Feladat: 7.4.
Arkhimédeszi spirális
Egy pont egyenletesen mozog egy egyenesen, amely egyenletesen forog egy pontja körül. Írjuk le a mozgó pont pályáját!
a) Vázoljuk a görbét!
b) Legyen kezdetben a forgó egyenes az
x-tengely, rajta a mozgó pont kezdetben az origó, a forgási középpont pedig mindig az origó. Jelölje
a az egyenesen való haladási sebesség és az egyenes forgási szögsebességének hányadosát. Paraméterezzük a spirálist az egyenes origó körüli elfordulásának
θ szögével!
c) Algebrai görbe-e az Arkhimédeszi spirális? Van-e olyan kétváltozós polinom,
p(x;y), amelynek zérushelyeinek halmaza épp a fent definiált görbe?
Megoldás: 7.4
a) Lásd az
1. ábrát!
b) A görbe
θ forgási szöghöz tartozó
(x(θ);y(θ)) pontjának az origótól való távolsága
r(θ)=aθ, így koordinátái:
x(θ)=aθcosθ; y(θ)=aθsinθ.
|
| (1) |
c) Nem algebrai görbe. Egy algebrai görbét bármely egyenes véges sok pontban metsz (egy polinom gyökeinek meghatározásához vezet a metszépontok meghatározása) vagy az egyenes teljes egészében a görbéhez tartozik.
Az
x tengely a spirálist végtelen sok pontban metszi, de nem tartozik hozzá.