Feladat: 1.5.
[
117]
A tanár felírta a táblára az
x2
+10x+20 polinomot. A diákok ezután sorra változtattak rajta úgy, hogy vagy az
x-es tag együtthatóját vagy a konstans tagot növelték vagy csökkentették eggyel. Végeredményül az
x2
+20x+10 polinom állt a táblán. Bizonyítsuk be, hogy volt olyan pillanat, amikor a táblán álló polinom gyökei egész számok voltak.
Megoldás: 1.5
Azt kell észrevennünk, hogy az
x2
+bx+b-1 polinomnak gyöke az
1 és a
b-1 szám. Az eljárás kezdetén a konstans tag és az
x együtthatójának különbsége 10 volt, a végén
-10 lett és közben mindig egyesével változott. Tehát volt olyan helyzet amikor a különbség
-1 volt és ebben a helyzetben éppen
x2
+bx+b-1 alakú volt.