Feladat: 7.19.
Logaritmikus spirál
a) Határozzuk meg, hogy az
r=a·
ebϕ
egyenletű logaritmikus spirál (lásd a
7.6. feladatot) mekkora szöget zár be azzal a sugáregyenessel, amit éppen metsz! (Tehát a görbe adott pontbeli érintőjének és a pontot az origóval összekötő egyenesnek a szögét kell meghatározni.)
b) Számítsuk ki a görbe egy teljes ívének, a
ϕ∈[0;2π] paramétertartományhoz tartozó ívnek a hosszát!
Megoldás: 7.19
a) A görbe paraméterese egyenlete Descartes koordinátákban:
x(φ)=a·
ebφ
cosφ, y(φ)=a·
ebφ
sinφ,
|
| (1) |
tehát az érintővektor:
x'(φ)=ab·
ebφ
cosφ-a·
ebφ
sinφ, y'(φ)=ab·
ebφ
sinφ+a·
ebφ
cosφ,
|
azaz
(x'(φ),y'(φ))=a·
ebφ
(bcosφ-sinφ,bsinφ+cosφ).
|
| (2) |
A
v
‾
(bcosφ-sinφ,bsinφ+cosφ) érintővektor hossza
b2
+1, így az érintő és a sugárirányú
(cosφ,sinφ) egységvektor
θ szögére a vektorok skaláris szorzata alapján:
cosθ=
(bcosφ-sinφ)cosφ+(bsinφ+cosφ)sinφ
b2
+1
=
b
b2
+1
.
|
Az érintő és a sugárszöge állandó, ami nem is csoda, hiszen a görbe önhasonló. A
b paraméter és a
θ szög kapcsolata rövidebben:
1
tgθ
=b.
b)
Láttuk, hogy a sebességvektor hossza
a·
ebφ
b2
+1, tehát a kérdezett ív hossza
a·
b2
+1·
∫0
2π
ebφ
dφ=
a
b
·
b2
+1·
[
ebφ
]0
2π
=
a
b
·
b2
+1·(
e2bπ
-1)
|