10. FEJEZET: Polinomok különböző tulajdonságai{mchap:zarub_23}
Feladat: 10.1. {zarub_23_01}
(??, 62). A
p,
q egész paraméterek mely
értékeire vesz fel a
a)
P(x)=
x2
+px+q polinom minden
x∈Z helyen
páros (páratlan) értéket?
b)
P(x)=
x3
+px+q polinom minden
x∈Z helyen
hárommal osztható értéket?
Feladat: 10.2. {zarub_23_02}
(NDK, 83). Mutassuk meg, hogy a
P(x)=
1
630
x9
-
1
21
x7
+
13
30
x5
-
82
63
x3
+
32
35
x
|
polinom minden egész helyen egész értéket vesz fel!
Feladat: 10.3. {zarub_23_03}
(Csehszlovákia, 62). Adjuk meg az összes olyan
x
egész számot, amelyre a
2
x2
-x-36 polinom értéke prímszám
négyzetével egyenlő.
Feladat: 10.4. {zarub_23_04}
(??, 75). Adottak a
p,q∈R paraméterek.
Határozzuk meg a
P(x)=
x2
+px+q polinom értékkészletét a
[-1;1]
intervallumon. Adjuk meg az összes olyan
x efész számot, amelyre
a
2
x2
-x-36 polinom értéke prímszám négyzetével egyenlő.
Feladat: 10.5. {zarub_23_05}
(Peking, 63). A
P(X) egész együtthatós polinomnak
négy különböző egész helyen is
2 az értéke. Mutassuk meg, hogy
nincs olyan egész hely, ahol
1,
3,
5,
7 vagy
9 lenne az
értéke.
Feladat: 10.6. {zarub_23_06}
(Anglia, 80). Keressünk legalább egy olyan
M
halmazt, amely
7 egymást követő természetes számból áll és
amelyhez található az alábbi három tulajdonsággal rendelkező
ötödfokú
P(x) polinom:
a)
P(x) együtthatói egészek;
b) az
M halmaz öt különböző elemére (
k∈M)- köztük az
M
legnagyobb és legkisebb elemére - is teljesül a
P(k)=k
összefüggés;
c) az egyik
k∈M elemre
P(k)=0.
Feladat: 10.7. {zarub_23_07}
(NDK, 74).
a) Mutassuk meg, hogy nem
létezik olyan
P(x) polinom, amelyre minden
x∈R számra
teljesül az alábbi két összefüggés:
1.)
P'(x)>P"(x) 2.)
P(x)>P"(x).
b) Igaz marad-e az a) rész állítása, ha az 1.) feltételt
kicseréljük az alábbi feltételre:
1'.)
P(x)>P'(x)?
Feladat: 10.8. {zarub_23_08}
(??, 82). Adottak a
P0
(x),
P1
(x), ... ,
Pn
(x) valós együtthatós polinomok és az
a1
, ... ,
an
valós számok. Mutassuk meg, hogy ha az
f(x)=
P0
(x)+
∑k=1
n
ak
|
Pk
(x)|
|
függvény egy valós értéket sem vesz fel egynél több helyen, akkor
minden valós értéket felvesz.
Feladat: 10.9. {zarub_23_09}
(Zsűri, ??, 83). Az
{
an
} sorozatot (Fibonacci
sorozat) az
a1
=
a2
=1 értékek és az
an+2
=
an+1
+
an
(
n∈N) rekurziós szabáály definiálja. Mutassuk meg, hogy
ha a
990-ad fokú
P(x) polinomra a
k=992,
993, ... ,
1982 értékeknél
P(k)=
ak
, akkor
P(1983)=
a1983
-1.
Feladat: 10.10. {zarub_23_10}
(Anglia, 78). Mutassuk meg, hogy
a) minden
n természetes számhoz található olyan
n-edfokú egés zegyütthatós
Pn
(x) polinom, amelyre
b) bármely
α∈Q esetén a z
cosαπ
szám vagy megegyzezik a
0,
±1,
±
1
2
számok
egyikével, vagy irracionális.
Feladat: 10.11. {zarub_23_11}
(Finnország, 80). Adott a koordinátasíkon egy
görbe, amely egy
P(x)=
x4
+
px3
+
qx2
+rx+s, (p,q,r,s∈R)
|
alakú polinomfüggvény grafikonja. A sík valamely egyenesét
,,vízszintes"-nek nevezzük, ha párhuzamos az
x-tengellyel és
négy különböző pontban - balról jobbra:
A,
B,
C,
D -
metszi a görbét. Ha emellett az
AB,
AC,
AD szakaszok hossza
iegy háromszög oldalhosszai is lehetnek, akkor az egyenes
,,trianguláris"-nak is nevezzük. Mutassuk meg, hogy csak két eset
lehetséges: vagy minden horizontális egyenes trianguláris, vagy
egyik sem.
Feladat: 10.12. {zarub_23_12}
(??, 77). Mutassuk meg, hogy ha a
Q(x) polinom
nem az azonosan nulla polinom, akkor bármely
n∈N számra
a
P(x)=(x-1
)n
Q(x) polinomnak legalább
(n+1) nullától
különböző együtthatója van.
Feladat: 10.13. {zarub_23_13}
(Csehország, 74). Jelölje
M a
P(x)=
ax3
+
bx2
+cx+d (a,b,c,d∈R)
|
alakú olyan polinomok halmazát, amelyekre
|P(x)|≤1, ha
x∈[-1;1]. Mutassuk meg, hogy van egy olyan
k korlát, amelyre
|a|≤k minden
P(x)∈M polinomra. Adjuk meg a legkisebb
ilyen
k korlátot!
Feladat: 10.14. {zarub_23_14}
(Zsűri, Finnország, 83). Mutassuk meg, hogy
bármely
p,
q pozitív egészekhez található olyan
P(x) egész
együtthatós polinom, amelyre valamely
1
q
hosszúságú
I⊂R intervallumban teljesül a
|P(x)-
p
q
|<
1
q2
egyenlőtlenség.
Feladat: 10.15. {zarub_23_15}
(NDK, 80). Adjuk meg harmadfokú valós együtthatós
polinomok összes olyan
P(x),
Q(x) párját, amely teljesíti az
alábbi négy feltételt:
a) az
x=1,
2,
3,
4 mindkét polinom a
0 vagy az
1
értéket veszi fel;
b) ha
P(1)=0 vagy
P(2)=1, akkor
Q(1)=Q(3)=1;
c) ha
P(2)=0 vagy
P(4)=1, akkor
Q(2)=Q(4)=0;
d) ha
P(3)=1 vagy
P(4)=1, akkor
Q(1)=0.
Feladat: 10.16. {zarub_23_16}
(??, 75). Az
n-ed fokú
P(x) polinomra
k=0,
1,
2, ... ,
n esetén teljesül a
P(k)=k/(k+1)
összefüggés. Adjuk meg
P(n+1) értékét!
Feladat: 10.17. {zarub_23_17}
(Zsűri, 81). Az
n-ed fokú
P(x) polinomra
k=0,
1,
2, ... ,
n esetén teljesül a
P(k)=1/(
n+1
k
) összefüggés. Adjuk meg
P(n+1) értékét!
Feladat: 10.18. {zarub_23_18}
(Zsűri, ??, 77). Adottak az
x0
<
x1
<
x2
<…<
xn
egész számok. Mutassuk meg, hogy az
xn
+
a1
xn-1
+
a2
xn-2
+…+
an
polinomnak az
x0
,
x1
,
x2
, ...
xn
helyeken felvett értékei között van
olyan, amelynek az abszolút értéke legalább
n!
2n
.
Feladat: 10.19. {zarub_23_19}
(Zsűri, ??, 79). A
P(x) polinom foka legfeljebb
2n. Tudjuk, hogy a
[-n;n] intervallumban található bármely
k
egész számra fennáll a
|P(k)|≤1 egyenlőtlenség.
Mutassuk meg, hogy ugyanezen intervallumban található bármely
x
valós számra teljesül a
|P(x)|≤
22n
egyenlőtlenség!