4. FEJEZET: Prímtényezők{mchap:sz_i_primteny}
Feladat: 4.1. {ftnehanyep05}
Milyen számjegyre végződik öt szomszédos egész szám szorzata?
Feladat: 4.2. {mmkszeOsztism01}[
63]
Keressünk öt-öt olyan számot, amelynek
a)
nincs valódi osztója!
b) csak egy osztója van!
c) csak két osztója van!
d) csak
három osztója van!
Feladat: 4.3. {mmkszeOsztism02a}[
63]
Bontsuk fel a 120-at két 1-nél nagyobb egész szám szorzatára! A
tényezőket, ha lehet bontsuk még tovább tényezők szorzatára!
Haladjunk tovább egészen addig, amíg lehet! Így a 120-at tovább
nem bontható számok szorzatára bontjuk.
Végezzük el a felbontást a 120 más két tényezős szorzataiból
kiindulva is! Mit tapasztalunk?
Feladat: 4.4. {mmkszeOsztism02b}[
63]
Bontsuk fel minél több tényező szorzatára és minél többféleképpen
a 60-at, a 96-ot, a 360-at és a 420-at! Mit tapasztalunk?
Feladat: 4.5. {mmkszeOsztism03}[
63]
Igazak-e a következő állítások?
a) Minden 6-tal osztható szám páros.
b) Minden 4-gyel osztható szám 4-gyel osztható számjegyre
végződik.
c) Van olyan páratlan szám, amely osztható 18-cal.
d) Van olyan 7-tel osztható szám, amely osztható 5-tel.
e) Van olyan 10-zel osztható szám, amely páros.
Feladat: 4.6. {mmkszeOsztism04}[
63]
20 is osztható 4-gyel, és 28 is. Igaz-e, hogy osztható
4-gyel
a) az összegük is?
b) a
pozitív különbségük is?
c) a szorzatuk is?
A
szorzatukról többet is mondhatunk. Mit?
Feladat: 4.7. {mmkszeOsztism05}[
63]
Keressünk két olyan 4-gyel osztható számot, amelyek hányadosa
a) 4-gyel nem osztható természetes szám!
b) 4-gyel osztható természetes szám!
Feladat: 4.8. {mmkszeOsztism06}[
63]
Keressünk olyan számokat, amelyek
a) 2-vel és 4-gyel is oszthatók, de 2 és 4 szorzatával
nem oszthatók!
b) 2-vel és 4-gyel is oszthatók, és 2-nek és 4-nek a
szorzatával is oszthatók!
c) 2-vel és 3-mal is oszthatók, de 2 és 3 szorzatával nem
oszthatók!
Feladat: 4.9. {mmkszeprimt01}[
63]
A 36
960-at és a 4225-öt bontsuk
törzstényezőkre!
Feladat: 4.10. {mmkszeprimt02}[
63]
Határozzuk meg a következő számok prímtényezős felbontását!
12100
7510
·
4520
Feladat: 4.11. [
63]
Van-e 2-nek olyan hatványa, amelyik osztható 7-tel?
Feladat: 4.12. [
63]
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a)
217
·
317
=
x17
b)
417
=
2x
c)
360
=
9x
d)
460
=
8x
e)
x2
=
261
f)
x3
=
327
Feladat: 4.13. [
63]
Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik
hamis!
a)
24
·
35
∣
26
·
37
b)
38
·
113
∣
24
·
39
·
114
c)
26
·
74
∣
28
·
73
·5
d)
24
·3·
52
∣
26
·
54
·
73
Feladat: 4.14. {mmkszeOsztismuj01}[
63]
Igaz-e, hogy pozitív egész
x,
y értékekre
a)
7∣xy⇒7∣x vagy
7∣y
b)
15∣xy⇒15∣x vagy
15∣y
c)
23∣xy⇒23∣x vagy
23∣y
d)
91∣xy⇒91∣x vagy
91∣y
Feladat: 4.15. {sz_i_alaptetel02var}
Az
n egész számra teljesül, hogy minden olyan esetben, amikor
oszt egy szorzatot, akkor a szorzatnak legalább az egyik
tényezőjét is osztja. Melyek az ilyen tulajdonságú
n egészek?
Feladat: 4.16. {mmkszeOsztismuj02}[
63]
Igaz-e, hogy pozitív egész
x értékekre
a)
2∣x és
3∣x⇒6∣x
b)
2∣x és
10∣x⇒20∣x
c)
2∣x és
10∣x⇒5∣x
d)
2∣x
és
6∣x⇒12∣x
Feladat: 4.17. {mmkszeOsztismuj03}[
63]
Igaz-e, hogy pozitív egész
x értékekre
a)
21∣
x2
⇒21∣x
b)
12∣
x2
⇒12∣x
c)
12∣
x2
⇒36∣
x2
d)
13∣7x⇒13∣x
Feladat: 4.18. {mmkszeOsztismuj04}[
63]
Egy
x pozitív egész szám négyzete osztható
280-nal. Mire lehet ebből következtetni?
Feladat: 4.19. {mmkszeOsztismuj05}[
63]
Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek az
1260-szorosa egy egész szám harmadik hatványa?
Feladat: 4.20. {mmkszeOsztismuj06}[
63]
Válasszunk ki három egymást követő pozitív egész számot!
Szorozzuk össze őket, és nézzük meg, milyen számokkal osztható a
szorzat!
Feladat: 4.21. {mmkszeOsztismuj07}[
63]
Igaz-e az, hogy bárhogy is választunk ki három
egymást követő pozitív egész számot, a szorzatuk biztosan osztható
6-tal?
Feladat: 4.22. {mmkszeOsztismuj08}[
63]
Mivel osztható biztosan 4 szomszédos pozitív egész szám
szorzata?
Feladat: 4.23. {mmkszeOsztismuj09}[
63]
Mivel osztható biztosan 7 szomszédos pozitív egész szám
szorzata?
Feladat: 4.24. {mmkszeOsztismuj11a}[
63]
. rajzokról három-három címke hiányzik.
Keressük meg, hogy melyik rajzhoz melyik címkehármas tartozik!
a) |
|
|
|
| | | |
b) |
|
|
|
| | | |
c) |
|
|
|
| | | |
d) |
|
|
|
| | | |
e) |
|
|
27
·
55
·
75
valódi osztói |
|
Feladat: 4.25. {mmkszeOsztismuj12}[
63]
Összeszorozzuk 1-től kezdve az első 100 pozitív egész
számot:
1·2·3·4·5· … ·97·98·99·100
|
Hány nulla van a kapott szorzat végén?
Feladat: 4.26. {komaszerepapir0101}[
111]
Ebben a feladatban prímkártyákkal dolgozunk, tehát olyan kis
lapokkal, amelyekre egy-egy prímszám van írva. Hét számot -
ezeket
A,
B,
C,
D,
E,
F és
G jelöli -
előállítottunk prímtényezős alakban. A számok betűjele mellé
helyeztük prímkártyáikat, de néhány kártyát lefordítva tettünk az
asztalra, ezekből csak a hátoldalukra rajzolt
x látható.
Az
A,
B,
C,
D,
E,
F,
G számok közül melyikre igaz?
| a) Lehet, hogy négyzetszám; | b)
Biztosan páros; |
| c) Biztos, hogy nem négyzetszám; | d) Biztos,
hogy osztható 9-cel; |
| e) Biztosan nem köbszám (azaz nem harmadik hatvány); |
| f) Biztos, hogy nem osztható 35-tel; | g)
Biztosan
0-ra végződik; |
| h) Lehet, hogy osztható 12-vel; | i) Biztos,
hogy nem
0-ra végződik; |
| j) Biztos, hogy nem osztható 8-cal.
|
Alább elárulunk még egy-egy információt az
A,
B,
C,
D,
E,
F,
G számokról. Így ki lehet találni a letakart prímeket?
k)
A: négyzetszám.
B: 8 többszöröse.
C:
0-ra végződik és osztható
7-tel.
D: páros négyzetszám.
E:
15 többszöröse.
F: ha még egy hármas prímkártyát hozzátennénk, négyzetszám
lenne.
G: A kilencedrésze köbszám.
Feladat: 4.27. {szv76}[
59]
Osztójáték
a) Két játékos felváltva mondhatja a 24 pozitív osztóit,
de a 24-et, és már kimondott osztó osztóját nem lehet mondani. Az
veszt, akinek már nem marad osztó.
A kezdőnek vagy a másodiknak szóló játékosnak kedvező-e a játék?
Mi a nyerő stratégia?
b) Mi a helyzet, ha a 24 helyett a 36 osztóival játszunk?
Feladat: 4.28. {szv76spec01}[
59]
Rajzoljuk le
a) 32,
b) 30,
c) 60
osztóit és tegyünk közéjük piros, kék és zöld nyilakat úgy, hogy
bármely osztótól a kétszereséhez piros, a háromszorosához kék, az
ötszöröséhet zöld nyíl mutasson. Próbáljuk úgy elrendezni az
osztókat, hogy az egyforma színű nyilak egymással párhuzamosak
legyenek!
Feladat: 4.29. {mmkszeOsszoszt01}[
63]
Egyetlen olyan szám van, amelynek pontosan egy
osztója van. Melyik az? Pontosan két osztója a prímszámoknak van.
Soroljunk fel néhányat!
• Keressünk olyan számokat, amelyeknek pontosan három
osztójuk van. Melyek ezek a számok?
• Keressünk olyan számokat, amelyeknek négy osztójuk van!
Feladat: 4.30. {mmkszeOsszoszt02}[
63]
Ha próbálgatással keressük egy szám osztóit, meddig
kell elmenni a próbálgatással?
Feladat: 4.31. {mmkszeOsszoszt03}[
63]
Hány osztója van a következő számoknak:
160
366
1991?
Feladat: 4.32. {mmkszeOsszoszt04}[
63]
Egy
n pozitív egész szám összes osztójának a számát
d(n)-nel
jelöljük. Az
n→d(n) függvény úgynevezett számelméleti
függvény. Folytassuk a táblázat kitöltését!
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
d(n) | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | | | | | |
|
n | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 20 | 21 | 24 | 30 | 31 | 32 |
d(n) | | | | | | | | | | | | |
Feladat: 4.33. {mmkszeOsszoszt05}[
63]
Határozzuk meg
d(n) értékét (
k tetszőleges pozitív
egész számot,
p tetszőleges prímszámot jelent)!
|
|
n |
d(n) |
11 | |
112
| |
113
| |
114
| |
: | |
11k
| |
|
n |
d(n) |
13 | |
132
| |
133
| |
134
| |
: | |
13k
| |
|
|
Feladat: 4.34. {mmkszeOsszoszt06}[
63]
Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékét!
d(
23
·
32
)=
d(
23
·
52
)=
d(19·23)=
d(19·23·31)=
d(2·
53
·
72
)=
Feladat: 4.35. {mmkszeOsszoszt07}[
63]
Próbáljuk megfogalmazni és képlettel leírni, hogy ha
ismeretes egy szám prímtényezős felbontása, miként állapítható
meg, hogy összesen hány osztója van!
Feladat: 4.36. {mmkszeOsszoszt08}[
63]
Hány osztója van a következő
számoknak:
720
960
30 000?
Feladat: 4.37. {mmkszeOsszoszt09}[
63]
Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek
a) 9 osztója van
b) 10 osztója
van?
Feladat: 4.38. {mmkszeOsszoszt10}[
63]
Keressünk olyan számokat, amelyeknek pontosan
a) 3
b) 4
c) 5
d)
6
osztója van!
Feladat: 4.39. {mmkszeOsszoszt11}[
63]
Van-e olyan 1000-nél kisebb szám, amelynek
a) pontosan 30
b) több mint 30
osztója van?
Feladat: 4.40. {mmkszeOsszoszt12}[
63]
6 melyik hatványának van pontosan
a) 24
b) 49
c) 100
osztója?
Feladat: 4.41. {mmkszeOsszoszt13}[
63]
Van-e olyan 33-mal osztható szám, amelynek
pontosan 33 osztója van?
Feladat: 4.42. {szv46}
a) Keressünk olyan pozitív egész számot, amely osztható
3-mal is és 4-gyel is, és 6 különböző pozitív osztója van!
b) Van-e olyan 3-mal is és 4-gyel is osztható pozitív
egész, amelynek 7 különbözó osztója van?
Feladat: 4.43. {ds_2005osz_primteny01}
Hány olyan osztója van 3600-nak, amely
a) osztható 2-vel?
b) osztható 6-tal?
c) négyzetszám?
d) ha osztható 2-vel, akkor 3-mal is?
Feladat: 4.44. {ds_2005osz_primteny02}
A 14 osztói nagyság szerinti sorrendben: 1, 2, 7, 14. Alább
megadjuk néhány pozitív egész szám osztóinak hiányos listáját.
Találjuk ki mely számok osztói vannak nagyság szerint felsorolva!
a) 1
3
A
B
15
C.
b)
1
D
E
8
F
G.
c) 1
H
I
J
22
K.
d) 1
L
M
9
N
O.
Feladat: 4.45. {ds_2005osz_primteny03}
Egy számnak tíz osztója van. Mi lehet ez a szám, ha az osztók közt
van a
a) 32?
b) 6?
c)
9 és a 11?
Feladat: 4.46. {szv11a}[
46]
Egy törtszámról a következőket tudjuk:
- egyszerűsített alakja
2
5
;
- számlálójának és nevezőjének összege kétjegyű négyzetszám.
Melyik ez a törtszám?
Feladat: 4.47. {szv62}
Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyiknek a 245 szöröse
négyzetszám?
Feladat: 4.48. {szv64}
Lehet-e két négyzetszám szorzata és hányadosa is négyzetszám?
Feladat: 4.49. {szv74}
a) Keressünk olyan pozitív egész számot, amelyet 2-vel
szorozva négyzetszámot, 3-mal szorozva köbszámot kapunk!
b) Adjunk meg olyan számot, amelyre a fentiek mellett még
az is igaz, hogy ötszöröse teljes ötödik hatvány!
Feladat: 4.50. {bgszamI05}
Készítsünk algoritmust, ami megadja egy szám prímtényezős
felbontását.
Feladat: 4.51. {bgszamI06}
Készítsünk algoritmust, ami a prímtényezős alakból előállítja az
eredeti számot!