Megoldás: 6.8
a) Olyan
a,
b,
c,
d valós számokat keresünk, amelyekre
x3
+
x2
-4x-6
(
x2
+2x+2)(x+2
)2
=
a
x+2
+
b
(x+2
)2
+
cx+d
x2
+2x+2
.
|
| (1) |
Hozzunk a jobb oldalon közös nevezőre!
x3
+
x2
-4x-6
(
x2
+2x+2)(x+2
)2
=
a(x+2)(
x2
+2x+2)+b(
x2
+2x+2)+(cx+d)(x+2
)2
(
x2
+2x+2)(x+2
)2
.
|
| (2) |
Olyan
a,
b,
c,
d számokat keresünk, amelyekre a jobb és a bal oldal azonosan egyenlő, azaz
x3
+
x2
-4x-6=a(x+2)(
x2
+2x+2)+b(
x2
+2x+2)+(cx+d)(x+2
)2
.
|
| (3) |
Bontsuk fel a zárójeleket a jobb oldalon és rendezzük
x polinomjává!
x3
+
x2
-4x-6=(a+c)
x3
+(4a+b+4c+d)
x2
+(6a+2b+4c+4d)x+(4a+2b+4d).
|
| (4) |
A két polinom akkor azonos, ha együtthatóként azonosak:
a+c=1
4a+b+4c+d=1
6a+2b+4c+4d=-4
4a+2b+4d=-6
}
|
| (5) |
Az ismeretleneket a Gauss-féle kiküszöbölős eljárással fejezzük ki:
a+c=1
+b+d=-3
+2b-2c+4d=-10
+2b-4c+4d=-10
}⇒
a+c=1
+b+d=-3
-2c+2d=-4
-4c+2d=-4
}⇒
a+c=1
+b+d=-3
-2c+2d=-4
-2d=4
},
|
azaz
d=-2,
c=0,
b=-1,
a=1.
Tehát a kérdezett határozatlan integrál:
∫
1
x+2
-
1
(x+2
)2
-
2
x2
+2x+2
dx=ln|x+2|+
1
x+2
-2arctg(x+1)+c,
|
hiszen
1
x2
+2x+2
=
1
(x+1
)2
+1
.
Megjegyzés
Az (
3) egyenletbe
x=-2-t helyettesítve számos tag kiesik és kapjuk, hogy
(-2
)3
+(-2
)2
-4(-2)-6=b((-2
)2
+2(-2)+2), amiből
b=-1 gyorsabban adódik.
b)
(x-2
)2
=
x2
-4x+4 és
3
x3
-11
x2
+10x-1=(3x+1)(
x2
-4x+4)+2x-5, így
3
x3
-11
x2
+10x-1
(x-2
)2
=3x+1+
2x-5
(x-2
)2
.
|
Az utóbbi törtet parciális törtekre bontjuk, azaz
2x-5
(x-2
)2
=
a
x-2
+
b
(x-2
)2
|
alakra hozzuk.
A jobb oldalt közös nevezőre hozva
2x-3
(x-2
)2
=
ax-2a+b
(x-2
)2
,
|
azaz
a=2 és
2a-b=5-ból
b=-1, tehát a kérdezett integrál
∫3x+1+
2
x-2
-
1
(x-2
)2
dx=
3
2
x2
+x+2ln|x-2|+
1
x-2
+c.
|
c) Olyan
a,
b,
c,
d valós számokat keresünk, amelyekre
x3
-
x2
+9x+7
(
x2
+2x+2)(
x2
-x+1)
=
ax+b
x2
+2x+2
+
cx+d
x2
-x+1
,
|
azaz
x3
-
x2
+9x+7=(ax+b)(
x2
-x+1)+(cx+d)(
x2
+2x+2).
|
A két oldalon az azonos kitevőjű tagok együtthatóját egyenlővé tesszük:
a+c=1
-a+b+2c+d=-1
a-b+2c+2d=9
b+2d=7
}⇒
a+c=1
+b+3c+d=0
-b+c+2d=8
b+2d=7
}⇒
|
⇒
a+c=1
b+3c+d=0
+4c+3d=8
-3c+d=7
}⇒
a+c=1
b+3c+d=0
+4c+3d=8
+3,25d=13
},
|
azaz
d=4,
c=-1,
b=-1 és
a=2. A törtek számlálójából leválasztjuk a nevező deriváltjának konstansszorosát:
2x-1
x2
+2x+2
=
2x+2
x2
+2x+2
-
3
x2
+2x+2
,
-x+4
x2
-x+1
=
-x+0,5
x2
-x+1
+
3,5
x2
-x+1
.
|
Vegyük még figyelembe, hogy
x2
-x+1=(x-0,5
)2
+0,75=
3
4
(
(
2
3
(x-
1
2
))2
+1),
|
azaz
3,5
x2
-x+1
=
14
3
1
(
2
3
(x-
1
2
))2
+1
=
73
3
2
3
(
2
3
(x-
1
2
))2
+1
,
|
így az integrál:
∫
2x+2
x2
+2x+2
-
3
x2
+2x+2
+
-x+0,5
x2
-x+1
+
3,5
x2
-x+1
dx=
|
=ln(
x2
+2x+2)-3arctg(
x2
+2x+2)-
1
2
ln(
x2
-x+1)+
73
3
arctg
2
3
(x-
1
2
)+c.
|
d) Vegyük észre, hogy
x2
+x-2=(x-1)(x+2), tehát olyan
a,
b,
c,
d számokat keresünk, amelyekre
-
x3
+7
x2
-12x+18
(
x2
+x-2)(
x2
-2x+5)
=
a
x-1
+
b
x+2
+
cx+d
x2
-2x+5
,
|
tehát az
-
x3
+7
x2
-12x+18=a(x+2)(
x2
-2x+5)+b(x-1)(
x2
-2x+5)+(cx+d)(x-1)(x+2)
|
| (6) |
összefüggést kell azonossággá tennünk.
Az
x-ben azonos kitevőjű tagokat egyenlővé téve négyváltozós lin. egyenletrendszert kapunk, melynek megoldása
a=1,
b=-2,
c=0,
d=1. Megjegyezzük, hogy a (
6) összefüggésbe
x=-2-t, illetve
x=1-et helyettesítve gyorsan megkaphatjuk
b illetve
a értékét.
Vegyük még észre, hogy
1
x2
-2x+5
=
1
(x-1
)2
+4
=
1
4
1
(
x
2
-
1
2
)2
+1
=
1
2
1
2
(
x
2
-
1
2
)2
+1
,
|
így
∫
-
x3
+7
x2
-12x+18
(
x2
+x-2)(
x2
-2x+5)
dx=ln|x-1|-2ln|x+2|+
1
2
arctg(
x
2
-
1
2
)+c.
|