Feladat: 5.6. [
163]
Aladár egy dobozba valahány golyót helyezett el (üresen is hagyhatta), Béla megpróbálja kitalálni a golyók számát.
a) Minden rossz tipp után Aladár egy újabb golyót tesz a dobozba.
b) A játék elején Aladár eldönti, hogy egy vagy két golyóval növel, de nem árulja el. Minden rossz tipp után Aladár annyi új golyót tesz a dobozba, amennyit előre elhatározott.
(Tehát vagy mindig egyet vagy mindig kettőt.)
c) A játék elején Aladár eldönti, hogy hány golyóval növel, de nem árulja el. Minden rossz tipp után Aladár annyi új golyót tesz a dobozba, amennyit előre elhatározott.
A játéknak akkor van vége, ha tippjével Béla eltalálja az éppen aktuális golyószámot. Hogyan játsszon Béla?
Megoldás: 5.6
a) Béla tippeljen először 0-ra. Ha Aladár 0 golyóval kezdett, akkor máris talált. Ha nem, és Aladár 1 golyóval kezdett, akkor a második tipp előtt 2 golyó lesz a dobozban. Ha tehát Béla másodszor 2-t tippel és ez volt a helyzet, akkor talált. Általában ha már
n rossz tipp volt és Aladár
n golyóval kezdett, akkor az
n+1-edig tipp előtt
2n golyó van a dobozban. Ha tehát Aladár sorban a páros számokat tippeli, akkor valamelyik lépésben találni fog, éspedig éppen akkor fog az
n-edik lépésben találni, ha kezdetben
n golyó volt a dobozban.
b) Most a következőképpen jár el Béla. A páros lépésekben azt követi, hogy épp hány golyó lenne, ha Aladár mindig egy golyóval növel, a páratlanadik lépésekben azt követi, hogy épp hány golyó lenne, ha Aladár mindig két golyóval növel. Tehát a
2n-edik lépésben abból a feltételezésből indul ki, hogy kezdetben
n-1 golyó volt és minden kérdés után eggyel növelte Aladár a golyók számát, vagyis most
3n-2-t fog tippelni (és találni fog, ha tényleg ez volt a helyzet), a
2n-1-edik lépésben abból indul ki, hogy kezdetben
n-1 golyó volt és mindig kettővel nőtt a golyók száma, tehát most
5n-5-öt fog tippelni (és találni fog, ha tényleg ez volt a helyzet). Nyilván valamelyik lépésben találni fog.
b)