Megoldás: 6.9
1. megoldás.
Parciális integrálás
Eredmény:
∫1-
x2
dx=
x1-
x2
2
+
arcsinx
2
+c.
Alkalmazzuk a parciális integrálás
∫u'v=uv-∫uv' képletét az
u'=1,
v=1-
x2
,
u=x,
v'=-
x
1+
x2
szereposztásban!
∫1-
x2
dx=∫11-
x2
dx=x1-
x2
+∫
x2
1-
x2
dx.
|
Mivel
x2
=(
x2
-1)+1, így
∫
x2
1-
x2
dx=-∫1-
x2
dx+∫
1
1-
x2
dx+
c1
|
azaz
∫1-
x2
dx=x1-
x2
-∫1-
x2
dx+∫
1
1-
x2
dx-
c1
.
|
Egyenletet kaptunk a keresett integrálra, amit rendezéssel megoldhatunk:
∫1-
x2
dx=
x1-
x2
2
+
∫
1
1+
x2
dx
2
+
c2
=
x1+
x2
2
+
arshx
2
+
c2
.
|
2. megoldás.
Helyettesítéses integrálás
Az
1-
x2
kifejezés
x∈(-1;1) esetén értelmezett.
Alkalmazhatjuk az
x=sint helyettesítést, ha
t∈(-
π
2
;
π
2
), akkor minden
x értéket pontosan egyszer kapunk meg.
Mivel
1-
sin2
t=
cos2
t és
t∈(-
π
2
;
π
2
) esetén
0<cost, így
1-
x2
=cost. A
dx
dt
=cost összefüggést is felhasználva kapjuk, hogy
∫1-
x2
dx=∫costcostdt=∫
cos2
tdt.
|
Mivel
cos2t=2
cos2
t-1, így
cos2
t=
1+cos2t
2
, azaz
∫
cos2
tdt=∫
1+cos2t
2
dt=
t
2
+
sin2t
4
+c.
|
A kapott kifejezést átírhatjuk
x függvényévé, ha felhasználjuk, hogy
sin2t=2sintcost és
cost=1-
sin2
t:
∫1-
x2
dx=
arcsinx
2
+
x1-
x2
2
+c.
|