Feladat: 7.11.
Arkhimédeszi spirális
a) Határozzuk meg a
7.4. feladatban megadott Arkhimédeszi spirális első teljes (a
ϕ=0,
ϕ=2π értékek közé eső) ívének hosszát!
b) Számítsuk ki a sugár és az érintő szögét, azaz adjuk meg a
ϕ paraméter függvényében a az origót a görbe
ϕ paraméterű
Pϕ
pontjával összekötő egyenes és a spirál
Pϕ
pontjához húzott érintő egyenes szögét!
c) A kör négyszögesítése
Adott egy Arkhimédeszi spirál a síkon és egy kör. Szerkesszük a körrel egyenlő területű téglalapot!
d) Szögharmadolás
Adott egy Arkhimédeszi spirál a síkon és egy szög. Szerkesszük meg a szög harmadát!
Megoldás: 7.11
a) Az Arkhimédeszi spirális parametrikus előállítása (lásd a
7.4. feladatot):
x(θ)=aθcosθ; y(θ)=aθsinθ.
|
| (1) |
Mivel
x'(θ)=a(cosθ-θsinθ); y'(θ)=a(sinθ+θcosθ),
|
| (2) |
így
(x'(θ))2
+
(y'(θ))2
=a1+
θ2
,
|
| (3) |
azaz a görbe
α és
β paraméterű pontjai közti ívének hossza
Használjuk a
θ=sht helyettesítést és dolgozzunk a határozatlan integrállal! Mivel
dθ
dt
=cht, így
∫1+
θ2
dθ=∫1+
sh2
tcht dt=∫
ch2
tdt=∫
1+ch2t
2
dt=
=
t
2
+
sh2t
4
+c=
arshθ
2
+
shtcht
2
=
ln(θ+
θ2
+1)
2
+
θ
θ2
+1
2
+c.
|
| (5) |
Ebből a kérdezett ívhossz
a
ln(2π+4
π2
+1)
2
+
2π4
π2
+1
2
.
b) Az
u
‾
(
u1
;
u2
),
v
‾
(
v1
;
v2
) vektorok skaláris szorzatának kétféle felírásából bezárt szögük koszinusza:
cosγ=
u1
v1
+
u2
v2
|
u
‾
|·|
v
‾
|
=
u1
v1
+
u2
v2
u1
2
+
u2
2
·
v1
2
+
v2
2
.
|
| (6) |
Ezt alkalmazhatjuk a (
1),
(
2) vektorokra, melyek közül az első hossza
aθ, a másik hossza pedig
(
3)-ben adott így a kérdezett szög koszinusza
cosγ=
aθcosθa(cosθ-θsinθ)+aθsinθa(sinθ+θcosθ)
a2
θ1+
θ2
=
1
1+
θ2
,
|
és ebből
c) Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amelynek derékszögű csúcsa az origó (a spirál kezdőpontja) egyik befogója az
x-tengely (a kezdőpontbeli érintő), átfogója a spirál
ϕ=
π
2
paraméterű pontjához tartozó érintője. Ebben a derékszögű háromszögben a két befogó aránya
π
2
, így ha felnagyítjuk úgy, hogy rövidebb befogója a kör átmérőjével legyen egyenlő, akkor a kívánt területű háromszöget kapjuk, ami téglalappá darabolható.
d) Legyen a szög csúcsa a spirál
O kezdőpontja, egyik szára a spirál kezdőpontjában húzott érintő, a másik szár messe először a spirált a
Pϕ
pontban az
OPϕ
távolság harmadával, mint sugárral
O körül rajzolt kör a spirált a
ϕ
3
paraméterhez tartozó pontban metszi, hiszen a görbén az elfordulás és a kezdőponttól való távolság arányos egymással. A
ϕ
3
paraméterű ponthoz húzott sugár harmadolja az adott
ϕ szöget.