16. FEJEZET: Speciális témák
Feladat: 16.1.
Az A4 és A3 méretű papírlapokról a következők tudhatók:
1. Egy A3-as lapot félbetépve két A4-es méretű lapot kapunk.
2. Az A4-es lap felnagyítható A3-assá.
a) Határozzuk meg az A4-es (és A3-as) lap oldalainak
arányát!
b) Egy A4-es lapot az
A csúcsán átmenő
AE egyenes
mentén behajtjuk és azt tapasztaljuk, hogy
B csúcsa épp a
CD
oldalra kerül (lásd az
1.
ábrát, ahol
B'∈CD!). Igaz-e, hogy a
CB'E háromszög egyenlő
szárú?
1. ábra
Feladat: 16.2.
Egy A4-es lap egyik hosszú oldalának felezőpontja
F, a vele
szemközti oldal
CD.
a) Hány olyan egyenes van, amelyen áthajtva
F-et épp a
CD oldalra kerül?
b) Készítsünk el sok ilyen hajtásvonalat. Mit rajzolnak
ki ezek?
Feladat: 16.3. [
43]
Egy négyzetalakú papírlapot (az
1.
ábrán
ABCD) először félbehajtunk, hogy megjelenjen az
IJ
felezővonal, majd visszahajtjuk és egy
A-ból induló megfelelő
egyenes (
AC) mentén úgy hajtjuk, hogy
B rákerüljön a
felezővonalra (
B'∈IJ). Az ábrán több szög nagysága
60∘
-nak tűnik.
Válasszuk ki az egyiket és igazoljuk, hogy valóban
60∘
-os!
1. ábra
Feladat: 16.4. [
110]
Az
1. ábrán egy négyzet alakú
papírlap (
ABCD) látható, amelyet egy egyenes mentén (
EF)
behajtunk. A hajtásvonalat úgy sikerült megválasztani, hogy az
egyik csúcs (
C) és egy szemközti oldalvonalra került (
C'∈AB).
a) Igazoljuk, hogy a
C'
D'
egyenes
érinti azt a
C középpontú kört, amely átmegy
B-n és
D-n.
b) Igazoljuk, hogy a
GAC'
háromszög kerülete
egyenlő az
ABCD négyzet kerületének felével.
c) Bizonyítsuk be, hogy
AG=
C'
B+
GD'
.
d) Mutassuk meg, hogy a
C'
BE,
GD'
F
háromszögek kerületének összege megegyezik a
GAC'
háromszög kerületével.
e) Mutassuk meg, hogy a
GD'
F háromszög
kerülete egyenlő az
AC' szakasz hosszával.
f) Igazoljuk, hogy a
GAC'
háromszög beírt
körének sugara egyenlő a
GD'
szakasz hosszával.
1. ábra
Feladat: 16.5. [
110]
Szögharmadolás
A téglalap alakú papírlap sarkában elhelyezett
BAE∠ -et
szeretnénk megharmadolni (lásd
az
1. ábrát).
Ismételt hajtásokkal létrehozzuk az
AD-vel párhuzamos
FG,
HI
hajtásvonalakat. Ezután úgy hajtunk, hogy
A rákerüljön
FG-re
(
A'∈FG, miközben
H épp
AE-re kerül
H'∈AE. Mutassuk
meg, hogy
AA' harmadolja a
CAD∠ szöget!
1. ábra
Feladat: 16.6. [
110]
Kockakettőzés
Adott egy négyzet alakú papírlap (
ABCD), amin már be van
rajzolva két harmadolóvonal (Az
1.
ábrán
EF és
GH,
AF=FH=HD,
BE=EG=GC). Hajtsuk be a
papírlapot űgy, hogy
A a
BC oldalra essen (
A'
∈BC, mikötben
F a
GH egyenesre kerül (
F'
∈GH.
Határozzuk meg a
CA'
A'
B
arány értékét!
1. ábra
Feladat: 16.7. [
110]
Hányszor lehet félbehajtani egy papírt?
Legalább milyen hosszú kell legyen egy papírcsík, ha
n-szer
szeretnénk félbehajtani? A hajtásokat mindig a csík hosszanti
irányára merőlegesen végezzük. A papír vastagsága legyen
d.
Ahhoz, hogy a papír ne szakadjon el, az kell, hogy sehol se
nyúljon meg, legfeljebb összenyomódhat! Ezen feltételezés alapján
az első hajtás során például
dπ hosszúságú papírdarab
fordítódik a hajtás részre, mert ekkora a hajtásnál keletkező
félkör ívének külső sugara.
a) Adjuk meg a papírcsík minimális
L(d,n) hosszát zárt
alakban!
b) Mi a helyzet akkor, ha négyzet alakú papírból indulunk
ki és váltogatjuk a hajtás irányát? Ezesetben mekkora
W=W(d,n)
oldalhosszúságú négyzetre van szükség, hogy
n-szer félbe tudjuk
hajtani?
c) Mekkora papírdarabra van szükség az egyik illetve a
másik esetben, ha 12-szer szeretnénk félbehajtani a papírt?
Melyiknek raálisabb a megvalósítása?
Megoldás: 16.7