3. FEJEZET: Háromszögek
Feladat: 3.1.
(Jugoszlávia, 81)
Adott egy hegyesszögű, nem szabályos háromszög. Behúzzuk egyik csúcsából a magasságvonalát, egy másikból a súlyvonalát, a harmadikból a szögfelezőjét. Bizonyítsuk be, hogy e három egyenes által határolt háromszög nem szabályos!
Feladat: 3.2.
(Belgium, 77)
Mutassuk meg, hogy ha az
a,
b,
c pozitív számok olyanok, hogy bármely pozitív egész
n-re az
an
,
bn
,
cn
hosszúságú olddalakból szerkeszthető háromszög, akkor ezek a háromszögek mind egyenlő szárúak!
Feladat: 3.3.
(Svájc, 82)
Adjuk meg az összes olyan
n pozitív egész számot, amelyhez található
m pozitív egész szám, és az
AB=33,
AC=21,
BC=n hosszúságú oldalakkal rendelkező háromszög
AB,
AC oldalain a
D ill. az
E pont úgy, hogy
AD=DE=EC=m!
Feladat: 3.4.
(Zsűri, Magyarország, 79)
Egy háromszög körülírt körének átmérője
6,25 egység és minden oldalának hossza -
a,
b és
c is - egész szám. Határozzuk meg az összes ilyen
a,
b,
c számhármast!
Feladat: 3.5.
(New York, 78)
Az
ABC,
DEF háromszögek körülírt körének sugara egyenlő. Mutassuk meg, hogy kerületük pontosan akkor egyenlő, ha
sinA∠+sinB∠+sinC∠=sinD∠+sinE∠+sinF∠.
|
Feladat: 3.6.
(Jugoszlávia, 81)
Mutassuk meg, hogy ha egy egyenes megfelezi a háromszög területét és kerületét is, akkor a háromszög beírt körének középpontja illeszkedik erre az egyenesre!
Feladat: 3.7.
(Ausztria, 83)
Az
ABC háromszög
AB,
AC,
BC oldalain úgy vettük fel a
C'
,
B'
,
A'
pontokat, hogy az
AA'
,
BB'
,
CC'
egyenesek egy ponton mennek át.
Az
A''
,
B''
,
C''
pontokat úgy kaptuk, hogy
A-t,
B-t ill.
C-t középpontosan tükröztük
A'
-ra,
B'
-re ill.
C'
-re. Igazoljuk, hogy az egyes háromszögek területe között az alábbi összefüggés áll fenn:
T
A''
B''
C''
=3
TABC
+4
T
A'
B'
C'
!
|
Feladat: 3.8.
(Ausztria, 71)
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszög
S súlypontjára
AB2
+
BC2
+
CA2
=3(
OA2
+
OB2
+
OC2
)!
|
Feladat: 3.9.
(New York, 79)
Igazoljuk, hogy ha a háromszög súlypontja megegyezik a háromszög határvonalának súlypontjával, akkor a háromszög szabályos!