Feladat: 8.10. [
155]
Van-der-Waerden függvénye
A
ϕ0
függvény grafikonja az
1. ábra felső részén látható,
ϕ0
periódusa
1, értékkészlete a
[0;
1
2
] intervallum. A grafikon szimmetrikus az
x=
k
2
(
k∈Z) egyenesekre.
Legyen
ϕn
(x)=
1
2n
ϕ0
(
2n
x) (
n∈
N+
). A
ϕ1
,
ϕ2
függvények grafikonja feketével húzva látható az alábbi ábra középső ill. alsó részén. Legyen továbbá
Φn
(x)=
ϕ0
(x)+
ϕ1
(x)+…+
ϕn
(x).
|
1. ábra
a) Rajzoljuk meg a
Φ1
,
Φ2
,
Φ3
függvények grafikonját!
b) Mutassuk meg, hogy
Φk
grafikonja egyenes szakaszokból áll és ezek meredeksége olyan egész, amelynek paritása
(k+1) paritásával egyezik meg.
c) Mutassuk meg, hogy a
Φ(x)=
limn→∞
Φn
(x) határérték minden
x∈R-re létezik!
d) Mutassuk meg, hogy a
Φ(x) függvény minden
x∈R-ben folytonos!
e) Mutassuk meg, hogy a
Φ(x) függvény semelyik
x∈R-ben sem differenciálható!
f) Határozzuk meg
Φ(x) maximumát!
g) Adjuk meg
Φ(x) összes maximumhelyét!
Megoldás: 8.10
a)
2. ábra
b)
ϕn
grafikonja olyan egyenes darabokból áll, amelyek meredeksége
±1, így
Φn
grafikonja olyan szakaszokból áll, amelyek meredeksége
n db
±1 összege.
c) A
ϕn
függvény maximuma
1
2n+1
. Bármely rögzített
x-re a
{
Φn
(x)} sorozat monoton növő és felső korlátja az
1=
1
2
+
1
22
+….
d)
Φ(
x0
+Δ)-Φ(
x0
)=
Φn
(
x0
+Δ)-
Φn
(
x0
)+(
φn+1
(
x0
+Δ)+
φn+2
(
x0
+Δ)+…)-(
φn+1
(
x0
)+
φn+2
(
x0
)+…), így
|Φ(
x0
+Δ)-Φ(
x0
)|≤|
Φn
(
x0
+Δ)-
Φn
(
x0
)|+
1
2n
.
Ha azt szeretnénk, hogy teljesüljön a
|Φ(
x0
+Δ)-Φ(
x0
)|<ε egyenlőtlenség, akkor választunk egy olyan
n-et, amelyre
1
2n
<
ε
2
, majd a
Φn
folytonos függvényhez egy olyan
δ>0-t, amelyre
Δ<δ esetén
|
Φn
(
x0
+Δ)-
Φn
(
x0
)|<
ε
2
.
e) Vegyük észre, hogy
x=
s
2n
(
s∈Z,
n∈N) esetén
Φn-1
(x)=
Φn
(x)=
Φn+1
(x)=…=Φ(x), hiszen
ϕn
(
s
2n
)=
1
2n
ϕ0
(s)=0.
Legyen tetszőleges
k∈N esetén
sk
az az egész szám, amelyre
sk
2k+1
≤
x0
<
sk
+1
2k+1
.
|
Az így definiált
αk
=
sk
2k+1
,
βk
=
sk
+1
2k+1
sorozatokra
limk→∞
αk
=
limk→∞
βk
=
x0
, így ha létezik
Φ'
(
x0
), akkor (lásd a 3. feladatot):
Φ'
(
x0
)=
limk→∞
Φ(
αk
)-Φ(
βk
)
αk
-
βk
.
|
De
Φ(
αk
)-Φ(
βk
)
αk
-
βk
=
Φk
(
αk
)-
Φk
(
βk
)
αk
-
βk
.
A legutóbb kapott kifejezés a
Φk
függvény egy egyenes szakaszának meredeksége, amely a
(k+1) paritásával megegyező paritású egész szám. Váltakozó paritású egész számok sorozatának nincs határértéke, ezért
Φ'
(
x0
) nem létezik.
e)-f) Legyen
ϕ2n
+
ϕ2n+1
=
ψn
(
n∈N). Pl
ψ0
(x)=
Φ2
(x){
=
1
2
,
ha
1
4
≤x≤
3
4
,
<
1
2
,
egyébként
.
|
Mivel
ψn
(x)=
1
4n
ψ0
(
4n
x), így
Φ(x)=
∑n=0
∞
ψn
(x)≤
∑n=0
∞
1
2
·
1
4n
=
2
3
|
és az egyenlőség mindazokra az
x-ekre teljesül, amelyekre minden
n∈N esetén
1
4
≤[
4n
x]≤
3
4
, tehát azokra az
x számokra, amelyek tört részének van olyan
4-es számrendszerbeli alakja, amely csak
1-es és
2-es számjegyeket tartalmaz.