1. FEJEZET: Városok Viadala, 1980--1989{mchap:vv_iii_1980_1989}
1980 Senior
Feladat: 1.1. {vv_iii_1980_senior_01fel}
Egy kör kerületén piros és kék pontok vannak. Kijelölhetünk egy
új piros pontot, miközben két szomszédja színt vált. Ki is
vehetünk egy meglévő piros pontot, szomszédai ekkor is
átszíneződnek. Igazoljuk, hogy ha kezdetben két piros pont volt,
akkor nem juthatunk a fenti lépésekkel olyan helyzetbe, hogy két
kék legyen.
1981 Senior
Feladat: 1.2. {vv_iii_1981_senior_01fel}
Két testet felületszomszédosnak nevezünk, ha nincs
közös belső pontjuk és van egy-egy lapjuk, melyek
közös része egy sokszög. Lehetséges-e, hogy 8
tetraéder közül bármely kettő
felületszomszédos?
Feladat: 1.3. {vv_iii_1981_senior_02fel}
A végtelen síkon két játékos a
következőt játssza. Van
k+1 bábu:
k darab
bárány és egy farkas. Az
X játékos a
farkassal lép, az
Y a bárányok közül
valamelyikkel. Minden lépés iránya tetszőlegesen
választható,de hossza legfeljebb egy méter lehet. A
játékosok felváltva lépnek. Igaz-e, hogy
k
minden értékéhez létezik olyan kezdő
elrendezés, melyből indulva a farkas sohasem kaphat el
bárányt, ha
X kezd.
Feladat: 1.4. {vv_iii_1981_senior_03fel}
Igazoljuk, hogy minden pozitív valós szám
felírható 9 olyan szám összegeként, melyeknek
(tizes számrendszerbeli alakjában) csak kétfajta jegy
lehet, 0 és 7.
1983-1984 Senior, ősz
Feladat: 1.5. {vv_iii_1983_84_osz_senior_01fel}
Feladat: 1.6. {vv_iii_1983_84_osz_senior_02fel}
Feladat: 1.7. {vv_iii_1983_84_osz_senior_03fel}
Az
ABC háromszög körülírt körének
középpontja
O, a háromszögön belül
helyezkedik el.
O-ból merőlegeseket bocsátunk az
oldalakra, ezek meghosszabbítva a köréírt
kört
a
K,M,P pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy
OK
→
+
OM
→
+
OP
→
=
OI
→
ahol
I a háromszög beírt körének
középpontja.
1983-84 Senior, 2. forduló, tavasz
Feladat: 1.8. {vv_iii_1983_84_2ford_senior_01fel}
Feladat: 1.9. {vv_iii_1983_84_2ford_senior_02fel}
Feladat: 1.10. {vv_iii_1983_84_2ford_senior_03fel}
Egy mindkét irányban végtelen hosszú folyosó
egyik oldalán végtelen sok szoba helyezkedik el. A
szobák egymást követő egész számokkal
vannak megszámozva, és minden szobában van egy
zongora. A szobákban véges sok zongorista él. (Egy
szobában akár több is.) Minden nap két
szomszédos szobában lakó zongorista (pl. a
k-adik
és a
k+1-edik) megelégeli a másik
gyakorlását, és a
k-1-edik illetve
k+2-edik
szobába költöznek át. Igazoljuk, hogy véges
számú nap elteltével abbahagyják a
költözködèst.