Megoldás: 6.10
1. megoldás.
Parciális integrálás
Eredmény:
∫1+
x2
dx=
x1+
x2
2
+
ln(x+1+
x2
)
2
+c.
Alkalmazzuk a parciális integrálás
∫u'v=uv-∫uv' képletét az
u'=1,
v=1+
x2
,
u=x,
v'=
x
1+
x2
szereposztásban!
∫1+
x2
dx=∫11+
x2
dx=x1+
x2
-∫
x2
1+
x2
dx.
|
Mivel
x2
=(
x2
+1)-1, így
∫
x2
1+
x2
dx=∫1+
x2
dx-∫
1
1+
x2
dx+
c1
|
azaz
∫1+
x2
dx=x1+
x2
-∫1+
x2
dx+∫
1
1+
x2
dx-
c1
.
|
Egyenletet kaptunk a keresett integrálra, amit rendezéssel megoldhatunk:
∫1+
x2
dx=
x1+
x2
2
+
∫
1
1+
x2
dx
2
+
c2
=
x1+
x2
2
+
arshx
2
+
c2
.
|
Ha még felhasználjuk a
6.6. feladat eredményét is, akkor kapjuk a megoldás elején található formulát.
2. megoldás.
Helyettesítéses integrálás
Alkalmazzuk az
x=sht helyettesítést! Mivel
1+
sh2
=
ch2
t és
0<cht, így
1+
x2
=cht. A
dx
dt
=cht összefüggést is felhasználva kapjuk, hogy
∫1+
x2
dx=∫chtchtdt=∫
ch2
tdt.
|
Mivel
ch2t=2
ch2
t-1, így
ch2
t=
1+ch2t
2
, azaz
∫
ch2
tdt=∫
1+ch2t
2
dt=
t
2
+
sh2t
4
+c.
|
A kapott kifejezést átírhatjuk
x függvényévé, ha felhasználjuk, hogy
sh2t=2shtcht és
cht=1+
sh2
t valamint alkalmazzuk a
6.6. feladat formuláját:
∫1+
x2
dx=
ln(x+1+
x2
2
+
x1+
x2
2
+c.
|