2. FEJEZET: Városok Viadala, 1990--1999
Feladat: 2.1.
Egy nem működő mozgólépcsőn egy illető gyorsabban megy lefele,
mint felfele. Mi a gyorsabb, egy felfele mozgó lépcsőn le- és
felmennie, vagy egy lefele mozgó lépcsőn fel és lemennie?
(Feltételezzük, hogy minden említett sebesség állandó, a
mozgólépcső ugyanolyan gyorsan mozog lefele és felfele, továbbá
emberünk mindkét irányba haladva gyorsabb, mint a mozgólépcső.)
3 pont
Feladat: 2.2.
Igazoljuk, hogy végtelen sok egész megoldása van a következő
egyenletnek:
N. Vasziljev 3 pont
Feladat: 2.3.
Az
ABCD négyzet
BC oldalának pontja
K. A
KAD∠
szögfelezője a
CD oldalt
M-ben metszi. Igazoljuk, hogy
AK=DM+BK.
4 pont
Feladat: 2.4.
Legkevesebb hány egyenest kell megadnunk, ha el szeretnénk érni,
hogy egy sakktábla minden mezőjén legyen egy belső pont, melyen
áthalad egy egyenes. Ábrával szemléltesd, hogy ennyi egyenes elég
és bizonyítsd, hogy kevesebb viszont nem elég. A sakktábla mérete
legyen: (a)
3×3; (b)
4×4.
M. Vyalyi 2+4 pont
Feladat: 2.5.
Legkevesebb hány egyenest kell
megadnunk, ha el szeretnénk érni, hogy egy sakktábla minden
mezőjén legyen egy belső pont, melyen áthalad egy egyenes.
Ábrával szemléltesd, hogy ennyi egyenes elég és bizonyítsd, hogy
kevesebb viszont nem elég. A sakktábla mérete legyen: (a)
3×3 ; (b)
4×4 .
M. Vyalyi 2+3 pont
Feladat: 2.6.
Adott egy háromszög
a és
b oldala. Mekkorának válasszuk a
harmadik oldalt, hogy azon a beírt és hozzáírt körök érintési
pontjai éppen harmadolópontok legyenek?
3 pont
Feladat: 2.7.
Igazoljuk, hogy végtelen sok egész megoldása van a következő
egyenletnek:
xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)=6.
|
N. Vasziljev 4 pont
Feladat: 2.8.
Legfeljebb hány huszár helyezhető el egy
5×5-ös sakktáblán
úgy, hogy semely kettő nem üti egymást? Igazoljuk, hogy a maximum
egyetlen elrendezéssel érhető el.
A. Kanel 4 pont
Feladat: 2.9.
Mutassuk meg, hogy az alábbi sorozatnak tagja a 0 és állapítsuk
meg, hányadik.
x1
=19,
x2
=97,
xn+2
=
xn
-
1
xn+1
(n=1,2,...).
|
A. Berzins 3 pont
Feladat: 2.10.
Az
ABC háromszög
BC oldalának felezőpontja
M. Szerkesszünk
BC-vel párhuzamos olyan egyenest, amelynek az
AB és
AC
oldalak közé eső szakasza
M-ből derékszögben látszik.
3 pont
Feladat: 2.11.
Egy
1×n-es tábla minden mezőjén van egy korong. Első
lépésben megfogunk egy korongot és valamely szomszédos mező
korongjának tetejére helyezzük, így keletkezett egy korongtorony.
A továbbiakban minden alkalommal egy korongtornyot helyezünk át,
éppen annyi mezővel elmozdítva, ahány korongot tartalmazott a
torony. Ha az áthelyezésnél nem üres mezőre tesszük a tornyot,
akkor mindig a már ott lévő korong (vagy korongok közül a
legfelső) tetejére rakjuk. Igazoljuk, hogy
n-1 lépésben a
korongok összegyűjthetők egyetlen korongtoronnyá.
A. Sapovalov 5 pont
Feladat: 2.12.
Két kör metszi egymást az
A és
B pontokban. Egy közös
érintőjük az elsőt
C-ben, a másodikat
D-ben érinti,
CBD∠>CAD∠ . A
CB egyenes a második kört még
E-ben is metszi.
Igazoljuk, hogy
CAE∠ szögfelezője
AD.
P. Kozevnyikov 5 pont
Feladat: 2.13.
Egy kocka lapjait fehérre és feketére festettük. Van egy
sakktáblánk, amelynek mezői éppen akkorák, mint a kocka egy lapja.
A kockát a sakktábla egy mezőjére helyezzük, majd végiggörgetjük a
táblán úgy, hogy minden mezőre pontosan egyszer kerüljön.
Lehetséges-e, hogy minden alkalommal a kockán levő alsó mező színe
megegyezzen a sakktábla éppen alatta levő mezőjének színével?
A. Sapovalov 8 pont
Feladat: 2.14.
Egy szabályos háromszögre oldalaival párhuzamos egyeneseket
rajzolunk, amelyek az oldalakat 10 egyenlő részre, a háromszöget
pedig 100 egybevágó kis háromszögre osztják. Megrajzoljuk még a
háromszög oldalegyeneseit is. Két szomszédos párhuzamos közötti
részt sávnak nevezzük. Legfeljebb hány kis háromszög jelölhető ki
úgy, hogy semely két kiválasztott se essen egy sávba?
R. Zenodarov 9 pont
Feladat: 2.15.
Az
ABC háromszög
AB és
AC oldalainak felezőpontjai
rendre
M és
N. Az
AB és
AC oldalakon van
P és
Q úgy,
hogy
ACB∠ szögfelezője egyben
MCP∠ szögfelezője,
továbbá
ABC∠ szögfelezője egyben
NBQ∠ szögfelezője.
Amennyiben
AP=AQ, biztosan állíthatjuk-e, hogy
ABC egyenlő
szárú?
V. Senderov 4 pont
Feladat: 2.16.
Az alábbi állítások közül melyik igaz?
(a) Ha egy sokszög két egybevágó sokszögre vágható szét egy
töröttvonallal, akkor szétvágható egy egyenessel is.
(b) Ha egy konvex sokszög két egybevágó sokszögre vágható szét
egy töröttvonallal, akkor szétvágható egy egyenessel is.
(c) Ha
egy konvex sokszög két egybevágó sokszögre vágható szét egy
töröttvonallal úgy, hogy a két rész forgatások és eltolások
segítségével fedésbe hozható, akkor szétvágható egy egyenessel is.
S. Markelov 1+2+4 pont
Feladat: 2.17.
Összeszorozzuk az összes különböző olyan számot, melyet az alábbi
kifejezésből kaphatunk, az előjelek lehetséges kiválasztásaival:
±1±2±...±100. Bizonyítsuk be,
hogy az eredmény (a) egész; (b) négyzetszám.
A. Kanel 3 pont
Feladat: 2.18.
(a) Szabályos hatszög alakú, egybevágó szalvéták fekszenek egy
asztalon. Átfedések is lehetnek. A szalvéták egyik oldala
párhuzamos egy adott egyenessel. Szeretnénk beverni néhány szöget
úgy, hogy minden szalvétát pontosan egyszer szögeljünk át.
Sikerülni fog ez minden esetben?
(b) Oldjuk meg a feladatot, ha a szalvéták szabályos ötszög
alakúak.
A Kanel 4 pont
Feladat: 2.19.
Iván egy titkos kódot fejlesztett ki, minden betűt egy
legfeljebb 10 betűs szóval helyettesít. A kódolás akkor jó, ha
minden kódolt szó egyféleképpen dekódolható, fejthető vissza.
Szergej egy számítógép segítségével ellenőrizte, hogy minden
legfeljebb 10 000 betűs szó egyféleképpen dekódolható.
Következik-e ebből, hogy Iván kódja jó? (Iván és Szergej oroszok,
a cirill abc-t használják, melyben 33 betű van. Tetszőleges
betűsorozatot szónak tekintünk.)
D. Pjontovszkij, S. Salumov 8 pont
Feladat: 2.20.
Egy szabályos háromszögre oldalaival párhuzamos egyeneseket
rajzolunk, amelyek az oldalakat
n egyenlő részre, a háromszöget
pedig
n2
egybevágó kis háromszögre osztják. Megrajzoljuk még
a háromszög oldalegyeneseit is. Két szomszédos párhuzamos közötti
részt nevezzük sávnak. Legfeljebb hány kis háromszög jelölhető ki
úgy, hogy semely két kiválasztott se essen egy sávba, ha (a)
n=10; (b)
n=9?
R. Zenodarov 7+7 pont
Feladat: 2.21.
Örzse, Erzsi és Rezső szavakat írtak a füzetükbe, Örzse írta a
legtöbbet, Erzsi a legkevesebbet. A szavakért pontokat kaptak.
Ha egy szót csak egy valaki írt, azért két pontot kapott. Ha egy
szót ketten is leírtak, azért mindketten egy-egy pontot kaptak. A
mindhármuk által leírt szavakért nem járt pont. Lehetséges-e,
hogy Erzsinek lett a legtöbb pontja és Örzsének a legkevesebb?
A. Sapovalov 3 pont
Feladat: 2.22.
Egy király bejárja a
8×8 -as sakktáblát, minden mezőre
pontosan egyszer lép és végül a kiindulási mezőre jut vissza.
Igazoljuk, hogy páros sok átlós lépést tesz útja során.
V. Proizvolov 3 pont
Feladat: 2.23.
Egy
O csúcsú szög egy-egy szárán találhatóak az
AB és
CD
szakaszok, az
A pont
O és
B között, a
C pont
O és
D
között van. Az
AD és
BC szakaszok felezőpontjain áthaladó
egyenes
AB-t
M-ben,
CD-t
N-ben metszi. Bizonyítsuk be,
hogy
OM
ON
=
AB
CD
.
V. Senderov 3 pont
Feladat: 2.24.
Minden háromjegyű számnál tekintsük számjegyeinek szorzatát.
Mennyi ezeknek a szorzatoknak az összege?
G. Galperin 4 pont
Feladat: 2.25.
Pinokkió azzal henceg, hogy egy egyenlő szárú háromszöget
felvágott három háromszögre úgy, hogy közülük bármely kettő
összeilleszthető egy egyenlő szárú háromszöggé. Szerinted
Pinokkió lódít?
A. Sapovalov 5 pont
Feladat: 2.26.
Pinokkió azzal kérkedik, hogy néhány hasonló, nem derékszögű
háromszöget összeillesztve egy téglalapot készített. (A
háromszögek között lehetnek egybevágók is.) Vajon Pinokkió csak
lódít?
A. Fedorov 3 pont
Feladat: 2.27.
Minden négyjegyű számnál tekintsük számjegyeinek szorzatát.
Mennyi ezeknek a szorzatoknak az összege?
G. Galperin 3 pont
Feladat: 2.28.
Egy
8×8-as sakktábla minden mezőjét valamilyen
színnel kifestettük úgy, hogy minden mezőnek legalább két
oldalszomszédja vele azonos színű. Legfeljebb hány színt
használhattunk fel?
A. Sapovalov 3 pont
Feladat: 2.29.
Legyenek
A,
B,
C és
D olyan pozitív egészek, hogy az
(a) egyenletrendszernek
m, a (b) egyenletrendszernek
n
megoldása van. Határozzuk meg
m és
n értékét, ha
m>n>1.
(a)
x2
+
y2
=A, |x|+|y|=B;
|
(b)
x2
+
y2
+
z2
=C, |x|+|y|+|z|=D.
|
G. Galperin 4 pont
Feladat: 2.30.
Egy szög szárait érinti az
O középpontú kör. Az egyik
szögszárra tükrözzük
O-t, így kapjuk az
A pontot. A körhöz
A-ból húzott érintők a szög másik szárát
B és
C pontokban
metszik. Igazoljuk, hogy az
ABC háromszög köréírt körének
középpontja az eredetileg adott szög szögfelezőjén van.
I. Sharygin 5 pont
Feladat: 2.31.
Megadható-e 10 pozitív egész úgy, hogy egyikük sem osztható
valamely másik számmal, de mindegyik számnak a négyzete osztható a
többi számmal?
Feladat: 2.32.
Az
ABCD paralelogramma átlóinak metszéspontja
O. Az
AB
oldalegyenes
M pontjára
MAD∠=AMO∠ . Bizonyítsuk
be, hogy
MD=MC.
M. Smurov 3 pont
Feladat: 2.33.
Hat dobókockát kifúrtunk egy-egy szemköztes lapjuk középpontján
át, majd egy rudat dugtunk a lyukakon át. Minden kocka szabadon
forgatható a rúdon. Igazoljuk, hogy a kockákat beforgathatjuk
úgy, hogy egy asztalra helyezve a legfelső lapok számai által
alkotott hatjegyű szám osztható legyen héttel. (A kockák 1-től
6-ig számozottak, a szemköztes lapokon a számok összege 7.)
G. Galperin 4 pont
Feladat: 2.34.
Az igazmondók és hazudósak falujába érkezett egy vándor. A falu
lakói egy nagy körbe felálltak és mindenki megmondta, hogy a jobb
oldali szomszédja igazmondó-e. Ezek után a vándor meg tudta
állapítani, hogy a falu lakosságának hanyadrésze hazudós. A falu
lakosságának hanyadrésze hazudós?
B. Frenkin 4 pont
Feladat: 2.35.
Egy négyzetet 25 egybevágó kis négyzetre osztottunk. Néhány kis
négyzetnek meghúzzuk valamely átlóját úgy, hogy semely két átlónak
ne legyen közös pontja. (Még végpontja se!) Legfeljebb hány kis
átlót húzhatunk be?
I. Rubanov 7 pont
Feladat: 2.36.
10 ember ül egy kerek asztal körül, mindegyikük előtt néhány dió,
összesen 100 dió. Egy jelre mindenki néhány diót a jobb oldali
szomszédjának ad. Ha páros sok diója volt, akkor a diók felét,
egyébként egy diót és a maradék felét adják mindig át. Ez
ismétlődik többször. Bizonyítsuk be, hogy véges sok lépés után
mindenkinek 10 diója lesz.
A. Sapovalov 8 pont
Feladat: 2.37.
Legyenek
a,
b,
c valós
számok. Bizonyítsuk be a következő egyenlőtlenséget:
a3
a2
+ab+
b2
+
b3
b2
+bc+
c2
+
c3
c2
+ca+
a2
≥
a+b+c
3
.
|
S. Tokarev 4 pont
Feladat: 2.38.
Egy egységoldalú négyzetet téglalapokra vágtunk. Minden
téglalapnak tekintjük a rövidebb oldalát, ha téglalapunk egy kis
négyzet volt, annak az oldalát. Bizonyítsuk be, hogy ezek összege
legalább 1.
4 pont
Feladat: 2.39.
(a) A táblára felírták az 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 számokat.
Bármely két szám letörölhető, ilyenkor viszont felírjuk a
különbségük abszolút értékét. Ezt hétszer ismételve egyetlen szám
marad a táblán. Lehet ez a 97? (b) A táblára felírták az 1, 2,
4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 számokat. Bármely két szám
letörölhető, ilyenkor viszont felírjuk a különbségük abszolút
értékét. Ezt tízszer ismételve egyetlen szám marad a táblán. Mi
lehet ez a szám?
A. Sapovalov 2+3 pont
Feladat: 2.40.
Az
ABCD konvex négyszög belső pontja
M,
AM=MB és
CM=MD,
továbbá
AMB∠=CMD∠=
120∘
. Bizonyítsuk be, hogy
létezik olyan
N pont, amelyre
BNC és
DNA szabályosak.
I. Sharygin 5 pont
Feladat: 2.41.
Egy
8×8-as sakktábla "labirintust" képez, néhány
szomszédos mező közé falakat helyezünk. Ha egy bástya be tudja
járni az egész táblát falakon való áthaladás nélkül, akkor a
labirintus jó, egyébként rossz. Jó, vagy rossz labirintusból
van-e több?
A. Sapovalov 6 pont
Feladat: 2.42.
(a) Két bűvész kártyatrükköt mutat be. A közönség egy önként
jelentkező tagját megkérik, keverje meg az 52 lapos kártyapaklit.
Ezek után egyikük találomra kihúz 5 lapot, megnézi őket. Ezek
után egymás mellé helyezi a lapokat, egyiket (nem feltétlenül az
elsőt) az asztal lapja felé fordítva, a többi négyet felfele. A
második bűvész ezek után kitalálja, melyik lap van lefele
fordítva. Bizonyítsuk be, hogy a bűvészeknek lehet biztos
módszere ehhez a trükkhöz. (b) Biztosan bemutatható a mutatvány
akkor is, ha az első négy kártyát látjuk, és az ötödik a
kitalálandó?
G. Galperin 6+6 pont
Feladat: 2.43.
Egy
20×20×20-as kockát 8000 egységkockából
építettünk fel. Minden kis kockában van egy szám. Tudjuk, hogy
bármely 20 kockában, amelyek a nagy kocka valamelyik élével
párhuzamos oszlopot alkotnak, a számok összege 1. Az egyik kis
kockában a 10 van. Három olyan
1×20×20-as
téglatest alakú kockaszelet van, mely tartalmazza ezt a kis kockát
és élei a nagy kocka éleivel párhuzamosak. Határozzuk meg azon
kis kockákban levő számok összegét, amelyek nem tartoznak az
említett három kockaszeletbe.
A. Belov, 3 pont
Feladat: 2.44.
Egy négyzetszám egyes helyiértéken levő jegye a 9, tízes
helyiértéken levő jegye a 0. Bizonyítsuk be, hogy a százas
helyiértéken levő jegy páros.
3 pont
Feladat: 2.45.
Az
ABC háromszög
AB,
BC és
CA oldalain vannak rendre a
C',
A',
B' pontok. Tudjuk, hogy
AC'B'∠=B'A'C∠,
CB'A'∠=A'C'B∠ és
BA'C'∠=C'B'A∠.
Igazoljuk, hogy
C',
A',
B' éppen az oldalfelezőpontok.
V. Proizvolov, 4 pont
Feladat: 2.46.
A televízió választási vitaműsorában 12 ember vesz részt. A vita
egyik pontján valaki megjegyezte: Ëddig egy hamis állítás volt."
Erre egy másik felszólalt: Ëddig két hamis állítás volt." Egy
újabb illető közbeszólt: Ëddig három hamis állítás volt." És ez
így ment tovább, a tizenkettedik ember azt mondta: Ëddig tizenkét
hamis állítás volt." A vitavezető ekkor lezárta a beszélgetést.
Mint később kiderült, a 12 ember közül legalább az egyik helyesen
állapította meg az előtte elhangzó hamis állítások számát.
Összesen hány hamis állítás hangzott el?
A. Sapovalov, 4 pont
Feladat: 2.47.
Adott két pozitív egész:
m és
n. Nevezzünk egy sakkfigurát
(n,m)-krokodilnak, ez
n mezőt lép vízszintesen, vagy
függőlegesen, majd
m mezőt erre merőleges irányban. Bizonyítsuk
be, hogy egy végtelen sakktábla kiszínezhető fehérre és feketére
úgy, hogy a figura minden lépése során az indulómezőtől különböző
színű mezőre lép.
A. Gerko, 5 pont
Feladat: 2.48.
Van 19 mérősúlyunk, sorban 1 grammostól a 19 grammosig. 9
acélból, kilenc bronzból és egy aranyból készült. Az acél súlyok
összesen 90 grammal nehezebbek a bronzoknál. Milyen nehéz az
arany mérősúly?
V. Proizvolov, 3 pont
Feladat: 2.49.
A síkon adott
n darab egységsugarú körlap, mindegyik határa
áthalad egy
P ponton, mely az összes körlap által letakart
S
síkidom belsejében van. Mekkora
S kerülete?
P. Kozevnyikov, 3 pont
Feladat: 2.50.
Egy
8×8-as sakktáblán 17 mezőt kijelöltek. Bizonyítsuk
be, hogy kiválasztható közülük kettő úgy, hogy egy huszár legalább
három lépésben juthasson el egyikről a másikra.
R. Zenodarov, 4 pont
Feladat: 2.51.
Mekkora a
(0,1) intervallumból választott
x1
,
x2
,...,
x20
számok szorzatának legnagyobb lehetséges
értéke, ha
x1
x2
···
x20
=(1-
x1
)(1-
x2
)···(1-
x20
).
|
A. Csernatyev, 4 pont
Feladat: 2.52.
Legyen egy ország IQ-ja a lakosság IQ átlaga. Tegyük fel,
hogy a következőkben az országok népessége nem változik és az
egyének IQ-ja is állandó marad.
(a.1) Néhány ember áttelepül az A országból a B országba.
Bizonyítsuk be, hogy ez által emelkedhet mindkét ország IQ-ja.
(a.2) Ezek után néhány ember a B országból áttelepül az A
országba. Köztük lehetnek visszatelepülők is. Előfordulhat, hogy
ismét emelkedik mindkét ország IQ-ja?
(b) Néhány ember áttelepül A-ból B-be, valamint néhányan
áttelepülnek B-ből C-be. Ez által mindhárom ország IQ-ja
emelkedett. Később néhányan áttelepülnek C-ből B-be, illetve
néhányan B-ből A-ba. Előfordulhat, hogy ismét emelkedik mindhárom
ország IQ-ja?
A. Kanel, B. Begun, 1+3+2 pont
Feladat: 2.53.
Egymás mellé írtunk
n szomszédos pozitív egészt valamilyen
sorrendben úgy, hogy bármely egymás mellett elhelyezkedő három
szám közül a bal szélső osztja a másik kettő összegét. Határozzuk
meg
n lehetséges legnagyobb értékét, ha a sorozat utolsó száma
páratlan.
A. Sapovalov, 3 pont
Feladat: 2.54.
Legyen
ABC hegyesszögű háromszög,
A' és
C' tetszőleges
pontok rendre
BC-n és
AB-n,
B' pedig
AC felezőpontja.
(a) Bizonyítsuk be, hogy az
A'B'C' háromszög legfeljebb fele
akkora területű, mint az
ABC háromszög.
(b) Bizonyítsuk be, hogy az
A'B'C' háromszög területe akkor és
csak akkor negyede az
ABC háromszög területének, ha
A' és
C'
legalább egyike oldalfelező pont.
E. Cserepanov, 2+2 pont
Feladat: 2.55.
Az 1,2,3,...,100 számokat két csoportra osztottuk úgy, hogy
minkettőben ugyanannyi a számok összege. Bizonyítsuk be, hogy
elvehetünk mindkét csoportból két-két számot úgy, hogy továbbra is
ugyanannyi legyen az összegük.
A. Sapovalov, 5 pont
Feladat: 2.56.
(a) Egy
8×8-as sakktábla felső sorának minden mezőjén áll
egy fekete figura, az alsó sor minden mezőjén pedig egy fehér
figura. Egy lépésben egy figurát mozdíthatunk függőlegesen, vagy
vizszintesen egy üres szomszédos mezőre. Legkevesebb hány
lépéssel érhető el, hogy minden fekete figura az alsó sorban,
minden fehér figura a felső sorban legyen?
(b) Oldjuk meg a feladatot, ha a tábla
7×7-es.
A. Sapovalov, 3+4 pont
Feladat: 2.57.
Kitartó Kázmér és Fáradhatatlan Frigyes egy sorozatot
gyártanak. Elindulnak egy pozitív egészből. Ezután felváltva
készítik a sorozat következő elemét minig az utolsóból képezve:
Kázmér valamely számjegyét hozzáadja, Frigyes valamely jegyét
kivonja. Bizonyítsuk be, hogy lesz olyan szám, amely legalább
100-szor előfordul a sorozatban.
A. Sapovalov, 8 pont
Feladat: 2.58.
(a) Legyenek
a és
b pozitív egészek, amelyekre
[a,a+5]=[b,b+5]. Igazoljuk, hogy
a=b.
(b) Legyenek
a,b és
c pozitív egészek. Lehetséges, hogy
[a,b]=[a+c,b+c]?
A. Sapovalov, 2+3 pont
Feladat: 2.59.
Adott két ugyanakkora kör. Húzunk a középpontjaikat
összekötő egyenessel egy párhuzamos
AB szakaszt úgy, hogy az
A
és
B között messe a köröket.
A-ből érintőket húzunk a hozzá
közelebbi körhöz, ugyanígy
B-ből érintőket húzunk a hozzá
közelebbi körhöz. Kiderült, hogy a négy érintő alkotta négyszög
tartalmazza mindkét kört. Igazoljuk, hogy az érintők alkotta
négyszögbe kör írható.
P. Kozevnyikov, 4 pont
Feladat: 2.60.
Egy
3×3-as táblázat mezőiben áll 9 szám:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
.
|
Tudjuk,
hogy minden sorban és oszlopban ugyanannyi a számok összege, azaz
a1
+
a2
+
a3
=
b1
+
b2
+
b3
=
c1
+
c2
+
c3
=
a1
+
b1
+
c1
=
a2
+
b2
+
c2
=
a3
+
b3
+
c3
.
|
Igazoljuk,
hogy
a1
b1
c1
+
a2
b2
c2
+
a3
b3
c3
=
a1
a2
a3
+
b1
b2
b3
+
c1
c2
c3
.
|
V. Proizvolov, 5 pont
Feladat: 2.61.
A 12 tagú zsűri számára egy kerek asztalt készítettek elő 12
székkel, mindenkinek egy névtábla jelzi a helyét. Elsőként
Szórakozott Professzor érkezik meg a zsűritagok közül és
véletlenül saját helye helyett a tőle jobbra levő szomszédos
székre ül. Mostantól egyesével érkeznek a zsűritagok, mindenki
leül a saját helyére, vagy ha az foglalt, akkor a sajátjától
jobbra levők közül az első szabad székre. A kialakuló ülésrend a
zsűritagok érkezési sorrendjétől függ. Hány különböző elrendezés
lehetséges?
A. Sapovalov, 6 pont
Feladat: 2.62.
Egy téglatest egy csúcsból induló éleinek hosszát összeadjuk és
ezt nevezzük a téglatest méretének. Lehetséges-e, hogy egy
téglatest tartalmaz egy önmagánál nagyobb méretű téglatestet?
A. Sen, 7 pont
Feladat: 2.63.
Tekintsük a következő függvényt:
f(x)=
x2
+ax+b
x2
+cx+d
.
|
Tudjuk, hogy
x2
+ax+b és
x2
+cx+d nem lehet egyszerre 0. Bizonyítsuk be, hogy a következő
két állítás ekvivalens:
(i) Van olyan intervallum, melynek nincs közös eleme
f(x)
értékkészletével.
(ii)
f(x) kifejezhető az alábbi formában:
f(x)=
f1
(
f2
(...
fn-1
(
fn
(x))...)),
|
ahol minden
fj
függvény
kj
x+
bj
, vagy
1
x
, vagy
x2
alakú.
A. Kanel, 8 pont
Feladat: 2.64.
Apa és fia korcsolyáztak egy kör alakú jégpályán. Időnként az
apa leelőzte a fiát. A fiú megfordult és elkezdett a másik
irányba körözni. Ekkor a találkozások ötször olyan gyakoriak
lettek. Határozzuk meg a korcsolyázók sebességének arányát.
Tairova, 3 pont
Feladat: 2.65.
ABC egy derékszögű háromszög. Az
AB átfogóra kifele rajzoljuk
az
ABDE négyzetet. Az
ACB∠ szögfelezője
DE-t
F-ben
metszi. Határozzuk meg
DF és
EF arányát, ha
AC=1 és
BC=3.
A. Blinkov, 4 pont
Feladat: 2.66.
Egy táblára felírták az
a1
,
a2
,...,
an
pozitív
egészeket. Egy másik táblára felírtuk a
b0
,
b1
,...,
bi
számokat; legyen
bj
az első táblán levő
j-nél nagyobb számok
száma. A második táblára 0-t már nem írunk, amikor odaáig
érkezünk, megállunk. Egy harmadik táblára írjuk a
c0
,
c1
,
c2
,... számokat, melyeket ugyanilyen módon kapunk a második tábla
számaiból. Igazoljuk, hogy az első és a harmadik táblán ugyanazok
a számok szerepelnek.
H. Lebesgue, A. Kanel, 4 pont
Feladat: 2.67.
Egy négyzetet 100 téglalapra vágtunk, 9-9 vágás történt mindkét
oldalával párhuzamosan. Tudjuk, hogy a 100 téglalap között
pontosan 9 négyzet van. Bizonyítsuk be, hogy a 9 négyzet között
van két egybevágó.
V. Proizvolov, 5 pont
Feladat: 2.68.
Egy sorban áll egymás mellett 1999 szám. Az első és az utolsó
kivételével minden szám a mellette levő két szám összege. Az első
szám az 1. Mi az utolsó szám?
V. Senderov, 3 pont
Feladat: 2.69.
Legyen
ABC egy derékszögű háromszög. Az
AB átfogóra kifele
rajzoljuk az
ABDE négyzetet. A háromszög
C-ből induló
szögfelezője
DE-t
F-ben metszi. Határozzuk meg
DF
EF
értékét, ha
AC=1 és
BC=3.
A. Blinkov, 3 pont
Feladat: 2.70.
Egy táblára felírták a
a1
,
a2
,...,
an
pozitív egészeket. Egy
másik táblára felírtuk a
b0
,
b1
,...,
bi
számokat; legyen
bj
az első táblán levő
j-nél nagyobb számok száma. A második
táblára 0-t már nem írunk, amikor odaáig érkezünk, megállunk. Egy
harmadik táblára írjuk a
c0
,
c1
,
c2
,... számokat, melyeket
ugyanilyen módon kapunk a második tábla számaiból. Igazoljuk,
hogy az első és a harmadik táblán ugyanazok a számok szerepelnek.
H. Lebesgue, A. Kanel, 3 pont
Feladat: 2.71.
Egy fekete egységoldalú négyzet van a síkon. Hogyan helyezhető el
7 egységoldalú négyzet úgy, hogy ezek ne fedjék egymást és
mindegyik letakarja a fekete négyzet valamely belső pontját?
5 pont
Feladat: 2.72.
Egy
9×9-es táblázat mezőit egyesével felváltva foglalja el
két játékos, X és Y. X kezd. Az elfoglalt mezőkbe beírják saját
betűjüket. Miután az egész táblázat betelt megszámolják azon
sorokat és oszlopokat, amelyekben több X van, mint Y, legyen ezek
száma
A. Legyen X nyereménye
B=A-(18-A). Határozzuk meg azt a
B értéket, amelyre X elérheti, hogy nyereménye legalább
B
legyen, Y pedig elérheti, hogy ez legfljebb
B legyen.
A. Kanel, 5 pont
Feladat: 2.73.
Egy bankszámlán 500 forint van. Kétféle műveletet
végezhetünk: kiveszünk a számláról 300 forintot, vagy beteszünk
198 forintot. Ezeket a műveleteket akárhányszor elvégezhetjük, de
a számlán eredetileg levő pénzen kívül nem rendelkezünk mással.
Legfeljebb mennyi pénzt tudunk felvenni a számláról és hogyan?
AK. Tolpygo, 3 pont
Feladat: 2.74.
Az
ABCD paralelogramma átlóinak metszéspontja
O. Igazoljuk, ha
a
BC egyenes érinti az
ABO háromszög köré írt kört, akkor a
CD egyenes érinti a
BCO háromszög köré írt kört.
A. Zaszlavszkij, 4 pont
Feladat: 2.75.
Két ember a következő játékot játsza. A kezdő felírja a 0-t, vagy
az egyet, majd minden lépésében e két számjegy valamelyikét írja a
már meglevő szám jobb végére, amíg a szám 1999 jegyű lesz. A kezdő
minden lépése után -kivéve a legelsőt- a második játékos felcserél
a leírt számok közül kettőt. Elérheti-e a második játékos, hogy
az eredményben a jegyek szimmetrikusak legyenek a középsőre?
I. Izmesztjev, 4 pont
Feladat: 2.76.
Egy körlapot
n átmérője
2n egybevágó körcikkre oszt, ezek
közül
n piros,
n pedig kék. A kékeket megszámoztuk valamely
körcikktől kezdve az óra járásával ellenkező irányba indulva 1-től
n-ig. Ugyanígy a pirosakat is megszámoztuk, de az óra járásával
megegyező irányban. Igazoljuk, hogy van olyan félkör, amelynek
cikkjein levő számok éppen 1, 2, ...,
n.
V. Proizvolov, 6 pont
Feladat: 2.77.
Az
ABC háromszög beírt köre az
AB és
AC oldalakat rendre
a
P,
Q pontokban érinti. Az
AC és
BC oldalak
felezőpontjai rendre
R és
S. A
PQ és
RS egyenesek
metszéspontja
T. Bizonyítsuk be, hogy
BT felezi az
ABC∠
szöget.
M. Evdokimov, 6 pont
Feladat: 2.78.
Egy bástya mozog a sakktáblán, egyszerre egyet léphet
függőlegesen, vagy vízszintesen. 64 lépés után minden mezőn
áthaladt és éppen visszaérkezett a kiindulási mezőre. Bizonyítsuk
be, hogy útja során nem léphetett ugyanannyit vízszintesen, mint
függőlegesen.
A. Sapovalov, R. Sadikov, 9 pont
Feladat: 2.79.
Egy konvex poliéder úszik a tengerben. Előfordulhat-e, hogy
térfogatának 90%-a a víz alatt van, de felszínének több, mint
fele a víz felett?
A. Sapovalov, 4 pont
Feladat: 2.80.
Az
ABCD húrnégyszög köré írt kör középpontja
O. Legyen az
ABO és
CDO háromszögek köré írt köreinek második metszéspontja
F. Bizonyítsuk be, hogy az
AFD köré írt kör átmegy
AC és
BD metszéspontján.
A. Zaszlavszkij, 4 pont
Feladat: 2.81.
Határozzuk meg mindazon egész
(x,y) számpárokat, amelyekre
x2
+
y2
osztója
x3
+y-nak is és
x+
y3
-nek is.
A. Zlobin, 5 pont
Feladat: 2.82.
Egy körlapot
n átmérője
2n egybevágó körcikkre oszt, ezek
közül
n piros,
n pedig kék. A kékeket megszámoztuk valamely
körcikktől kezdve az óra járásával ellenkező irányba indulva 1-től
n-ig. Ugyanígy a pirosakat is megszámoztuk, de az óra járásával
megegyező irányban. Igazoljuk, hogy van olyan félkör, amelynek
cikkjein levő számok éppen 1, 2, ...,
n.
V. Proizvolov, 5 pont
Feladat: 2.83.
Minden nemnegatív egész
i esetén legyen
M(i)=0, ha az
i szám
kettes számrendszerbeli alakjában páros sok 1-es van, különben
legyen
M(i)=1. (Az
M(i) sorozat első néhány értéke
0,1,1,0,1,0,0,1,...)
(a) Tekintsünk egy véges sorozatot:
M(0),M(1),M(2),.....,M(1000).
|
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat legalább 320 eleme
azonos a jobb oldali szomszédjával, azaz
M(i)=M(i+1).
(b) Tekintsünk egy véges sorozatot:
M(0),M(1),M(2),.....,M(1000000).
|
Bizonyítsuk be, hogy ebben a sorozatban legalább
450000
M(i) esetén lesz
M(i)=M(i+7).
A. Kanel, 2+5 pont
Feladat: 2.84.
Egy bástya mozog a sakktáblán, egyszerre egyet léphet
függőlegesen, vagy vízszintesen. 64 lépés után minden mezőn
áthaladt és éppen visszaérkezett a kiindulási mezőre. Bizonyítsuk
be, hogy útja során nem léphetett ugyanannyit vízszintesen, mint
függőlegesen.
A. Sapovalov, R. Sadikov, 8 pont
Feladat: 2.85.
Egy derékszögű háromszög alakú papírlapot összehajtottunk egy
egyenes mentén úgy, hogy a derékszögű csúcs éppen egy másik csúcs
fölé került. Így egy négyszöget kaptunk.
(a) A kapott négyszög átlói milyen arányban osztják egymást?
(b) Az összehajtott papírunkat elvágjuk a négyszög hosszabb
átlójának mentén. Határozzuk meg a keletkezett papírdarabok közül
a legkisebbnek a területét, ha az eredeti háromszög területe 1.
A. Sapovalov, 2+2 pont
Feladat: 2.86.
Legyen
d=
a1999
+
b1999
+
c1999
, ahol
a,
b és
c
egészek,
a+b+c=0.
(a) Lehet-e
d=2?
(b) Lehet-e
d prím?
V. Senderov, 2+2 pont
Feladat: 2.87.
Adott a síkon
n egyenes, mindegyiket 1999 egyenes metszi.
Határozzuk meg
n lehetséges értékeit.
R. Zenodarov, 4 pont
Feladat: 2.88.
Egy hagyományos órán 24 óra alatt a percmutató 24-szer fordul
körbe, az óramutató pedig kétszer. Egy itáliai órásmester óráján
a percmutató ugyanúgy 24-szer fordul körbe, de az óramutató csak
egyszer 24 óra alatt. A percmutató hosszabb, mint az óramutató és
a 0 óra az óralap legfelső pontjánál kezdődik. Hány olyan
állapota van a mutatóknak az itáliai órásmester óráján, amit egy
hagyományos óra is mutathat?
4 pont
Feladat: 2.89.
Egy
6×6-os sakktáblát
1×2-es dominókkal
fedünk. Minden egyes dominón behúzunk egy átlót. Előfordulhat-e,
hogy az átlók közt nincs kettő, melyek végpontja közös?
A. Sapovalov, 4 pont
Feladat: 2.90.
Egy háromszög beírt körének középpontját összekötöttük a
csúcsokkal, így három kisebb háromszög keletkezett. Ezek egyike
hasonló az eredeti háromszöghöz. Mekkorák a szögei?
A. Sapovalov, 4 pont
Feladat: 2.91.
Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok páratlan pozitív egész
n szám
létezik, amelyre
2n
+n összetett szám.
V. Senderov, 4 pont
Feladat: 2.92.
Adott a térben
n sík, mindegyik 1999 másik síkot metsz.
Határozzuk meg
n lehetséges értékeit.
R. Zenodarov, 4 pont
Feladat: 2.93.
Az 1,2,...,100 számokat 50 párba rendezzük, a párokat megszámozzuk
1-től 50-ig. Lehetséges-e, hogy minden
k esetén,
1≤k≤50, a
k-adik párt alkotó két szám különbsége osztható
k-val?
V. Proizvolov, 4 pont
Feladat: 2.94.
Egy
8×8-as sakktáblát
1×2-es dominókkal fedünk.
Minden egyes dominón behúzunk egy átlót. Előfordulhat-e, hogy az
átlók közt nincs kettő, melyek végpontja közös?
A. Sapovalov, 4 pont
Feladat: 2.95.
Egy téglalap alakú lap belsejéből téglalap alakú lyukakat vágtunk
ki, ezek oldalai az eredeti oldalaival párhuzamosak. Adjuk meg azt
a legkisebb számot, ahány téglalapra minden esetben szétvágható a
lyukas papírunk.
A. Sapovalov, 9 pont
Feladat: 2.96.
Az 1,2,...,
n számokat szeretnénk egy kör mentén elhelyezni
valamilyen sorrendben úgy, hogy bármely két egymás mellé kerülő
szám összege osztható legyen az óra járásával megegyező irányban
következő számmal. Milyen
n esetén lehetséges ez?
A. Sapovalov, 3 pont
Feladat: 2.97.
Egy téglalap alakú papíron van
(a) néhány kijelölt pont egy egyenes mentén.
(b) három kijelölt pont, nem feltétlenül egy egyenesen.
A papírt többször összehajthatjuk egy-egy olyan egyenes mentén,
amin nincs kijelölt pont. Ezek után egy tűvel átszúrjuk az
összehajtogatott papírt. Bizonyítsuk be, hogy elérhető a
következő: a papír széthajtogatása után azt látjuk, minden
kijelölt pontot átszúrtunk, és máshol viszont nem keletkezett
lyuk.
A. Sapovalov, 2+3 pont
Feladat: 2.98.
Kitartó Kázmér és Fáradhatatlan Frigyes egy sorozatot gyártanak.
Elindulnak egy pozitív egészből. Ezután felváltva készítik a
sorozat következő elemét minig az utolsóból képezve: Kázmér
valamely számjegyét hozzáadja, Frigyes valamely jegyét kivonja.
Bizonyítsuk be, hogy lesz olyan szám, amely legalább 100-szor
előfordul a sorozatban.
A. Sapovalov, 6 pont
Feladat: 2.99.
Az
ABC háromszög
AC és
CB oldalain a hozzáírt körök érintési
pontjai legyenek rendre
K és
L. Bizonyítsuk be hogy az
AB
és
KL szakaszok felezőpontjain áthaladó egyenesre teljesül:
(a) felezi az
ABC háromszög kerületét.
(b) párhuzamos az
ACB∠ szögfelezőjével.
L. Emelianov, 3 pont
Feladat: 2.100.
(a) Az 1,2,3,...,100 számokat két csoportra osztottuk úgy, hogy
minkettőben ugyanannyi a számok összege. Bizonyítsuk be, hogy
elvehetünk mindkét csoportból két-két számot úgy, hogy továbbra is
ugyanannyi legyen az összegük.
(b) Az 1,2,3,...,
n számokat két csoportra osztottuk úgy, hogy
minkettőben ugyanannyi a számok összege. Igaz-e, hogy
n>4
esetén elvehetünk mindkét csoportból két-két számot úgy, hogy
továbbra is ugyanannyi legyen az összegük?
A. Sapovalov, 4+4 pont
Feladat: 2.101.
Egy nagy sakktáblán
2n mezőt kijelöltünk úgy, hogy egy bástya be
tudja járni az összes kijelölt mezőt anélkül, hogy a többi mező
fölött elhaladna. Bizonyítsuk be, hogy a kijelölt mezők által
alkotott alakzat felvágható
n téglalapra.
A. Sapovalov, 8 pont
Feladat: 2.102.
Bizonyítsuk be, hogy bármely konvex
10n oldalú poliédernek
legalább
n oldalán ugyanannyi csúcs van.
A. Kanel, 8 pont