Feladat: 1.4.
Egy 1999-szer 2000-es téglalap alakú táblázat minden mezőjében a
-1 vagy az 1 szám áll. Egy-egy alkalommal bármelyik sorban vagy oszlopban megváltoztathatjuk az összes szám előjelét. Bizonyítsuk be, hogy az adott ,,művelet" véges sokszori alkalmazásával elérhető,
a) hogy a táblázatban levő számok összege legalább 2000 legyen;
b) hogy minden sorban és minden oszlopban a számok összege nemnegatív legyen. (Arany Dániel-verseny, 2000H)
Megoldás: 1.4
a) Egy 1999 számból álló oszlopban a számok összege nem lehet nulla. Így vagy eleve legalább 1 az ott álló számok összege, vagy az előjelváltoztatással elérhető ugyanez. Összesen 2000 ilyen oszlop van, tehát elérhető, hogy a táblázatban a számok összege legalább 2000 legyen.
b) Ha valamelyik sorban, vagy oszlopban a számok összege negatív, akkor ebben a sorban vagy oszlopban megváltoztatva a számok előjelét a táblázatban álló számok összege nőni fog. Növeljük tehát a táblázatban levő számok összegét a megadott lépéssel, amíg tudjuk. A számok összege nem lehet több
2000×1999-nél, tehát véges sok lépés után meg kell állnunk, s ekkor minden sorban és oszlopban nemnegatív a számok összege. Természetesen ekkor minden oszlopban pozitív a számok összege (mert ott páratlan sok szám áll), s ezért a táblázatban a számok összege legalább annyi, ahány sor van, azaz legalább 2000. Ezzel az a) részre is új megoldást adtunk.