozitív egész kitevős hatványairól?
Hogyan általánosítható a feladat?
Feladat: 1.13. {g_iii_131107SL03}
(Kürschák verseny, 1966/2)
Bizonyítsuk be, hogy ha
n természetes szám, akkor
(5+26
)n
tizedestört alakjában a tizedesvesszőt követő első
n jegy egyenlő.
Szerkeszthetőség I. A kocka kettőzéséről
Feladat: 1.14. {g_iii_131111SL04}
Van-e olyan racionális együtthatós másodfokú polinom, amelynek gyöke
23?
Feladat: 1.15. {g_iii_131111SL03}
Kutató munka:
Be akarjuk bizonyítani, hogy ,,a kocka nem kettőzhető", vagyis ha adott az egység, nem szerkeszthető euklideszi szerkesztéssel olyan szakasz, amelynek hossza
23.
a) Fogalmazzuk meg algebrailag, hogy mit kell ehhez bizonyítanunk.
b) Bizonyítsuk be a megfogalmazott állítást.
Polinomok gyökpárjairól
Feladat: 1.16. {g_iii_131107SL01}
Az
Ax2
+Bx+C=0 egyenlet együtthatói egészek. Tudjuk továbbá, hogy az egyenletnek megoldása a
2+3. Mi a másik megoldása?
Feladat: 1.17. {g_iii_131107SL02}
Kutató munka:
Szabhatunk-e kevésbé erős feltételeket az
1.16 feladatbeli együtthatókra?
Feladat: 1.18. {g_iii_131107SL02a}
Kutató munka:
Hogyan alakul az
1.16 feladat állítása, ha a
2+3 helyett
a)
2+5-öt,
b)
-2+3-at,
c)
2
3
+3-at
írunk?
Milyen jellegű számokra működik a bizonyításunk?
Feladat: 1.19. {g_iii_131108SL01}
Az 1972. évi Arany Dániel versenyen szerepelt a következő feladat.
Az
x3
+px+q=0 harmadfokú egyenlet együtthatói,
p és
q egész számok, az egyenlet egyik megoldása
x1
=2+7. Bizonyítsuk be, hogy
2-7 is megoldása az egyenletnek.
Mi hiányzik az alábbi megoldásból:
Helyettesítsük be az egyenletbe
x1
-et. A műveletek elvégzése után az alábbi egyenletet kapjuk
p-re és
q-ra:
50+2p+q+(19+p)7=0.
Itt mind
19+p (
7 együtthatója), mind
50+2p+q (ä racionális rész") egész. Ezért
7 együtthatója nulla (különben azt kapnánk, hogy
7 racionális). Vagyis
p=-19. Ugyanakkor
50+2p+q is nulla, amiből azt kapjuk, hogy
q=-12. Az egyenlet tehát
x3
-19x-12=0.
Ennek az egyenletnek megoldása
x2
=-4. Másrészt a bal oldalon álló harmadfokú polinom gyökeinek összege a gyökök és együtthatók összefüggése alapján nulla, ami csak úgy lehet, hogy a harmadik megoldás
x3
=2-7.
Egészítsük ki teljessé ezt a megoldást!
Feladat: 1.20. {g_iii_131107SL03a}
Az
x3
+6
x2
-69x+36=0 egyenlet egy megoldása
x1
=3-6. Bizonyítsuk be, hogy az egyenletnek van két másik megoldása és adjuk is meg a másik két megoldást!
Feladat: 1.22. {g_iii_131107SL03p}
Kutató munka:
Az
Ax3
+
Bx2
+Cx+D=0 egyenlet együtthatói egészek. Tudjuk továbbá, hogy az egyenletnek megoldása a
2+7. Milyen következtetések vonhatók le ebből az egyenlet többi megoldására vonatkozóan?
Feladat: 1.24. {g_iii_131107SL04}
Az
x3
+
Ax2
+Bx+C=0 egyenletben
A,
B,
C egész. Tudjuk továbbá, hogy az egyenletnek van egy
U+V alakú megoldása, ahol
U és
V is egész. Következik-e ebből, hogy az egyenletnek van egész megoldása is?
Feladat: 1.25. {g_iii_131109SL07}
Kutató munka:
Mit mondhatunk, ha az
1.24 feladatban
A-ról,
B-ről és
C-ről csak azt tudjuk, hogy racionális számok?
Feladat: 1.26. {g_iii_131021SL01b}
Legyen
p egy egészegyütthatós polinom,
u egész szám, de nem négyzetszám.
a) Mit mondhatunk
p(a+bu)-ról, ahol
a,
b egészek?
b) Mit mondhatunk
p(a-bu)-ról?
c) Mit mondhatunk
p(a-bu)-ról, ha tudjuk, hogy
p(a+bu) egész?
Mi a helyzet, ha
p-ről csak azt tudjuk, hogy együtthatói racionálisak, továbbá
a,
b-ről is csak annyit tudunk, hogy racionálisak?
Feladat: 1.27. {g_iii_131021SL01a}
Bizonyítsuk be, hogy ha
u eleme a
T(t) testnek (ahol
t>0 és négyzetgyöke nincs
T-ben), akkor minden olyan polinomja, amelynek együtthatói
a) racionális számok,
b)
T-beli számok,
szintén
T(t)-beli.
Szerkeszhetőség és racionális gyökök
Feladat: 1.28. {g_iii_131109SL06a}
Kutató munka:
Az
1.25 feladat átfogalmazható a következő alakra:
Ha egy racionális együtthatós harmadfokú egyenletnek nincs racionális gyöke, akkor nincs gyöke a racionális számok
Q testének semmilyen másodfokú bővítésében sem.
Hogyan általánosítható ez az állítás?
Feladat: 1.29. {g_iii_131109SL08}
Igaz marad-e az
1.28 feladat megoldásában belátott tétel, ha a polinom együtthatóiról csak annyit teszünk fel, hogy
T-ben vannak?
Feladat: 1.30. {g_iii_131109SL06}
Bizonyítsuk be, hogy ha egy racionális (egész) együtthatós harmadfokú polinomnak nincs racionális gyöke, akkor gyöke(i) euklideszi szerkesztéssel nem szerkeszthető(k). (Pontosabban: ha
z gyöke a polinomnak, akkor nincs olyan euklideszi szerkesztés, amellyel az egység ismeretében
z hosszú szakaszt szerkeszthető.
Megjegyzés. Ez talán a legegyszerűbb átfogó elégséges feltétel a nem-szerkeszthetőségre. Ennél általánosabb feltétel, szükséges és elégséges feltétel is adható, de ahhoz mélyebb algebrai ismeretekre van szükség.
Igaz-e az állítás harmadfokú helyett negyedfokú polinomokra is?
Feladat: 1.31. {g_iii_131109SL06aa}
írjunk fel olyan egész együtthatós polinomot, amelynek fokszáma nagyobb, mint
2, nincsen racionális gyöke, sőt, nem bontható fel alacsonyabb fokú racionális együtthatós polinomok szorzatára, de mind a négy gyöke szerkeszthető.
Feladat: 1.32. {g_iii_131026SL01}
Az
1.30 feladat szerint szükségünk lesz bizonyos egyenletek esetében annak a bizonyítására, hogy nincsen racionális megoldásuk. íme néhány:
a)
8
x3
-4
x2
-4x+1,
b)
8
x3
-6x-1=0.
c)
px3
-
px2
-px+1=0,
ahol
p prímszám.
d) A
4
cx3
-2
x2
-3cx+1=0
egyenletben válasszuk meg
c értékét olyan pozitív egésznek, hogy ne legyen racionális megoldás!
e) Bizonyítsuk be, hogy az
x3
-
cx2
+x+c=0
egyenletben
c értéke választható olyan egynél nagyobb egész számnak, hogy ne legyen racionális megoldás.
Szerkeszthetőség II. Szögharmadolás
Feladat: 1.33. {g_iii_131110SL01}
Bizonyítsuk be, hogy
20∘
nem szerkeszthető euklideszi szerkesztéssel.
Feladat: 1.34. {g_iii_131026SL02}
Milyen egész
n számokra szerkeszthető
n∘
-os szög?
Feladat: 1.35. {g_iii_131110SL01aa}
Adható-e euklideszi szerkesztési eljárás (az oldalhossz ismeretében) szabályos kilencszög szerkesztésére?
Feladat: 1.36. {g_iii_131110SL01bb}
Tudjuk, hogy szabályos háromszög, négyszög, hatszög és nyolcszög szerkeszthető az oldalhossz ismeretében. Láttuk, hogy szabályos kilencszög nem szerkeszthető. Mi a helyzet a szabályos
a) ötszög,
b) hétszög,
c) tízszög
szerkesztésével?
Szerkeszthetőség III. Háromszögszerkesztések.
Feladat: 1.37. {g_iii_131109SL05}
Adott a háromszög két oldalának és egy (belső) szögfelezőjének a hossza. Szerkeszthető-e a háromszög?
(Hány feladatról van szó?)
A feladat megoldásához tisztázni kell, hogy mit is kérdezünk, amikor ezt kérdezzük, és milyen választ várunk. Ha pozitív a válasz, akkor olyan általános szerkesztési eljárást kell adnunk (diszkusszióval és a helyesség ellenőrzésével), amely minden adathármas esetén vagy megszerkeszti a háromszöget vagy megmutatja, hogy ilyen háromszög nincsen.
De elképzelhető az az eset, hogy ilyen eljárás nincsen. Ebben az esetben viszont elég
egyetlen olyan adathármast mutatni, amikor a háromszög
létezik, de az adatokból a háromszög
bizonyíthatóan nem szerkeszthető. Például azért - és mi más esettel nem fogunk foglalkozni -, mert a háromszög valamelyik adatáról megmutatható, hogy gyöke egy olyan harmadfokú egész együtthatós egyenletnek, amelynek nincsen racionális gyöke.
Feladat: 1.38. {g_iii_131111SL02}
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög egy oldalának a hosszából és az oldal két végpontjából induló belső szögfelező hosszából (
a,
fα
,
fβ
) nem szerkeszthető háromszög.
Feladat: 1.39. {g_iii_131028SL01}
Egy háromszög két oldalának hosszából és körülírt körének sugarából szerkeszthető háromszög. De szerkeszthető-e háromszög két oldalának hosszából és beírt körének sugarából?
Feladat: 1.40. {g_iii_131029SL01}
Szerkeszthető-e háromszög (adható-e általános szerkesztési eljárás), ha adott
a) a három (belső) szögfelezőjének a hossza;
b) két (belső) szögfelejezőjének és a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonalának a hossza;
c) két (belső) szögfelezőjének és a harmadik oldalhoz tartozó magasságának a hossza;
d) egy (belső) szögfelezőjének és a másik két oldalhoz tartozó magasságának a hossza?
Feladat: 1.41. {g_iii_131029SL01a}
Adott egy háromszögben az
BC oldal hossza, a szemközti csúcsból induló (belső) szögfelező hossza, továbbá
a) a
B csúcsnál,
b) az
A csúcsnál levő szög.
Van-e általános szerkesztési eljárás a háromszög megszerkesztésére?
Feladat: 1.42. {g_iii_131029SL01b}
Adott az
ABC háromszögben az
A csúcsból induló (belső) szögfelező hossza,
f, a
B csúcsból induló magasság hossza,
m és
a) a
C csúcsnál fekvő szög,
b) az
A csúcsnál fekvő szög.
Adható-e általános eljárás a háromszög szerkesztésére?
Feladat: 1.43. {g_iii_131039SLc}
Adható-e általános szerkesztési eljárás az
ABC háromszög szerkesztésére, ha adott
a) az
A-nál fekvő szög, a
B-ből induló belső szögfelező, valamint az
AB oldal hossza;
b) a
BC oldal hossza, a körülírt kör
R sugara, valamint a
B-ből induló belső szögfelező hossza?
Feladat: 1.44. {g_iii_abrakadabra1SL}
Szerkeszthető-e a háromszög, ha adott
a) az egyik csúcsból induló magasság és súlyvonal hossza, és egy másik csúcsból induló szögfelező hossza;
b) az egyik csúcsból induló magasság és szögfelező hossza és egy másik csúcsból induló súlyvonal hossza?