Feladat: 9.4.
Ez a feladat az
I0
(ξ)=
∫0
ξ
dx
1-
x2
integrálról szól, amely az origó középpontú egységkör azon ívének hosszát adja meg,amelynek
x tengelyre eső vetülete a
[0;ξ] intervallum.
A primitívfüggvény felhasználása nélkül számítsuk ki az
a)
x=1-
u2
,
b)
x=
1-1-
z2
2
(0≤x,ξ≤
1
2
)
helyettesítéssel adódó új integrandusokat
(0≤u,z≤1), és az integrálás határait. Értelmezzük a kapott eredményt!
Megoldás: 9.4
a)
dx
du
=
-u
1-
u2
,
u=1-
x2
, így
I0
(ξ)=
∫0
1-
ξ2
-
du
u
u
1-
u2
=
∫1-
ξ2
1
du
1-
u2
.
|
Tehát a körnek az a húrja, amely az abszcisszatengely
[0;ξ] intervalluma felett van, egyenlő hosszú az
[1-
ξ2
;1] intervallum feletti ívvel.
Ha ,,bevezetjük" a teljes integrálra vonatkozó
∫0
1
dx
1-
x2
=
π
2
,,jelölést", akkor eredményünk így is írható:
I0
(1-
ξ2
)=
π
2
-
I0
(ξ).
|
A
G0
(ξ)=
I0
(1-
ξ2
) egyenlettel definiált függvényt már ismerjük:
G0
(ξ)=arccosξ.
b)
z=2x1-
x2
és
dx
dz
=
z
41-
z2
1-1-
z2
2
;
|
így
∫0
ξ
dx
1-
x2
=
∫0
2ξ1-
ξ2
dz
1-
1-1-
z2
2
z
41-
z2
1-1-
z2
2
=
|
=
1
2
∫0
2ξ1-
ξ2
zdz
1-
z2
1+1-
z2
1-1-
z2
=
1
2
∫0
2ξ1-
ξ2
dz
1-
z2
,
|
azaz
2·
I0
(ξ)=2·
∫0
ξ
dx
1-
x2
=
∫0
2ξ1-
ξ2
dx
1-
x2
=
I0
(2ξ1-
ξ2
).
|
Eredményünk egyfajta ,,duplikációs" formula: anélkül, hogy meghatároznánk az
I0
(ξ) integrálfüggvény explicit alakját, meg tudjuk mondani, hogy meddig kell integrálni ugyanazt az integrandust, hogy
az integrál értéke kétszer akkora legyen.
Most a
2arcsinξ=arcsin(2ξ1-
ξ2
)
|
azonosságra adtunk szokatlan bizonyítást. Ez az azonosság más alakban ismerősebb: a
ξ=sinα
helyettesítés után mindkét oldal szinuszát véve kapjuk a
összefüggést, a szinusz függvény duplikációs formuláját.