Feladat: 9.1. [
80]
Az
f folytonos és monoton növekedő függvény a
[0;1] intervallumban értelmezett, és értékkészlete is ugyanez az intervallum, továbbá
f(0)=0,
f(1)=1. Bizonyítsuk be, hogy a függvény grafikonját le lehet fedni
n darab egyenként
1
n2
területű téglalappal (a téglalapok oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel)!
Feladat: 9.2. [
5]
Stirling formula
Alább a logaritmus görbe alatti,
1 és
n abszcisszák közés eső
In
területének vizsgálatából
n! értékére nyerünk aszimptotikus formulát.
Legyen
i∈
N+
esetén
Ai
(i;0),
Bi
(i;lni), valamint jelölje
Ci
a logaritmus görbe
Bi+1
-beli érintőjének
i abszcisszájú pontját és
Si
,
Ti
,
ti
rendre az
Ai
Ai+1
Bi+1
Bi
négyszög, a
Bi
Bi+1
Ci
háromszög (az ábrán a szürke és fekete tartomány együtt) illetve a
Bi
Bi+1
húr és a logaritmusgörbe közti tartomány (az
1. ábrán a fekete tartomány) területét.
1. ábra
a) Fejezzük ki
n-nel
In
értékét!
b) Fejezzük ki
i-vel
Si
értékét!
c) Fejezzük ki
n! értékét az
In
-re és
Si
-re kapott formulákból és a
ti
területekkel!
d) Mutassuk meg, hogy a
τn
=
∑i=1
n
Ti
sorozat konvergens!
e) Mutassuk meg, hogy a
τ
'n
=
∑i=1
n
ti
sorozat konvergens!
f) Határozzuk meg a
cn
=lnn!-(n+
1
2
)lnn+n sorozat határértékét (
cn
=1-τ
'n
)!
g) Mutassuk meg, hogy
Megoldás: 9.2